哈工大高数基础讲义ch7上课讲义.doc

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1、哈工大高数基础讲义ch7精品文档第七章空间解析几何与向量代数第一节空间直角坐标系教学目的：将学生的思维由平面引导到空间，使学生明确学习空间解析几何的意义和目的。教学重点：1.空间直角坐标系的概念2.空间两点间的距离公式教学难点：空间思想的建立教学内容：一、空间直角坐标系1．将数轴（一维）、平面直角坐标系（二维）进一步推广建立空间直角坐标系（三维）如图7－1，其符合右手规则。即以右手握住轴，当右手的四个手指从正向轴以角度转向正向轴时，大拇指的指向就是轴的正向。2．间直角坐标系共有八个卦限，各轴名称分别为：轴、轴、轴，坐标面分别为面、面、面。坐标面以及卦限的划分如图7－2所示。

2、3．图7－1右手规则演示图图7－2空间直角坐标系图图7－3空间两点的距离图收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档3．空间点的坐标表示方法。通过坐标把空间的点与一个有序数组一一对应起来。注意：特殊点的表示a)在原点、坐标轴、坐标面上的点；b)关于坐标轴、坐标面、原点对称点的表示法。二．4．空间两点间的距离。若、为空间任意两点，则的距离（见图7－3），利用直角三角形勾股定理为：而所以特殊地：若两点分别为，例1：求证以、、三点为顶点的三角形是一个等腰三角形。证明:由于，原结论成立。收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档例2：设在轴上，它到的距离为到点的距离的两倍，求点

3、的坐标。解：因为在轴上，设P点坐标为所求点为：，小结：空间直角坐标系（轴、面、卦限）空间两点间距离公式作业：收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档第二节向量及其运算教学目的：使学生对（自由）向量有初步了解，为后继内容的学习打下基础。教学重点：1.向量的概念2.向量的运算教学难点：向量平行与垂直的关系教学内容：一、向量的概念1．向量：既有大小，又有方向的量。在数学上用有向线段来表示向量，其长度表示向量的大小，其方向表示向量的方向。在数学上只研究与起点无关的自由向量（以后简称向量）。2．量的表示方法有:、、、等等。3．向量相等：如果两个向量大小相等，方向相同，则说（即经过

4、平移后能完全重合的向量）。4．量的模：向量的大小，记为、。模为1的向量叫单位向量、模为零的向量叫零向量。零向量的方向是任意的。5．量平行：两个非零向量如果它们的方向相同或相反。零向量与如何向量都平行。6．负向量：大小相等但方向相反的向量，记为二、向量的运算1．加减法：加法运算规律：平行四边形法则（有时也称三角形法则），其满足的运算规律有交换率和结合率见图7－4图7－4加法运算图2．即收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档3．向量与数的乘法：设是一个数，向量与的乘积规定为时，与同向，时，时，与反向，其满足的运算规律有：结合率、分配率。设表示与非零向量同方向的单位向量，那

5、么定理1：设向量a≠0，那么，向量b平行于的充分必要条件是：存在唯一的实数λ，使b＝例1：在平行四边形ABCD中，设，，试用和b表示向量、、和，这里M是平行四边形对角线的交点。（见图7－5）图7－4解：，于是由于，于是又由于，于是由于，于是小结：本节讲述了空间解析几何的重要性以及向量代数的初步知识，引导学生对向量（自由向量）有清楚的理解，并会进行相应的加减、乘数、求单位向量等向量运算。作业：作业卡P72~P73收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档第三节向量的坐标教学目的：进一步介绍向量的坐标表示式、为空间曲面等相关知识打好基础。教学重点：1.向量的坐标表示式2.向量

6、的模与方向余弦的坐标表示式教学难点：1.向量的坐标表示2.向量的模与方向余弦的坐标表示式教学内容：一、向量在轴上的投影1．几个概念(1)轴上有向线段的值：设有一轴，是轴上的有向线段，如果数满足，且当与轴同向时是正的，当与轴反向时是负的，那么数叫做轴上有向线段的值，记做AB，即。设e是与轴同方向的单位向量，则(2)设A、B、C是u轴上任意三点，不论三点的相互位置如何，总有(3)两向量夹角的概念：设有两个非零向量和b，任取空间一点O，作，，规定不超过的称为向量和b的夹角，记为(4)空间一点A在轴上的投影：通过点A作轴的垂直平面，该平面与轴的交点叫做点A在轴上的投影。(5)向量在

7、轴上的投影：设已知向量的起点A和终点B在轴上的投影分别为点和，那么轴上的有向线段的值叫做向量在轴上的投影，记做。收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档2．投影定理性质1：向量在轴上的投影等于向量的模乘以轴与向量的夹角的余弦：性质2：两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在该轴上的投影的和，即性质3：向量与数的乘法在轴上的投影等于向量在轴上的投影与数的乘法。即二、向量在坐标系上的分向量与向量的坐标1．向量在坐标系上的分向量与向量的坐标通过坐标法，使平面上或空间的点与有序数组之间建立了一一对应关系，同样地，为了沟通