齐民友高数下册上课第08章05节空间直线.doc

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1、第5节空间直线（考点）5.1空间直线的方程（题目（考点）：求满足给定条件的直线的方程。）1空间直线的对称式方程和参数方程若一非零向量平行于一条已知直线，这个向量就称之该直线的方向向量，将其记为.显然，直线上的随便非零向量均可作为此直线的方向向量．下面我们写直线的方程。已知直线上随便一点和它的随便一个方向向量，空间直线就完全确定下来了，就可以写它的方程了．设是空间中任一点。。因此，过点且以为方向向量的直线的方程为图5.1．(5.1)称方程组(5.1)为直线的对称式方程或点向式方程或标准方程．(5.1)是三个相等的比，允许某些分母

2、为0。当某分母为0时，应理解为其分子也是0。如，则(5.1)理解为：．若方向数中有两个数为零，如，则(5.1)理解为：．(5.1)是三个比相等，但比可以是任意实数。设，则可得过点且以为方向向量的直线的参数方程:，．(5.2)写直线的方程的方法：先根据已知条件求出上随便一点和它的随便一个方向向量，再代入(5.1)或(5.2)即得的方程。【例5.1】求过点且与平面垂直的直线方程.解　由于所求直线与平面垂直，故可取此平面的法向量为直线的方向向量，即取，由公式(5.1)及公式(5.2)得直线的对称式方程及直线的参数方程．思考题:1．在

3、利用公式(5.1)或公式(5.2)求直线的方程时，关键是要求得哪个量？2．若直线过两已知点，求直线的方程.解取。的对称式方程参数方程．2空间直线的一般方程空间直线可看成两平面和的交线．事实上，若两个相交的平面和分别为和，则它们的交线上的任一点的坐标必然同时满足和的方程.反之，如果点不在直线上，那么它不可能同时在平面和上，所以它的坐标不能同时满足和的方程，由此得直线的方程(空间直线的一般方程):(其中不成立)(5.3)一般地说，过空间一直线的平面有无限多个，所以只要在这无限多个平面中随便选其中的两个，将它们的方程联立起来，就可得

4、到此空间直线的方程．思考题:3．直线的对称式方程(5.1)能否视为直线的一般方程(5.3)？特别地，对称式方程(5.1)中若中有一个或两个为零时，能否也视为直线的一般方程，这时直线具有怎样的特点？2．1对称式方程和一般方程互化事实上是两个等式。因此，化为一般方程。化一般方程为对称式方程的方法：（1）求的随便一个解。（比如说令再解出和）（2）。取。（3）把和代入（5.1）即得对称式方程。【例5.2】用对称式方程及其参数方程表示直线.解　先找出这直线上的一定点，如：取代入方程组解得，从而得到直线上的一点．再求该直线的一个方向向量.

5、作为两平面的交线，它与两平面的法向量都垂直，可取的方向向量.因此，所给直线的对称式方程为，直线的参数方程为.思考题:4．证明:若直线由方程(5.3)给出，则的方向向量【例5.3】求过点且与平面及平行的直线方程.解1　由于直线与平面及平行，故直线与平面及的法向量都垂直，因，取直线的方向向量．因此，所求直线方程为．解2　由于直线与平面及平行，故必平行于及的交线．在这条直线上取两点，如令，得，解得，即，类似地，求得，于是可取直线的方向向量，从而也可得直线方程(如解法1所求).解3　过点且平行于平面的平面方程为即．过点且平行于平面的平

6、面方程为，即．由于所求直线既在平面又在平面上，故其方程为．【例5.4】求直线：在平面:上的投影直线的方程．解　过直线作平面垂直于平面，与的交线即所求投影直线，如图5.2所示，由条件，平面的法向量为.设平面的法向量为，则.设直线的的方向向量为，由于直线在平面上，.图5.2由故，又，可在直线上求得一点，从而得，即故所求直线的方程为.（测）【例5.5】求过点且与直线垂直相交的直线的方程.解1　首先过点作一平面垂直于已知直线，为此取的方向向量作为的法向量，得的点法式方程，即．的参数方程为，设垂足。将代入的方程，可解得（，也得），从而与

7、的交点为，故直线的方向向量，或，故直线的方程为.（上面求与的交点时，本来要求三个未知数，用了的参数方程后，只有一个未知数要求。这是参数方程的妙用。）解2　设所求直线的方程为，其方向向量.由条件，的方向向量，且，可得因点在上，，由于直线与相交，故三向量共面，从而有，即，由，解得取，故所求直线的方程为.解3　过点可作一平面垂直于已知直线．由解法1已求得，.又因已知直线与点可确定平面，故所求直线就是与的交线.设的法向量为．由条件，的方向向量.则，但由于在上，则，故取，即，因此，的方程为即，故所求直线的方程为．5.2直线与直线、直线与

8、平面的位置关系1直线与直线的位置关系空间两直线的相关位置可以分为几种情形：共面（其中又可分为相交、平行、重合等几种情形）和不共面（异面）．我们可利用向量来研究两直线的位置关系.设两直线的方程为，，其中过点方向向量；过点，方向向量.（1）和共面的充要条件是三向量，，共面，即，或