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1、《高等数学》第八章空间解析几何与向量代数二、两向量的向量积1.两向量的向量积的定义c设向量c是由两个向量a与b按下列b方式定出：θ（1）c的模为：c=absinθ,ac=a×b其中θ为a、b间的夹角；（2）c的方向垂直于a与b所确定的平面，方向符合右手规则。则向量cc叫做向量a与向量b的向量积,记作a×b,即c=a×b1上页下页返回结束《高等数学》第八章空间解析几何与向量代数2.(由向量积的定义可推得)向量积的性质:2((1))a×a=0;∵θ=0,∴a×a=asin0=0.((2))a≠0,b≠0,a//b⇔a×b=0.∵a≠0
2、,b≠0,a×b=0⇔sinθ=0⇔θ=0,θ=π⇔a//b.注意！3.向量积的运算规律向量积的运算不满足交换律(1)a×b=−b×a.(2)分配律(a+b)×c=a×c+b×c;c×(a+b)=c×a+c×b.(3)结合律((((λa))))×b=a×((((λb))))=λ((((a×b)))).2上页下页返回结束《高等数学》第八章空间解析几何与向量代数4.向量向量积的坐标表达式a×b=((aybz−azby))i+((azbx−axbz))j+((axby−aybx))kiijjkk∴∴aa××bb==aaaaaaxyzbb
3、bbbbxyzCDCABAB1S∆ABC=AB×AC.SABCD=AB×AC.23上页下页返回结束《高等数学》第八章空间解析几何与向量代数第三节第三节第三节第三节第三节第三节第三节第三节曲面及其方程曲面及其方程曲面及其方程曲面及其方程曲面及其方程曲面及其方程曲面及其方程曲面及其方程一、曲面方程的概念一、曲面方程的概念二、旋转曲面二、旋转曲面三、柱面三、柱面四、二次曲面四、二次曲面4上页下页返回结束《高等数学》第八章空间解析几何与向量代数一、曲面方程的概念z若曲面S与三元方程：F(x,y,z)=0F((x,y,z))=0(1)S有下
4、述关系：oy①曲面S上任一点的坐标都满足方程(1);x②不在曲面S上的点的坐标都不满足方程(1).则方程(1)就叫做曲面S的方程，而曲面S就叫做方程(1)的图形.在空间解析几何中关于曲面的研究，有下列两个基本问题:☆已知曲面上点的几何轨迹，求曲面的方程；☆已知方程F((x,y,z))=0，研究其所表示的曲面的形状.5上页下页返回结束《高等数学》第八章空间解析几何与向量代数z球面的方程：2222M(x−x)+(y−y)+(z−z)=R0000特别地，当M在原点时，球面方程为:M02222oyx+y+z=Rx222z=±R−x−y表示
5、上（下）半球面.一般地,三元二次方程:222x+y+z+Dx+Ey+Fz+G=0222222⎛D⎞⎛E⎞⎛F⎞D+E+F⎜x+⎟+⎜y+⎟+⎜z+⎟=−G⎝2⎠⎝2⎠⎝2⎠4其图形可能是一个球面，或点，或虚轨迹.6上页下页返回结束《高等数学》第八章空间解析几何与向量代数二、旋转曲面一般地，平面上一条曲线和绕平面上一条定直线旋转一周所形成的曲面叫做旋转曲面.该定直线称为旋转轴.平面曲线称为曲面的母线.7上页下页返回结束《高等数学》第八章空间解析几何与向量代数设C:f((y,z))=0⊂yoz((((22))))绕z轴旋转所成的旋转曲
6、面的方程为f±x+y,z=0((((22))))绕y轴旋转所成的旋转曲面的方程为fy,±x+z=0设C:f((x,y))=0⊂xoy((((22))))绕x轴旋转所成的旋转曲面的方程为fx,±y+z=0((((22))))绕y轴旋转所成的旋转曲面的方程为f±x+z,y=0设C:f((x,z))=0⊂zox((((22))))绕x轴旋转所成的旋转曲面的方程为fx,±y+z=0((((22))))绕z轴旋转所成的旋转曲面的方程为f±x+y,z=08上页下页返回结束《高等数学》第八章空间解析几何与向量代数例6建立顶点在原点,旋转轴为z轴
7、,半顶角为α的圆锥面方程.z圆锥面的方程为：L2222zz==aa((xx++yy))y其中，a=cotααox9上页下页返回结束《高等数学》第八章空间解析几何与向量代数三、柱面222z引例分析方程x+y=R表示怎样的曲面?222解在xoy面上，x+y=R表示圆C,M在圆C上任取一点M1(x,y,0),过此点CoyM作平行z轴的直线l,对任意z,M(x,y,z)1222x的坐标也满足方程:x+y=Rl此曲面可以看作是由平行于z轴的直线l沿xoy面上的圆222x+y=R移动而成.这曲面叫做圆柱面.222xoy面上的圆x+y=R叫做它
8、的准线,l叫做它的母线.10上页下页返回结束《高等数学》第八章空间解析几何与向量代数一般地，平行定直线并沿定曲线C移动的直线l形成的轨迹叫做柱面.C叫做准线,l叫做母线.z例如:2•y=2x表示抛物柱面,o母线平行于z轴;xy2准线为xoy面上的抛
