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《齐民友高数下册上课第08章07节空间曲线及其方程.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第7节 空间曲线及其方程7.1空间曲线的方程1 曲线的一般方程空间曲线可以看作是两张曲面与的交线（图7.1）．设与的方程分别是与。曲线的充要条件是的坐标满足方程组． (7.1)因此，(7.1)是曲线的方程，称为曲线的一般方程．例如表示柱面与平面的交线（图7.2）．图7.2图7.1z【例7.1】 以下方程分别表示怎样的曲线？(1)(2).解(1)方程组可化为,其中第一个方程表示中心在原点，半径为的上半球面；第二个方程表示母线平行于轴，准线是面上以点为中心，半径为圆周的圆柱面，方
2、程组表示这两个曲面的交线(图7.3)．图7.3图7.4(2)方程组中第一个方程表示顶点在坐标原点,开口向上的旋转抛物面；第二个方程表示母线平行于轴，准线是面上以点(0,2)为顶点，开口向下的抛物线的抛物柱面，方程组表示这两个曲面的交线(图7.4)．2 曲线的参数方程空间曲线也可以用参数方程来表示。把曲线上的动点的坐标分别表示成参数的函数, (7.2)方程组(7.2)叫做曲线的参数方程．曲线的参数方程(7.2)的意思是：当参数跑遍时，动点正好跑遍曲线。当给定时，由(7.2)式就得到
3、曲线上的一个点。【例7.2】 如果空间一点在圆柱面上以角速率绕轴旋转，同时又以线速率沿平行于轴的正方向上升，其中，都是常数，点的轨迹曲线叫螺旋线，试建立其参数方程．解取时间为参数,设当时，动点与轴上的点重合，经过时间，动点由运动到．记在面上的投影为．图7.5由于动点在圆柱面上以角速度绕轴旋转，经过时间，，从而.又由于动点同时以线速度沿平行于轴正方向上升，所以．因此，螺旋线的参数方程为.令，则方程形式可化为，（为参数）螺旋线是一种常见的曲线.比如螺丝钉的螺丝曲线就是螺旋线.与平面曲线情形类似，参数方程消除
4、参数t就得到一般方程；空间曲线的一般方程也可以化为参数方程．下面用例子说明曲线一般方程化为参数方程的方法。【例7.3】 将空间曲线表示成参数方程．解由方程组消去得,变形得.由于在此椭圆柱面上，故的方程可用如下形式来表示.如果令，由椭圆柱面方程,有，而,则曲线又可表示成为.（如果以作为参数，即令,则,,从而得到曲线的参数方程,且参数的取值范围为,即．）也可以把空间曲线的参数方程化为一般方程．, (7.2)(7.2)消除参数，例如，从(7.2)的第一个等式解出，再代入其他两个等式，就
5、得到与(7.2)等效的一般方程7.2 空间曲线在坐标面上的投影以空间曲线为准线,母线平行于轴的柱面叫做对面的投影柱面.投影柱面与面的交线叫做在面的投影曲线.． (7.1)设空间曲线的一般方程由(7.1)给出。方程组(7.1)消去变量之后得到方程.(7.3)(7.1)与或是等效的，都是的方程。(7.3)是准线为，母线平行于轴的柱面，从而是对面的投影柱面.故，在面的投影曲线是 (7.4)类似地，消去方程组(7.1)中的变量,得,再与联立就得到包含在面上的投影曲线的曲线方程：.
6、消去方程组(7.1)中的变量,得,再与联立就得到包含在面上的投影曲线的曲线方程：.【例7.4】 求曲线在面和面上的投影曲线方程．图7.6解先求包含曲线且母线平行于轴的柱面，从方程组中消去，得，将其代入第一个方程得到,这是曲线对面的投影柱面的方程．从而得曲线在面上的投影曲线,为一椭圆:.再由所给方程组消去.将两方程相减,得到曲线对面的投影柱面:,从而得曲线在面上的投影曲线:,（（从原方程组的第一个方程看出））它表示面上的一条直线段.如图7.6所示．思考题：1．试求例7.4中曲线在面上的投影曲线．有时，我们
7、需要确定一个空间立体（或空间曲面）在坐标面上的投影，一般来说，这种投影往往是一个平面区域，我们称它为空间立体（或空间曲面）在坐标面上的投影区域．利用投影柱面与投影曲线可以确定投影区域.图7.7【例7.5】 求上半球面和锥面所围成的空间立体在面上的投影区域．解的边界（抓住边界！！）是上半球面与锥面的交线:在面上的投影。由方程组消去变量，有.这是母线平行于轴的投影柱面，在面的投影曲线为:,这是一个圆，它所包围的区域为,就是立体在面上的投影区域，如图7.7所示．【例7.6】 作出由不等式所确定的区域及其在面及
8、上的投影区域的简图.解画出的边界曲面：，就可围得。方程表示过点和,且平行于轴的平面（因此就表示以此平面为边界且包含原点的那个半空间）；方程表示以轴为轴，半径为1的圆柱面（故表示这个圆柱面及其内部）．圆柱面与平面的交线分别为：图7.8圆弧,直线段,即,椭圆弧.平面与平面的交线分别为直线段；直线段，画出这五条交线，就得到区域的简图(图7.8)．交线,,在面上的投影分别为：轴上直线段，轴上直线段，面上直线段由,,所围成的区域即在面上的投影区域，类
