考研--高数讲义

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第一讲极限与连续一、重要的概念1.极限定义(1)数列极限定义一(£-N)liman=A：若对任意的£>0,总存在N20,当〃〉N时，有成立,n—>oo称A为数列｛4｝的极限，记lima“=A。n—>co(2)自变量趋于无穷时函数极限的定义一(£一S)lim/(x)=A：若对任意的£>0,总存在6>0,当0<1x-。1<5XTa时，有I/(幻一41<£成立，称A为函数/(x)当xf。时的极限，记lim/(x)=A。xTa(3)自变量趋于有限值时函数极限的定义一(£-X)lim/(x)=A：若对任意的£>0,总存在X>0,当lxl〉XX—►<»时,有成立,称A为函数)(X)当x—>8时的极限,记lim/(x)=A。X—>00(4)左右极限的定义一/(。一0)：若对任意的£>0,总存在b>0,当0a-/(a+0)：若对任意的£>0，总存在5>0,当0<不一。<5时，有I/(工)一A1<£成立，称A为函数/(x)在太=a处的右极限，记lim/(x)=A=/(〃+0)。x—>a+注解：limf(x)存在0f(a-0),/(a+0)都存在且相等。2.无穷小(1)无穷小的定义一以零为极限的函数称为无穷小。(2)无穷小的层次关系及等价无穷小的定义设a->0,夕->0,若lim2=0,称/是a的高阶无穷小，记为尸=o(a)：若lim"=k(#0,oo),称4与a为同aa阶无穷小，记为0=0(a),特别地，若lim2=l,称/与a为等价无穷小，记为〃〜a。a(3)无穷小的性质1)有限个无穷小之和还是无穷小；2)无穷小与有界函数之积还是无穷小；3)无穷小与常数之积还是无穷小；4)有限个无穷小之积还是无穷小；5)lim/(x)=A的充分必要条件是/(x)=A+a,其中af0；6)0~a=B~~a=o(a)；7)a〜a',0〜(3'，且lim夕存在，则lim2也存在且lim2=lim邑。a'aaa(4)xf0时常用的等价无穷小1)x-sinx-tanx-arcsinx〜arctanx〜ln(l+x)〜/-1；2)axx

1a(a>0,a1)；八1厂1aa23)1—cosx,1—cosxx；224)(1+x)u—1~axo3.连续(1)若lim/(x)=/(a)，称/(x)在点x=a处连续；X—(2)若/(x)在区间(a,b)内点点连续，K/(a)=f(a+0),/(b)=f(b-0),称/(x)在区间[a,加上连续，记为/(x)eC[a,b]。4.间断点的分类设/(x)在x=a处间断，则(1)若/(a-0),/(a+0)都存在，则称x=a为函数/(x)的第一类间断点，更进一步，

21)若f(a-0)=/(a+0),称x=a为/(x)的可去间断点：2)若/(a-0)w/(a+0),称x=a为/(x)的跳跃间断点。(2)若/(a-0),/(a+0)至少有一个不存在，称x=a为函数/(x)的第二类间断点。二、重要定理(-)极限定理1.极限存在必唯一性定理一极限存在必唯一(需掌握证明)。2.数列极限的有界性定理一若lima“=A,则存在M>0,对一切的〃，有(需掌握证明)。n—><»3.夹逼定理一设/(x)4g(x)W/?(x),且lim/(x)=lim/i(x)=A,则limg(x)=A(对数列有同样的定理)。(需掌握证明)。(二)闭区间上连续函数的性质1.最值定理一设f(x)wC[a,b],则/(x)在区间[a,切上取到最大和最小值。2.有界定理一设〃x)eC[a,b],则存在K>0,使得"(元)KK,xe[a,b]。3.零点定理一设/(x)eC[a，W，且/(a)/(b)<0,则存在Je(a,b),使得/«)=0。4.介值定理(1)设/(x)eC[a,瓦),对任意〃(其中孙M为/(无)在[a,切上的最小值和最大值)，存在使得f4)=〃。(2)设〃x)GC[a,W，且/(a)wOS)(不妨设/(a)

3sinx•4-^-^-X2n+o(x2n)«2!(2〃)！I,(4)=l+x+厂+,••+xn+o(x")o1-X1,(5)=l-x+x2+…+(-l)"x"+o(xn)»1+x(6)X2(_nn-1ln(l+尤)=x+,••4x"+o(x”)o2n，、八.a(a-1)2a(a-1)…(a—〃+1)„,八(7)(l+x)a=l+ax+--x2+--x"+o(xn)«2!〃！五、常见题型(-)求极限注解：求极限的方法方法一：重要极限方法二：极限存在准则方法三：等价无穷小方法四：马克劳林公式方法五：罗必达法则方法六：中值定理方法七：定积分]1.Iim(--—)x-|n(1+J()oarctanx]、arctanxx-aretanx解答:lim(X)x-,n(,+x)=Hm[(l+>-arctanx尸一皿十Xj[x-in(i+x)jarctanxarctanx*一°arctanxx-arctanxhmx-»o[.t-ln(l+.v)]arctanx.，八、x2x—arctanxx—arctWx-ln(l+x)，所以=hm=21im-2x->0[x-ln(l+x)]arctanx…x।1=2lim—==于是lim(---)-)=*。3x3101+x3J。arctanx(i+-r2.lim[——,X—>+OOp

43.设/(x)二阶连续可导，/〃(0)=4,lim2^=0,求x—>0xx—>0x4.设/（X）在x=0的邻域内可导，且（（0）=4,求limx->0x25.n+l-^―,证明数列｛%｝收敛并求其极限。1+解答:令人加后’因为小）二;尸'』>0(x>0),所以｛%｝单调。又因为％=1,0<%+]<1,所以数列｛%｝有界，从而数列｛%｝收敛，4limn,,=A,则有A=J—nA=――-1Y1+A2,..x-x6.limxfInx-sin^x解答：lim----——=-limx--IInx-sin7txfx1-1-lln[l+(x-1)]sinm=limX->1(x-l)lnxie-i(x—l)sin4(x—1)=-lim71f(x-1)2717.lim—―[(10x2ex+2r-i].解答：lim—［（e*+2)'-1]=limx->0x2—=limxtO3+2xln3=limA->0ex-elan8.limrvl+sinx-vl+tanx解答：limx—>0xtanxe-eJl4-sinx—a/1+tanx=limextO/x-tanxtana-l)(Vl+sinx+Vl+tanx)sinx-tanx=2limgX，an"-1=2lim上卫=2limsinx-tanx…sinx-tanx…x-tanxsinx-tanx因为limx—>0x-tanxx3limx->01-sec2x3x2lim=limiosinx-tanx…sinxcosx-1•cosx=——,所以lim2a。V1+sinx-J1+tanxr，19.lim(——--x—0sinxcos2Xx210.lim[x->0ln(l+x)ex~-1.r1x,..e'_1—xln(l4-x)..e'_1—xln(l+x)解答：hm[；]=hm——；-=lim一——1。ln(l+x)ex'_1i。(e*-l)ln(l+x)…x42由e”=l+x2+^-+o(x4)^ln(l+x)=x-y+o(x2),得e'-1=x2+—+o(x4),xln(l+x)=x2--+o(x3),22

5从而ex-1-xln(l+x)=—+o(x3),于是lim[:-]=—。2-olin(l+x)e*一12(111、11.limj+)=T1-；..o+44n2+16yln2+4n2)12.iim[(l+-)(1+-)•••(1+-)]".-nnn2工3+nx~+2-n13.求常数机,〃，使得lim：=5。(m=一2,〃=8)i厂+(m+2)x-1*tx14.设/(x)=lim(小)汨蒜，求/(x)的间断点并指出其类型。fsinx•.x•,・sinxxxcintcint-QinX解答：首先=|而[(1+—)皿一期，产,=gsinfsinxfsinx其次/(x)的间断点为x=hr(k=0,±l,…)，因为lim/(x)=e,所以x=0为函数/(x)的第一类间断点中的可去间断点，x=k晨k=±1,…)为函数/(x)的第二类间断点。15.设/(x)在[a,加上连续，任取x,.€[a,b](i=l,2,…,〃)，任取尤.>0(i=l,2,…,〃)，证明：存在使得2)(演)+&〃*2)+…+%“〃X")=(K+G+…+幻/心)。第二讲一元函数微分学一、重要的概念1.导数一设)?=/(x)的定义域为。，xoeD,记Ay=/(x0+Ax)-/(x0),若lim二■存在，称、=f(x)在点与处8一。Ax可导，其极限称为函数y=/(x)在点/处的导数，记为/'(/)或包。^2.左、右导数一若lim"%+-"x°)存在,称>=/(x)在/处右可导，记为/：(%)；Ax—>+0Mvu若lim/(/+')一/(&)存在,称y=/(x)在与处左可导，记为£(%)，函数y=/(x)在X。处可导的充分必要Ax—>-0Axvvv条件是其左右导数都存在且相等。注解：导数的其他定义(1)/'(Xo)=lim/(々+醺)一/(次;A~oAx(2)f'(x0)=lim/^o1^)Z^o)」°Dh(3)八/)=1而A』一/(X。)。IX。X-Xo2.可微一设y=/(x)在/的邻域内有定义，若Ay=AAx+o(Ar),称y=/(x)在X。处可微，其中AAx称为函数y=/(x)在X。处的微分，记为dylEo=AAx,习惯上记为dy1=均=Adx。二、重要的定理1.若函数可导，则函数一定连续。2.可导与可微等价。3.四个中值定理

6(1)罗尔中值定理一(2)拉格郎日中值定理(3)柯西中值定理(4)泰勒中值定理三、重要公式(-)基本求导公式(-)四则求导法则(三)复合函数链式求导法则四、一元函数微分学的应用(~)单调性与极值(二)最值(三)凹凸性(四)弧微分、曲率与曲率圆1.弧微分11)(1)若L:y=/(x),则ds=J1+f"(x)dx；(2)若L:f=°"),则ds=J/2(f)+“2(-力；[y=。«)(3)若L:r=r((9),则ds=ylr2(0)+r'2(0)d0。|yff|12.曲线的的曲率K='、；3.曲线的曲率半径为/?=」-；1K(i+y2)24.曲率圆(1)定义一设函数/(x)在与处有二阶导数，且/〃(%)#0,记尸(%,打)为曲线y=/(x)上对应于与的点，若圆L在点「(/，光)满足：与曲线y=f(x)相切：与曲线y=/(x)有相同的凹凸方向；与曲线y=/(x)在点玖看,为)处有相同的曲率半径，称圆L为曲线y=/(x)在点尸(公，光)处的曲率圆。(2)曲率圆的中心曲率圆中心(。,匕)必在曲线y=/(x)在2(无。,加)处的法线上，所以有a-x0=-f'(x0)(b-y0)»

7l+/，2(x0)_T(X°)又[-/'(X。(b-%)]2+S—y°)2=[(1^^)2-]2，则。=X。—“叫!了："。"团=先1/U0)lf(x0)例子1.求曲线y=2-在点(0,2)处的曲率圆。解答：了=一》",了"=(16--1)产，则y'(0)=0,y"(0)=-1。3曲线y=在点(0,2)的曲率半径为R=口；\；:二=1，_ny'(0)[l+y'2(0)]n,小、l+y,2(0),曲率中心为a=0-J_■z=0,b=y(0)+—z=1,y"(o)y〃(o)所求的曲率圆为一+(y—l)2=1。{_y—f—sint上对应于参数『=乃的点尸处的曲率圆。y=1-cosr解答：，=乃对应的点为P(心2)。包=*-"=J一，则甥一=0也|=」,dx1-cos/dx2(1-cos/)2dx'一"dx243(\।v,2\2曲线在点P(肛2)处的曲率半径为R=、I,5=4,曲率中心为a=〜八/工小丸b=2+—41,一〃=-2,yy所求的曲率圆为(x-乃＞+(y+2)2=16。(五)渐近线五、常见的题型1a、“，卜—re,-p1-7-(n+3/z)—f2(a—2h)2.设f(x)在x=a处可导，o力t。h3.设f(x)连续,且对任意的大,与£/?有/送+)0=/(1)+/(>)+2孙/'(0)=1,求/(x)。3.y=”nx,求d(sinex)4.设/(x)二阶可导，且lim/®=Lf"(0)=2,求。xt。Xx->0x，px—14-/7rX<05.设/(x)=〈’,若/(九)在x=0处可导，求a,6。(a=0,b=1)a+bx,x>06.y=/(^4)，/'(x)=m(l+x2)，求学Li2x+ldx

87.x=Intan—2，求y=asint《(W」cos2fsin,)dx-dx~aln(l+x)38.设/(x)=x',求/'(x)并讨论了'(x)在x=0处的连续性。l,x=09.设连续，°(x)=f/(")力，且lim」(D=A,求°'(x),并讨论“(x)在x=0处的连续性。J)x->0x10.尸(x)=求尸(x)。11.设/(x)连续，且g(x)=，求g'(x)。12.设e--x+y-2=0确定函数y=/(x),求/〃(0)。13.设=小x?+y2,求电。dx14.x=°(y)是y=/(x)的反函数，/(x)可导，/V)=e?+x+1,/(0)=3,求“⑶。15.选择题(1)设/'(Xo)=/"(Xo)=O,_r(Xo)>O,则下列正确的是()(A)f'(x0)是/'(X)的极大值；(B)/(x0)是f(x)的极大值；(C)/(x。)是/(x)的极小值；(。)(尤(),/(4))是了=/(x)的拐点。(2)设/(x)在尤=0处二阶可导，且lim八勺+/(X)=2J(0)=0,则()10X(A)/(0)是/(x)的极大值.(B)/(0)是。(x)的极小值.(C)(0,7(0))是曲线丁=/(幻的拐点.(D)/(0)不是/(X)的极值点，(0,/(0))也不是曲线y=/(x)的拐点.(3)设/(幻二阶连续可导，且lim£9=-l,则()XTOX(A)/(0)是/(x)的极小值；⑻/(0)是/(x)的极大值；(C)(0,/(0))是曲线y=/(x)的拐点；(O)x=0是f(x)的驻点但不是极值点。16.设/(x)在［a,b］上连续，f{a)=f(b),又>0,证明：存在Je(a,b),使得/(J)=/(a)。解答：因为H(a)£(b)>0,所以H(a),£S)同号，不妨假设E(a)>0,£(b)>0,由/：(a)>0，存在X|W(a,b),使得/(项)>/(a)；由£(b)>0,存在X?w(a,b),使得/(必)0,夕(为2)=/U2)-/(a)=f(x2)-f(b)<0,所以有零点定理，存在g介于X］与*2之间(Jw(a,b)),使得夕(J)=0,即/(J)=/(a)。17.设函数/(x)在区间［0,3］上连续，在(0,3)内可导，且/(0)+/(1)+/(2)=3,/(3)=1,证明：存在Je(0,3),使得/'0=0。

9216.设">0,证明：存在&e(a,b),使得。2/(仍-反/(4)="(4一双二/(9-/'(4)］。百17.设/(外在［0,1］上连续，在(0,1)内可导，且/(0)=1,/(1)=0,证明：存在Jw(0,l),使得2/(9+丁e)=0。18.设/(无)在上连续，在(a,b)内可导,且_/W(b)>0J(a)〃审)<0。证明：存在Je(a,b),使得19.设/(x)在［a,切上连续，在(a»)内可导,f(a)=f(b)=l,证明:存在漱〃G(a,b),使得20.设f(x)在［0』上连续,(0,1)内二阶可导，且lim2=1」而犯=2,证明：io*x*-»「x-\(1)存在4e(0,l),使得/(J)=0；(2)存在〃e(0,l),使得/"①)=/(〃)。21.设尸(x)eC［-lJ,K/(-l)=0,/(l)=l,/r(0)=0o证明：存在自€(-1,1),使得尸修)=3。22.•质点从时间，=0开始直线运动，移动了单位距离使用了单位时间，且初速度和末速度都为零。证明：在运动过程中存在某个时刻点，其加速度绝对值不小于4。23.设/(x)在［-a,a］(a>0)上有四阶连续的导数，且lim驾存在。xtO£(1)写出/(龙)的带拉格朗日余项的马克劳林公式；«5/(4，(^i)=60ff(x)dx(2)证明：存在。使得｛」1.。4/4)(/=120/(星)24.设/(x)在［a,b］上满足l/"(x)K2,且〃x)在(a,b)内取到最小值，证明："'(a)I+l/'S)K2(b-a)。25.f\x)eC［O,1］,/(O)=/(I)=0,min/(x)=-1,证明：存在Je(O,l),使得了"@28。OSxSl26.设/(x)在［0,1］上二阶可导，""(x)Kl(xe［O,l］),/(O)=/(I),证明对对任意的尤e［0,1］,有27.设/(x)在［0,1］上二阶可导，且"(x)Ka,""(x)Kb,其中a力都是非负常数,c为(0,1)内任意一点。(1)写出/(x)在x=c处带Lagrange型余项的一阶泰勒公式；b(2)证明：I:(c)142a+万。(1996年真题)

1016.设函数/(x)在出力]上二阶可导，且尸(a)=/'S)=0。证明：存在<€(a,b),使得4(b-a)解答：由泰勒公式，得/("2)=/(0)+。^(空2—4)2,&63,包心),..a+ba+b2a+b„伯/(—r-)=/W+,(——-fe)2,^2e(——,fe),两式相减，得乙乙.乙乙/⑹一/⑷=——"(么)]="(。)一/⑷K।I]当/"©)凶/"(4)IOO4时，取“幺，则有一b"S)-/(a)l：(b-a)4当/〃@)1>""42)1时，取自=刍，则有"〃©)区彳―a"S)-/(a)l。(b-a)17.设f(x)在[0』上二阶可导,f(0)=〃l)且""(x)二2,证明：对任意的xe[0,1],有l/'(x)Kl。18.设/(x)二阶可导，/(0)=0,且/"(x)>0,证明：对任意的。〉08〉0,有/(a+b)>/(a)+/(b)。19.设/(无)二阶可导，1加上^=1且广(x)>0,证明：当XH0时，/(x)>x»10X20.设b〉a>0,证明：ln->2(/?~a).aa+b证明：ln->2S-a)o(In8-Ina)(a+b)—2(b—a)>0。aa+b令/(x)=(Inx-lna)(a+x)-2(x-a),f(a)=0。//(x)=l+-+lnx-lna-2=--l+lnx-lna.f'(a)=0,xx，〃/、1a(x-a).f(x)=r=——>00>x>a),XXXnf'(x)>0(x>a)；f'(a)=0f(x)>0(x>a)再由0(尤〉a),而b>a〉0,所以/S)>0,f(x)>0(x>a)即(ln/?-lna)(a+b)-2S-a)>0,从而In2〉迎二£1。aa+b35.设0

11b-

12ab-aIn/?—Ina1Z1；.xb-a八人zx,x-a因为<-,—(Inb—Ina)—,—<0,所以令e(x)=Inx—Inq—.—,b-ay/aby/aby/xa/、八，/、11/1a、(-Jx-y/a')2n.、、9(a)=0,cp(x)=尸^(—尸"+-r=)-1——<0(x>a),xyja2\lx2xy1x2xy/ax

13[(p(u)=0一In/?—Ina1由)=>(p(x)<0(x>a),而b>〃，所以03)<0,即[“(x)a)b-a而2a

14b-

15a再让F—7T<—：。a+bb-a方法一：因为-；2a<""—I吧0s2+a2)(]nb-ina)-2aS-a)>0,所以ci~+h~b—ci令fM=(x2+6r2)(lnx-lna)-2a(x-a),f(a)=0,f\x)=2x(lnx-lna)+x+-——2a=2x(lnx-lna)+——>0(x>a)。xx.[/(^)=0，/、八/、hall山…，/、八Hu2a

16b-

17a由<=>f(x)>0(x>a),因为b>a,所以/(b)>/(a)=。，即―~k<。[/M>0(x>a)a~+b~b-a方法二：令/(x)=ln无，则存在Je(a,b),使得mb-lna=',其中01>产所以b-a&gba2aIn/7—Inaa2+b~b-a1,36.证明不等式xarctanxN]ln(l+jr)。37.设/(x)在[0,+8)内可导且/(0)=1,r(幻0),证明：f(x)0)o证明：令0(x)=e-"(x),则e(x)在[0,+oo)内可导,又夕(0)=1,(pf(x)=e-x[fr(x)-/(x)]<0(x>0),所以当x>0时,/(x)〈夕(0)=1,所以有/(x)ve*(无>0)。Xyx+y38.证明：对任意的x,ywR,且x/y,有,鼠〉厂。39.设/(x)在+8)上可导，当时，f\x)>k>0,f(a)0,由lim/(x)=-8,lim/(x)=+00,又/(x)=k+上>0,所以原方程在(0,+8)恰有一个实根；X—>0+X—>-H»X/(2)若k=0,lim/(x)=-oo,lim/(x)=l>0,又/'(x)=与>0,所以原方程也恰有一个实根：X—>0+X—»+<»]](3)若Z<0,lim/(x)=-oo,limf(x)=-oo,令广(x)=k=0=>/=-,xtO+—+<»xyj-k又/"(x)=—4<0,所以/(x0)=l—2/7为/(x)的最大值，令l—2j二工=0,得%=一!，所以女的取值范围x4是伙|女=一；或女>0｝。43.证明方程lnx=2-/Jl-cos2xdx在(0,+8)内有且仅有两个不同的实根。第三讲一元函数积分学一、重要的概念

181.原函数一设/(X)与/(X)为两个函数，若尸(x)=/(x),则称/(X)为/(X)的一个原函数。注解：(1)连续函数一定存在原函数；(2)有第一类间断的函数一定不存在原函数，有第二类间断点的函数可能存在原函数；(3)任意两个原函数之间相差常数。2.不定积分一设f(x)存在原函数,则其所有的原函数称为/(%)的不定积分，记为J7(x)dx,即J7(x)dx=F(x)+C。注解：(1)—f/(x)dx=/(x)；(2)[―f(x)dx=/(x)+C«dxJ3dx3.定积分二、重要的定理1.积分基本定理的引理设/(x)eC[a,b],令①(x)=ff⑴dt,则①'(x)=f(x)；2.积分基本定理设/(x)eC[a,b],且尸(x)为/(x)的一个原函数，则，/(x)dx=/⑸-尸⑷。三、重要的积分性质(一)定积分基本性质1.j[f(x)±g(x)]dx=ff(x)dx±/g(x)dx；2.jkf(x)dx=女，f(x)dx(k=constant)；3.jf(x)dx=[/(x)Jx+ff(x)dx；4.dx=b-a；5.设/(1)20(。4不工/?),贝ij[N0；推论1若/(x)2g(x)(。WxWb),则，/(x)dxN/g(x)dx；

19推论2若b>a,则|jf(x)dx0；(3)若/(x)eC[a,b],/(x)Ng(x),且/(x)与g(x)不恒等，则[/(x)dr>jg(x)dr；4.设/(x),g(x)eC[a,b],则(j/(x)g(x)dx)

20(2)设。={(4「)隆4。<夕,OWrW0(。)},则A=g(00扪；(3)D=[(e,r)\aO(xe[a,b]),则L绕x轴一周所得旋转曲面的表面积为A=2乃j/(x)JlZ/[)dx；2.旋转体的体积L.y=f(x)(a

21(5)dx(x-1)4a/x2-2x4.设y'=arctan(x-l)2,y(0)=0,求，y(x)dx。i5.设/(x)在[0,1]上可微，且/(l)=2fel。/(无)dr。证明：存在自€(0,1),使得/0=2夕乡。6.设/(x),g(x)eC[a,b],证明：存在Jw(a,b),使得/(J)[g(x)dx=g(J)f/(x)dx。7.设/(x)是以T(T>0)为周期的连续函数，且/(x)NO,证明：lim-[f(t)dt=-f8.设/(x)在[a,b]上连续且单调增加，证明：xf(x)dx>f(x)dxo9.设/(x)在[0,2]上连续，在(0,2)内可导，/(0)=/(2)=0,且l/'(x)K2,证明：lf/(x)dxK2。10.设/'(x)eC[a/]J(a)=0,证明：£f(x)dx<(/?a)£f'(x)dx.11.设/*)€。[。,回,/'(外在[。,封上可积，f(a)=/(b)=O,证明："(x)Kgf"'(x)ldx。12.设/'(x)eC[0,a]J(0)=0,证明：|『/(x)dx4也/,其中“=max|/'(x)|。13.设f(x)在[。,句上有定义,对任意Wl/(x)-/(y)l0J'(x)eC[0,a],证明："(0)K，]"(幻|公+("口)1公。15.设曲线y=a+x-/,其中。<0。当x>0时，该曲线在x轴下方与y轴，x轴所围成图形的面积和在x轴上方与X轴所围成图形的面积相等，求4。解：设曲线y=a+x-Y与x轴正半轴的交点横坐标为a,/7(a<夕)，由条件得16(a+x—x3)dx=1(a+x-x3)dx,移项得J(a+x—x3)dx+,(a+x—x3)dx=/(a+x-x，)dx=0=夕(4a+2夕一/3)=o,因为夕>o,所以4a+2上一夕3=0。由因为（夕,0）为曲线y=a+x-x3与x轴的交点，所以有a+/-/7'=0,/7从而有0=-3a=>a-3a+27a3=0=a=---.16.过曲线y=正上点A作切线，使该切线与曲线及x轴围成的平面图形。绕光轴旋转一周所成旋转体体积为187。（1）求A点的横坐标；（2）求平面图形。的面积。17.（1）抛物线y=l--与％轴所围面积被抛物线丫=以2三等分，求。；口）当。取该值时，求两条抛物线所围成的平面图形绕x轴旋转一周所得立体的体积。

2216.设一抛物线丫=。/+以+。过点(0,0)与(1,2),且。<0,确定a,b,c,使得抛物线与x轴所围图形的面积最小。解：因为曲线过原点，所以c=0,又曲线过点(1,2),所以a+b=2,b=2—a。因为a<0,所以b>0,抛物线与x轴的两个交点为0,-2,所以S(a)=口(ox?+bx)dx=二=色一吸。a6a6a~令5'(a)=0,得。=一4,从而8=6,所以当。=7功=6,。=0时，抛物线与x轴所围成的面积最小。17.设函数/(x)(xN0)可微，且/(x)>0。将曲线y=/(x)、x=1,尤=a(a〉1)及x轴所围成平面图形绕x轴旋转一周得旋转体体积吗”⑴]。若/⑴毛，求：⑴小)；⑵/⑴的极值。解：(1)由题设知，^J7f'(x)=l--x,/,(0)=1,曲线/(x)=x-*/在原点处的切线方程为丫=尤，24UWx=y[a7(a)-/(l)],两边对。求导，得3/2(a)=2af(a)+a2f'(a)nf'(a)=2广⑷/硝公，aaf(。)],/、dudu^2o[12nn\。今==w=>/(a)=u+a——=>a——=3〃-3w=>1—=ca,BPf(a)=不,adadau\-ca则4=j【X—(x—)]^-^~°21.设平面区域A由/+y2W2x与围成，求A绕直线x=2旋转一周所得的旋转体的体积。22.设y(x)(x20)二阶可导，且y'(x)>0,y(0)=l。过y=y(x)上任意一点P(x,y)作该曲线的切线及过该点作x轴由/(i)=5,得c=-i,所以/。)=备彳。(2)因为/“⑴二(二)，令/(x)=o,得x=*，(1+x)(1+x)V211V4又因为f(—?=)<0.所以/(—产)=为极大值。V2V2320.设函数/(x)满足4'(幻-2f(x)=-x,且由曲线y=f(x),x=1及x轴(xN0)所围成的平面图形为。。若。绕x轴旋转一周所得旋转体体积最小，求：(1)曲线y=/(x)；(2)曲线在原点处的切线与曲线及直线x=1所围成平面图形的面积。2解：(1)由V(x)-2/(x)=-x=>/'(X)f(x)=-1=>/(x)=x+ex2ox设平面图形。绕X轴旋转•周所得旋转体的体积为V，则j1cc2125V(c)=^J(x+cx2)2rfx=乃(3+]+W)，V'(c)=乃(万+=0=c=一^'因为v〃(c)=女>0,所以c=-2为V(c)的最小点，且曲线方程为了(无)=无一工尤2。544的垂线，上述两条直线可X轴所围成的三角形的面积记为S1,在［0,x］上以y=y(x)为曲边的曲边梯形的面积记为S2,设2S1-S2=1,求y=y(x)的表达式。23.设/(x),g(x)€C［a,b］,且g(x)为单调函数，1f(x)dx=1f(x)g(x)dx=0,证明：函数/(幻在(a,b)内至少有两个零点。

23第四讲空间解析几何一、向量的运算(-)几何刻画1.向量加减法2.向量乘法(1)数与向量之积；(2)向量的数量积：a-b=\a\\b\cos(a,fe)；(3)向量的矢量积：axb(二)代数刻画设。={4，4,，］},/?={%,4,C2}，则(1)a+b=[at±a2,bt±b2,ct±c2)；(2)a-b=a}a2+b{b2+ctc2；b、c2c,a,a,b、注解：(1)a_Lb<=>a)=Ooa1a2+btb2+ctc2=0；x-7a,b.c.(2)aIIbaxb=0—=—=—；a2b2c2(3)Iax31=2Sa(>二、向量的应用1.平面方程(1)点法式方程；(2)截距式方程；(3)•般式方程。2.直线方程(1)•般式方程(2)点向式方程(对称式方程)；(3)参数式方程。三、距离问题1.两点之间的距离2.点到平面的距离3.两平行平面之间的距离4.点到直线的距离

241.两异面直线之间的距离。四、常见的题型(x—2y+4/—7=01.求过点(2,0,-3)且与直线仁；八，八垂直的平面方程。[3x+5y-2z+1=02.求过原点及点(6-3,2)且与平面4x-y+2z=8垂直的平面方程。3.设求过右平行于心的平面方程。卜=2f+34.求过点A(3,2,l)且平行于右：±匚=2"=立2及%：[y=r—1平行的平面方程。1~21[z=105.点M(3-4,4)到直线==纥工=—的距离为.2—21fx+3y+2z+5=06.设直线及平面乃：4x-2y+z-6=o,则直线L()[2x-y-10z-12=0(A)平行于平面》.(B)在平面乃t.(C)垂直于平面乃.(D)与平面乃斜交.7.设点A(1,T,1),8(-3,2,-1),。(5,3,-2),判断三点是否共线，若不共线求过三点的平面的方程。8.求经过平面万।:x+y+l=0与72：x+2y+2z=0的交线，旦与平面乃3：2x-y-z=0垂直的平面方程。解答：设经过两直线的平面方程为乃：x+y+1++2y+2z)=0,即乃：(l+4)x+(l+24)y+2a+l=0,因为平面乃与平面%3：2工一〉一7=0垂直，所以有(1+/1,1+2/1,2；1}{2,—1,一1}=0,即2+2尤一1一2/1-271=0,13解得；1=上，所求平面为乃：2x+2y+z+l=0。22"9.求过4(一1,2,3)垂直于L:-=^=-且与平面乃：7x+8y+9z+10=0平行的直线方程。45610.求直线乙：±4=上=三心在平面乃：犬-3'+21-5=0上的投影直线。2-11x+2y-\=0y+z-3=0x-1_y解答：直线L:土二1=上=二可改写为LJ2-1或者L:2-11yz-3匕=丁过直线L的平面束为乃'：x+2y-l+/l(y+z-3)=0,或乃'：％+(2+/1)旷+义2—1-3/1=0,x-3y-5z+14=0x—3y4-2z—5=0由{1,2+2,2}{1-3,2)=0得丸=一5,所以过L垂直于兀的平面方程为k:x—3y—5z+14=0,投影直线为4注口=士3rx-9y+2Z-rxy4-7z-2.nr...11.求两异面直线右：=二一与乙）:—==之间的距离。4-31--29212.设点2),加2(1,0,3),%(2，1，2)，求点“3到向量的距离。

2511.设曲面£:二+V+三=1及平面]：2》+2〉+7+5=0。24(1)求曲面E上与乃平行的切平面方程；(2)求曲面Z与平面乃的最短和最长距离。一,72解答：(1)设切点为令尸(x,y,z)=彳+y2+彳-1,则切平面的法向量为〃=｛尤0,2〉0，年｝,因为切平面与平面万平行，所以包=生.=攵，令包=也=包=，，222222得々=2，,方=兀0=2,将其代入曲面方程，得，二土;，所以切点为(l,g』)及(―L—；,一1)，平行于平面乃的切平面为巧:2(x-l)+2(y-g)+(z-1)=0,即;T]:2x+2y+z-4=0,冗、:2(x+1)+2(y+—)4-(^+1)=0»即可：2x+2y+z+4=0。I2xl+2x-+l+5l12x(—1)+2x(—!)+1x(—1)+51(2)d,=/2==3,=/2==—,TF+F+l-V22+22+l3则曲面2与平面乃的最短和最长距离分别为1与3。314.设直线乙：3=上匚=总。(1)求直线L绕z轴旋转所得的旋转曲面；(2)求该旋转曲面介于z=0与Z=1之211间的几何体的体积。解答：(1)记直线L绕z轴旋转所得的旋转曲面为E，设M(x,y,z)为曲面2上的一点，过点M作与z轴垂直的平面,交直线L及z轴于点M0(x0,y0,z)及T(0,0,z)，比二二三，即卜。="2z11[y()=2+z=1+2zc代入上式得=2+z由IM)TI=IMTI得/+尸=x：+y：,注意到则包二'X:x2+y2=(l+2z)2+(2+z)2,即E:/+y2=5z^+sz+5.(2)方法一对任意的ze[0,l],截口面积为4仁)=1(/+/)=万(5z?+8z+5),则.门V=[A(z)dz=)](53+除+5)以=。方法二x=1+2，r—1v—27令==—=/,贝!j4y=2+f,当z=0时，/=0；当t=l时，z=1o211z=t

26设M(1+2t,2+rj)为曲面£上任意一点，则截口面积为S(t)="2=4(1+2f1+(2+1)?]=%(4/+&+5),则体积为V=第五讲多元函数微分学一、重要概念1.偏导数一2.多元函数的极限一3.连续一4.可全微一5.方向导数一6.梯度一二、连续、可偏导、可微及一阶连续可偏导之间的关系1.关系图2.结论的证明3.反例(1)/(x,y)=G+心在点(o,o)处连续,但不可偏导。一,外丁，(x,y)*(0,0)(2)f(x,y)=lx2+y2在点(0,0)处可偏导，但不连续。0,(x,y)=(0,0)(x2+y2)sin^-^~^，(乂')*(°，°)(3)/(x,y)=^x2+y2在点(0,0)处可微，但一阶偏导数不连续。[o,Uy)=(0,0)三、求偏导数的类型1.显函数求偏导2.复合函数求偏导3.隐函数及隐函数组求偏导。四、多元函数微分学的应用(-一)几何应用1.空间曲面的切平面与法线2.空间曲线的切线与法平面(二)代数应用1.无条件极值2.条件极值五、常见题型1.求下列偏导数：,,-arctan-Q27(1)设z=(x~+y-)e*,求。dxdya2(2)Z=f(x2+y2)+g(xy,^),其中71二阶连续可导，g二阶连续可偏导，求二二。xdxdy(3)〃=/(x,y,z)有连续的偏导数，且z=z(x,y)由方程泥、一y"=z"确定，求dz。(4)设z=/(/+广孙,幻，其中/(〃,匕卬)二阶连续可偏导，求dxdy

272.设函数/(x,y)可微，/(1,1)==2,//(1,1)=3,令g(x)=/(xj(xj(x,x))),求g⑴,g'⑴。3.设a(x)由方程“=/(x,y),g(x,y,z)=0,6(x,z)=0确定，且效■.迤■wO,求包。ozoydx4.设y=/(xj),，由Q(x,y/)=O确定，其中/,0为可微函数，求生。dx2a5.设〃=/(z)，其中z是由z=y+/p(z)确定的的函数，其中/(z)与°(z)，证明：—=^?(z)—0oxoyXc[2c#26.设〃=xyf=一,以〃,y为自变量，变换方程x2—--y^—r=。。y3厂dy-心dzdzdudzdvdz1dzdz&dudzdvdzxdzdxdudxdvdxduydvdydudydvdyduy，dvd2z,d2z1d2zx1zd2z1d2zx2d2z.d2z1d2z--=y(yH)+—(yd-)=y4-21,dx2"du2ydudvydvduydv^du2dudvy2dv2江--匹_2dy'du'x2d2z2xdzx2d2zy2dudv+y3dv+y4dv2,代入原方程，得7.求z=/+12个+2y2在区域4/+产w25上的最值。,,（z；=2x+12y=0解：当"+/<25时，由仁=⑵+分=。’的驻点为（内）=3°）。当4x2+y2=25时，=x2+I2xy+2y2+A(4x2+y2-25),工'=2x+12y+8/Lr=0由，3产;=12x+4y+2加=0,得(x,y)=(±2,+3),(±-,±4).F；=4x2+y2-25=0311因为z(0,0)=0,z(±2,+3)=-50,z(±-,±4)=106-,所以目标函数的最大和最小值分别为106上和-50。244,x2v2z2,8.求一+4+=1(«>0,Z?>0,c>0)的内接长方体的最大体积。abc9.求由2/+V+?2+2xy_2x—2y—4z+4=0所确定的隐函数z(x,y)的极值。10.在曲线x=f,y=-J,z=『的所有切线中，与平面x+2y+z-4=0平行的切线有（）（A）只有一条：（8）只有两条：（C）至少有三条；（。）不存在。第六讲重积分一、概念1.二重积分一JJ/（x,y）d（r=Um/（^,.,7,）Ao-,.

281.三重积分一y,z）dv=lim,7,,7,）△匕。Q二、二重积分的计算方法1.直角坐标法(1)若£>={(x,y)Ia={(x,y)I族(y)WxW右U)，cWyWd},b(y)(y)/(x,y)dxo2.极坐标法（坐标变换法的一种）令＜x=rcosd.,其中aV。《rVG(。)，y=rsinff则)f(rcossin0)rdr。D三、三重积分的计算方法（数学一）1.直角坐标法⑴若Q={(尤,y,z)I(x,y)eDxy,5(x,y)z2.柱面坐标变换法x=rcosff肥…）小=（呵:：令＜y=rsin。，其中a46«⑸0（6）WrV々（。，/（几。）《z4夕2（心。），则z-zrdrf(rcos0,rsin0.z)dz3.球面坐标变换法x=rcossin(p令0),证明：^f(x)dx^f(x,y)dy=[J/(x)Jx]2»第七讲级数一、常数项级数部分(-)常数项级数的概念0000设｛%,｝为常数数列，称“为常数项级数，称S“=q+…+*为级数的部分和，当limS“存在时，称级数之明收敛，若limS“=5,记£a“=S。

29(二)级数的基本性质1.若级数“收敛，则lim%=0,反之不对(常数项级数收敛的必要条件)。〃一►8n=l00000000002-若=A，Zn“=8，则Z("“±L)=Z""土ZL=A±8。n=\〃=1n=ln=l〃=1008ao00ao3.若Z%=A，则工而“=乂，特别地，当时，Z%与工而"敛散性相同。n=ln=ln=ln=ln=l4.级数的前面添加、减少、改变有限项，级数的敛散性不改(若级数收敛，则其和有可能改变)。5.若级数收敛，对该级数适当添加括号后形成的级数收敛，且和相同，反之不对。二、正项级数的敛散性(-)正项级数的概念0000设»“为常数项级数，若a.20(〃=1,2,…)，称Z%为常数项级数。〃=1〃=1(二)正级数的收敛判别法1.比较判别法800000000(1)基本形式一设Z明,工乙为两个正项级数，若11“且Zl收敛，则Z%收敛；若%2叱且发散，n=ln=l〃=1"=1n=lGO则z明也发散。n=l0000..0000（2）极限形式一设为两个正项级数，若lim」二k（0vk<+oo）,则Z"〃与Z乙有相同的敛散性。M普—匕急雷0000.0000..00（3）补充形式一设，Yvn为两个正项级数，若lim」=0且>>“收敛，则收敛：若lim==0且>>“,.=!,1"-心„=1“TI-乙，T发散，则也发散。三、交错级数及其审敛法（-）交错级数的概念0000形如Z（T）"T%或Z（T）"a"（其中%>0（n=l,2,--））称为交错级数。n=ln=l（二）交错级数审敛法0000设Z（T）"T/为交错级数，若（1）｛。“｝单调减少；⑵lima,,=0,则£（一1产%收敛。n—1〃=1四、任意常数项级数的敛散性0000co00（-）绝对收敛与条件收敛一设为任意常数项级数，若Zla“l收敛，称Z。,,为绝对收敛：若Z%收敛，而〃=1n-\〃=1"=1£|明|发散，称£明条件收敛。n=ln-\（二）收敛与绝对收敛的关系若£明绝对收敛，则£。”一定收敛；反之，若£%收敛，则不一定绝对收敛。〃=1n=\〃=1〃=1四、基级数（-）幕级数的概念0000形如或Z*（x—Xo）"称为‘幕级数。n=0n=0（二）幕级数的收敛半径80000当lxlR时，发散，称式为‘幕级数的收敛半径。n=0n=0n—0

30基级数的收敛半径求法：aX1方法一：lim|HM=p,则»“尤”的收敛半径为/?=上；…anZ?P方法二：lims/la,,I=p,则的收敛半径为/?=!。28n=0p（三）函数展开成基级数的方法1.公式法：（X—x0）w;

311.间接法：工具一：常见函数的马克劳林公式工具二：逐项可导性与逐项可积性。（四）某级数求和函数（五）特殊常数项级数的和（六）利用累级数所满足的微分方程求界级数的和函数五、傅里叶级数（-）周期为27的函数的傅里叶级数（二）定义于［-万，乃）上函数的傅里叶级数（三）定义于［0,乃］上函数的傅里叶级数（四）周期为2/的函数的傅里叶级数六、常见的题型1.下列结论正确的是（）（A）若及都收敛，则土乙尸收敛；（8）若\>,产“收敛，则或收敛;（。）若Xi%।发散，则一定发散;（O）若%（乙（〃=1,2,-・）且»“收敛，则Z%一定收敛。2.设。为任意常数，则级数£产乃+（_］）」n（.（A）发散：（8）条件收敛：（C）绝对收敛；（。）敛散性与常数a有关。3.下列正确的是(A)若limun一定收敛:（8）若Z%收敛，则Z（T）"“"一定收敛:（C）若正项级数X%收敛，则一定收敛;（£））若lim±=l且收敛，则£乙一定收敛。〃一>30Uy””=1/i=i解答：（A）不对，如%=（-3产，显然lim&a=3>“，但、>“发散。

324.设a1=2,a“+[=-(a„+一)(〃=1,2,…)。证明：(1)lima“存在;2%…n—>oo(2)级数收敛。«=1an+l且>>“收敛，则收敛；(2)若lim上^=0,ZtM…b"5-设£%、为两个正项级数，证明：(1)若limM=o,MM…bn而w>“发散，则»“发散。〃=|ncoioon6.设%=ftanHxJx»(1)求工上(。“+%+2)的值；(2)证明：对任意常数4>0,则£与收敛。,.=i«急〃7.设a”>0(〃=1,2,…)且{a,,}%单调减少，乂级数发散，判断g(n=ln=l二一)"的敛散性。1+。.8.设/(x)在x=0的某邻域内二阶连续可导，且lim四10X=0,证明工/(一)绝对收敛。n=\8"+19.求哥级数Z一一的和函数。n=\〃(〃+1)10.求第级数之2上'2"的和函数。n=i〃！11.求的和函数。n=0加12.将-V展开成x-2的塞级数。X13.1+X将/(x)=arctan--展开成x的事级数。1-x14.求把函数/(x)=ln(l—x—2/)的基级数，并求出该罪级数的收敛域。15.设/(x)=£Mx",且4=1,a“+1=%+〃(〃=0,1,2,…)。(1)求/(x)满足的微分方程；⑵求之工。ton\M〃！解答：(1)(n-D!8"TXn~]+Y£(〃-2)!4%+4=f(x)+xe',n=0〃•n=0〃-则/(X)满足的微分方程为f'(x)-f(x)=xe\=M'dx+C]eM=e《+C)Y因为。0=1,所以f(0)=l,从而。=1,于是/*)=/(—+1)。16.求常数项级数——的和。

33R117将函数/。)=2+1xl(—1WxVl)展开成以2为周期的傅里叶级数，并求级数£二的和。解答：显然函数/(x)是在［-1,1］上满足收敛定理的偶函数，则许=2ff(x)cosnzixdx=—T—r^-iy-1]=J)~—占’〃为奇数时(E2…),0,〃为偶数时4=0(〃=1,2,…)，又所以2+lx1=』_±y帚士(2〃+1)2cosn^x(-1dxdxg(y)琮rS。2.齐次微分方程称半=奴工)为齐次微分方程dxx3.邛介线性微分方程2=tt，—=^9(-)=>W4-x—=(p(u)=>dxxdxdu(p(u)-udxXdu(p(u)—u(1)一阶齐次线性微分方程:y'+P(x)y=Q(x),通解为y=dx-(P(x)dxdx+C]e3y'+P(x)y=0,通解为y=Ce》'(2)一阶非齐线性微分方程:4.贝努利方程称y'+P(x)y=Q(x)y"(其中〃¥0,1)为贝努利方程，解法为

34y'+P(x)y=Q(x)y"=>4+(1-n)P(x)z=(1-n)Q(x),再解出该方程。dx二、可降阶的高阶微分方程1.严=/(幻；2./(%,/,/)=0：令y'=p,则〃x,p,?)=0；dx3.f(y,y'，y")=0：令y'=p，y"=p半,则/(y,p,p半)=0。ayay三、二阶常系数线性微分方程及解法(一)二阶常系数齐次线性微分方程1.定义一称y〃+py'+qy=0(其中”国为常数)为二阶常系数齐次线性微分方程。2.解法：(1)特征方程：力+p/l+q=0；(2)通解：情形一：当△>()时，特征方程有两个不相等的特征值4,友，通解为y=Ge斗+。2〃/；情形二：当△=()时，特征方程有两个相等的特征值4,丸2,通解为y=(G+C2X)e*；情形三：当△<()时，特征方程有两个共辄虚根4.2=a土，/，通解为y=em(Geos"+。2sin/)。(-)二阶常系数非齐线性微分方程1.定义一称了+「了+g=/(外为二阶常系数非齐线性微分方程，其通解为/+0y'+狙=0的通解与y"+py'+qy=f(x)的一个特解之和。四、常见的题型1.求下列微分方程的通解(1)—=l+x+y+xy；dx(3)xdy+(x-2y)dx=0；小dy1dx2x4-y(2)y2dx+(2xy+y2)dy=0；(4)yf+ycosx=(

35x)e'sinx；(6)(xy24-y-Y)dx4-(x2y+x+2)Jy=02.设/。)=/一1(式一。/«)力，其中/(x)连续，求/(x)。3.设函数/(x)在［0,+8)内可导，/(0)=1,且/'(x)+/(x)-一匕"⑴力=0。(1)求/'(x)；(2)证明：当xNO时，e-x

36(2)设、=y(x)是一向上凸的连续曲线，其上任意一点(x,y)处的曲率为〒又此曲线上的点(0,1)处的切线方程为y=x+l,求该曲线方程，并求函数y(x)的极值。v"1v"解答：因为曲线是上凸的，所以y"<0,由题设得~『/=—1。(…放k心令y'=p,y"=玄,则有—=-(1+p2)=>arctanp=G-工。dxdx7T因为曲线y=y(x)在点(0,1)处的切线方程为y=x+l,所以从而y'=tan(1—x),积分得71y=InIcos(--x)I+C2。因为曲线过点(0,1)，所以。2=1+@2,所求曲线为y=lncos(三一x)+l+@2,xe(--,—)=24244TVTTIn2因为cos(X)<1.所以当x=一时函数取得极大值1Ho4421.求下列微分方程的解(1)y"-y'-2y=(2x+l)e2x；(2)求微分方程>”+4y+今=6»的通解。2.设三阶常系数齐次线性微分方程有特解弘=，,力=2犬/,必=307,则该微分方程为()(A)yM_y"_y'+y=0；(B)y*+/-y-y=0；(C)ym+2/-y-2y=0；(D)yn,-2y"-y,+2y=0.实际问题1.细菌的增长率与总数成正比。如果培养的细菌总数在24小时内由100增长为400,求前12小时后的总数。JQ解：设时刻f细菌总数为S,则有空=kS,S(0)=100,5(24)=400.dt%=kSnS=Ce”,C=100,jI=—xln4=—,dt2412In2所以5=100/五'，S(12)=100eln2=200o2.一半球形雪堆融化速度与半球的表面积成正比，比例系数为女〉0,设融化过程中形状不变，设半径为"的雪堆融化3小时后体积为原来的1，求全部融化需要的时间。8解：设r时刻雪堆的半径为r,贝IJ有型=一2%"2,出)=29则如=2"2立，于是有虫=_女=「=一N+。dt3dtdtdt由r(0)=q,r(3)=至，得C()=",k=4",于是r=-2f+小，令r=0,得，=6,即6小时雪堆可以全部融化。2663.在上半平面上求一条上凹曲线，其上任一点P(x,y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ的长度的倒数，且曲线在点(1,1)处的切线与x轴平行。

37解答：设所求曲线为y=y(x),该曲线在点P(x,y)的法线方程为y-y=—1；(X-x)(y'kO)。y令y=0,得X=x+yy',该点到x轴的法线段PQ的长度为血炉+由题意得一—1=——?一r,即yy"=l+y'2。a+y2)1xi+y2)1令y'=p,则y〃=p半，则有yp?=l+p2,或者上可如=生，两边积分得y=J1+/+6,ayay］+p-y由y⑴=l,y⑴=0得G=0,所以y，=±Jy2_i,变量分离得ay=±dx,Jy?-i两边积分得In(y+Jy2_i)=土x+g,由y⑴=1得。2=干1，所以ln(y+)y2-1)=±(》一1),即y+77^=e±(T,又y+厅-1=——厂—，所以y-柠［1,两式相加得y==c/i(x-l).4.在，=0时，两只桶内各装10升的盐水，盐的浓度为15克/升，用管子以2升/分的速度将净水输入到第一只桶内，搅拌均匀后的混合液又由管子以2升/分的速度被输送到第二只桶内，再将混合液搅拌均匀，然后用1升/分的速度输出。在任意时刻，>0,从第二只桶内流出的水中含盐多少？解：设在任意时刻f〉0,第一只和第二只桶内含盐分别为％,力，根据题意得dtM(0)=150,吼=2%%~dT~7o~10+ty2(0)=150oVV5.某湖泊水量为V,每年排入湖泊中内含污染物4的污水量为二，流入湖泊内不含4的水量为工，流出湖的水量为66V-O设1999年底湖中A的含量为560,超过国家规定指标。为了治理污染，从2000年初开始，限定排入湖中含A污3iyi水的浓度不超过节■.问至多经过多少年，湖中污染物A的含量降到机。以内？(设湖中A的浓度是均匀的)。解：设从2(X)0年初开始，第f年湖中污染物A的总量为〃z,则浓度为一，VVflVVfl任取时间元素［rj+力］,排入湖中污染物A的含量为」x—xdr=」力，流出湖的污染物A的含量为V66IY1\7,17"2cit]-x-xJr=-J/,则在此时间元素内污染物A的改变量为dm=('-3)力。V3363>2?—Qn?解得m=寸一Ce3,又由仙(0)=5加0,得。=一一/，于是m=」(l+9e3),令m=,得，=61n3,即至多经过61n3年，湖中污染物A的含量不超过胆。。1厂11⑴?dy「/（x,y）dx+^dyff（x,y）dx；2.改变积分次序并计算j2

384.计算“(x?-2x+4xy)dxdy,其中O={(x,y)I/+y?g2x}。