高数-微分方程总结上课讲义.ppt

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1、高数-微分方程总结(1)可分离变量的微分方程解法分离变量法1、一阶微分方程的解法(2)齐次方程解法作变量代换2(3)一阶线性微分方程上方程称为齐次的．上方程称为非齐次的.齐次方程的通解为（使用分离变量法）解法3非齐次微分方程的通解为（常数变易法）伯努利(Bernoulli)方程方程为线性微分方程.方程为非线性微分方程.4解法需经过变量代换化为线性微分方程．其中形如(4)全微分方程5注意：解法用直接凑全微分的方法.通解为6(7)可化为全微分方程形如7公式法:观察法:熟记常见函数的全微分表达式，通过观察直接

2、找出积分因子．8常见的全微分表达式可选用积分因子93、可降阶的高阶微分方程的解法解法特点型接连积分n次，得通解．型解法代入原方程,得10特点型解法代入原方程,得４、线性微分方程解的结构（1）　二阶齐次方程解的结构:11（2）二阶非齐次线性方程的解的结构:1213５、二阶常系数齐次线性方程解法n阶常系数线性微分方程二阶常系数齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程解法由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为特征方程法.14特征方程为15特征方程为特征方程的根通解中的对应项推广：阶常系数齐次线性方程解法1

3、6６、二阶常系数非齐次线性微分方程解法二阶常系数非齐次线性方程解法待定系数法.17187、欧拉方程欧拉方程是特殊的变系数方程，通过变量代换可化为常系数微分方程.的方程(其中形如叫欧拉方程.为常数)，19当微分方程的解不能用初等函数或其积分表达时,常用幂级数解法.8、幂级数解法20二、典型例题例1解原方程可化为21代入原方程得分离变量两边积分所求通解为22例2解原式可化为原式变为对应齐方通解为一阶线性非齐方程伯努利方程23代入非齐方程得原方程的通解为利用常数变易法24例3解方程为全微分方程.25(1)利用原函数法

4、求解:故方程的通解为26(2)利用分项组合法求解:原方程重新组合为故方程的通解为27(3)利用曲线积分求解:故方程的通解为28例4解非全微分方程.利用积分因子法:原方程重新组合为29故方程的通解为30例5解代入方程，得故方程的通解为31例6解特征方程特征根对应的齐次方程的通解为设原方程的特解为32原方程的一个特解为故原方程的通解为33由解得所以原方程满足初始条件的特解为34例７解特征方程特征根对应的齐方的通解为设原方程的特解为35由解得36故原方程的通解为由即37例８解（１）　由题设可得：解此方程组，得38（２

5、）　原方程为由解的结构定理得方程的通解为39解例９这是一个欧拉方程．代入原方程得(1)40和(1)对应的齐次方程为(2)(2)的特征方程为特征根为(2)的通解为设(1)的特解为41得(1)的通解为故原方程的通解为42解例10则由牛顿第二定律得43解此方程得代入上式得44测验题4546474849505152测验题答案5354此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢