齐民友高数下册上课第08章04节平面(1)

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1、第1章集合第4节平面（考点）从本节起讨论空间解析几何.空间解析几何就是用代数方法研究空间几何对象。这里“几何对象”包括空间曲面与空间曲线.平面是特殊的曲面；直线是特殊的曲线。要用代数方法研究空间几何对象，首先要建立的方程（也可能是方程组）。与平面解析几何类似，与它的方程之间应满足如下关系:(1)若点在上,则满足方程；(2)若一组数满足方程,则点在上．则称为的方程,为方程的图形.（1）和（2）合起来意思是，（即，方程不多不少刚好表示完的全部点）在本节及下一节,我们将以向量为工具,在空间直角坐标系中讨论平面和直线.15第1章集合

2、平面的方程（题目（考点）：求满足给定条件的平面的方程。）1　平面的点法式方程假设同学们已经熟知什么是平面。若一非零向量垂直于一平面，则称此向量是该平面的法向量,记作.下面我们要写出给定平面的方程。要写的方程，首先要有一些已知条件。设已知上随便一点和的随便一个法向量。平面就确定了，确定了就可以写它的方程.设是空间任一点。。因此的方程是.(4.1)图4.1而平面便是方程(4.1)的图形．由于方程(4.1)是由平面上已知点及它的法向量确定的，因此，称方程(4.1)为平面的点法式方程．写给定平面的点法式方程的方法：首先根据已知条件求

3、出上随便一点和随便一个法向量，再把和代入(4.1)就得到的方程。15第1章集合【例4.1】　若平面过点,且其法向量的三个方向角相等,求此平面的方程.解　设法向量的三个方向角为,由条件可得，但注意到，于是有，取,由点法式方程(4.1),所求平面的方程为.即.思考题:1．对此题,能否取法向量来建立平面方程?一般地,平面有多少个法向量,不同的法向量之间有什么关系?15第1章集合【例4.2】　若平面过三点,求此平面的方程.解　先求平面的法向量,因,,则.于是可取又点是此平面上一定点,由平面的点法式方程(4.1)可得或.　　(4.2)

4、(4.2)式也称为平面的三点式方程.(测)思考题:2．根据向量的混合积导出平面的三点式方程(4.2).（四点共面的充要条件是。也可得到方程（4.2）。）15第1章集合2　平面的一般方程.(4.1)平面方程(4.1)是的三元一次方程。反过来，若随便给定三元一次方程，(4.3)它是否表示一个平面？任取满足该方程的一组数（若，令得），即，　　　　　　　(4.4)两式相减就得到与(4.1)同解的方程:.(4.3’)由此可见,方程(4.3)是过点且以为法向量的平面方程，故三元一次方程(4.3)的图形是平面．称方程(4.3)为平面的一般

5、方程.是平面的法向量．结论：平面的方程都是三元一次方程；反过来，三元一次方程都表示一个平面。利用一般方程写平面方程的方法：把已知条件代入(4.4)得未知数是的方程组，解此方程组得到，再代回(4.4)就得到平面的方程。（注意：的解是不唯一的！）为简单，可利用三元一次方程和平面特点的以下关系：(1)平面通过原点．(2)法向量为垂直于轴平面平行于轴；法向量为垂直于轴平面平行于轴；法向量为垂直于轴平面平行于轴(2)的三个特点有时可能同时具有其中两个，例如，平面平行于面．思考题:3．在方程(4.3)中,若(1);(2);(3);(4)

6、,则方程(4.3)分别表示怎样的平面?画出这些平面的图形.15第1章集合【例4.3】　求通过轴和点的平面方程．解　平面过轴，则该平面平行于轴，且平面过原点，故设该平面的方程为由平面过点，有，将此式代入所设方程有，消去（解不唯一！），得平面方程．思考题：4．试根据平面的点法式方程求例4.3的平面方程.解设法向量为，则同时垂直于和。解取。所求平面方程是（在平面上）【例4.4】　设平面与轴，轴，轴分别交于三点，，，求此平面的方程(其中：)．解　设所求的平面方程为，将三点的坐标分别代入得,从而，代入所设方程有，两边同除以有．(4.5

7、)方程(4.5)称之为平面的截距式方程，而依次称为平面在轴上的截距．15第1章集合思考题:5．试根据平面的三点式方程导出平面的截距式方程.解。取平面的方程即15第1章集合4.2点到平面的距离设是平面：外一点，下面求点到平面的距离．图4.2设为点在平面上的投影点.由条件，平面的单位法向量，故注意到在平面上,有,故.　　　　　　　　　　(4.6)(4.6)为点到平面的距离公式.（与平面几何点到直线距离公式比较记住）例如点到到平面平面:的距离为.15第1章集合思考题：6．试根据例3.3所给出的Cauchy不等式导出点到平面的距离公

8、式（4.6）式.7．如何判别两点位于同一平面的同侧或异侧?解平面把全空间分割成三部分：平面上；有一侧另一侧。15第1章集合4.3两平面的位置关系1两平面的相互位置设空间两平面的方程分别为：，．法向量分别为，。从几何上看,其位置关系可能是平行、重合、相交等情形．（1）。（2）。特别地，易证两