齐民友高数下册上课第08章08节二次曲面(1)

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1、第1章集合第8节　二次曲面三元二次方程所表示的曲面叫做二次曲面．第6节例6.3与例6.4给出的旋转曲面就是二次曲面．二次曲面应用较广泛，并且形状也比较简单．本节讨论几种标准方程的二次曲面．8.0球面（重点认识）方程(8.0)表示的曲面是球心在半径为的球面．（动点到定点的距离等于定长。）(8.0)的平方都展开并记，可知球面方程是三元二次方程（平方项系数都是1）(8.01)反过来，给了三元二次方程(8.01)，配方得可见，（1）如果，则(8.01)表示球心在半径为的球面；（2）如果，则(8.01)只表示一点；（3）如果，则没有点满足

2、(8.01)（此时称(8.01)表示一个虚球面）。13第1章集合8.1椭球面（重点认识）方程(8.1)表示的曲面叫做椭球面．为了研究椭球面的形状，我们用平行于坐标平面的平面去截割椭球面，得到一些截线并考察这些截线的形状然后加以综合，构想出曲面的全貌.由方程可知即，，，这说明椭球面包含在由平面，，围成的长方体内．先考虑椭球面与三个坐标面的截线，，这些截线都是椭圆．图8.1用平行于面的平面（）去截这个曲面，所得截线（纬线）的方程是易见，当由0变到时，椭圆由大变小，最后缩成一点.同样地用平行于面或面的平面去截这个曲面得到一些经线，也有

3、类似的结果.如果连续地取这样的纬线和经线，可以想像，这些截线就组成了一张椭球面（图8.1）．在椭球面方程中，按其大小，分别叫做椭球的长半轴，中半轴，短半轴．上述考察椭球面的形状的方法，又称为截痕法，下面我们将继续应用此方法考察另外的几种二次曲面.13第1章集合8.2抛物面（重点认识）抛物面分椭圆抛物面与双曲抛物面两种．方程(8.2)所表示的曲面叫做椭圆抛物面（重点认识）．设方程右端取正号，现在来考察它的形状．(1)用面（）去截这曲面，截痕为原点．用平面（）去截这曲面得纬线为椭圆（时为圆）：.当时，截痕退缩为原点；当时，截痕不存在

4、.原点叫做椭圆抛物面的顶点.(2)用面（）去截这曲面得经线为抛物线图　8.2用平面去截这曲面得经线也为抛物线(3)用面（）及平面去截这曲面，其结果与(2)类似．综合以上分析结果，可知椭圆抛物面的形状如图8.2所示．方程(8.3)所表示的曲面叫做双曲抛物面．设方程右端取正号，现在来考察它们的形状．(1)用平面（）去截这曲面得纬线方程是当时，截痕是双曲线，其实轴平行于轴．当时，截痕是平面上两条相交于原点的直线.13第1章集合当时，截痕也是双曲线，但其实轴平行于轴．(2)用平面去截这曲面得经线方程是时，截痕是平面上顶点在原点的抛物线且

5、张口朝下．时，截痕都是开口朝下的抛物线，且抛物线的顶点随增大而升高．图　8.3(3)用平面去截这曲面得经线方程是截痕均是开口朝上的抛物线，且抛物线的顶点随增大而降低．综合以上分析，双曲抛物面的形状如图8.3所示．因其形状与马鞍相似，也称其为马鞍面．13第1章集合8.3双曲面双曲面分单叶双曲面与双叶双曲面两种．其中方程(8.4)表示的曲面叫做单叶双曲面．(1)用平面去截这曲面，截痕方程是它表示中心在原点，两个半轴长分别为及的椭圆.用平面去截这曲面得纬线方程是它表示中心在轴上，两个半轴长分别为及的椭圆.(2)用平面去截这曲面，截痕方

6、程是它表示中心在原点，实轴为轴，虚轴为轴的双曲线，两个半轴长分别为及.用平面去截这曲面得经线截痕方程是它表示中心在轴上的双曲线，两个半轴长的平方分别为及.如果，则双曲线的实轴平行于轴，虚轴平行于轴；如果，则双曲线的实轴平行于轴，虚轴平行于轴.如果，则平面截曲面所得截线为一对相交于点的直线，它们的方程为13第1章集合和如果，则平面截曲面所的截线为一对相交于点的直线，它们的方程为和(3)类似地，用平面，去截这曲面所得截线也是双曲线，两平面截这曲面所得截线是两对相交的直线.综上所述，可知单叶双曲面的形状如图8.4所示:图　8.4图　8

7、.5方程　　　　(8.5)所表示的曲面叫做双叶双曲面．用截痕法所得结果如下：截平面截痕面及平行于面的平面无截痕、一点或椭圆面及平行于面的平面双曲线面及平行于面的平面双曲线它的形状如图8.5所示:．8.4椭圆锥面（重点认识）方程　　　　　　　　(8.6)表示的曲面叫做椭圆锥面(二次锥面).用截痕法所得结果如下：截平面截痕面及平行于面的平面一点或椭圆面及平行于面的平面两相交直线或双曲线面及平行于面的平面两相交直线或双曲线13第1章集合由方程(8.6)知，椭圆锥面过原点，又由于当点的坐标满足方程(8.6)时，点(为任意实数)的坐标也满

8、足方程(8.6).因此，直线都在椭圆锥面上，因此可以认为椭圆锥面由通过原点的直线构成.我们把这些直线称为椭圆锥面的母线，母线的公共点称为椭圆锥面的顶点.若用平面去截椭圆锥面，其截线为椭圆.这样，我们可把椭圆锥面看作其母线沿上述椭圆移动所形成的曲面.一般地，若直线