资源描述：
《考研高数总结》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、考研高数总结函数1、分段函数讨论y=f在分段点处的极限、连续、导数等问题时，必须分别先讨论左、右极限，左、右连续性和左、右导数，需要强调：分段函数不是初等函数，不能用初等函数在定义域内皆连续这个定理。Eg：f=
2、x
3、;和符号函数f二sgnx;两个都是分段函数。、隐函数由方程F=0确定尸y称为隐函数，有些隐函数可以化为显函数，，有的不可以化。、反函数只讨论单值函数。4、区分基本初等函数和初等函数基本初等I求I数：常值函数、幕两数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数；他们的概念、性质、图像意义深远，如利用图像求极限初等函数：由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数
4、复合步骤所构成并可用一个式了表示的1*1数，称为初等函数。Eg：分段函数不是初等函数。5、复合函数6、考研数学屮常出现的非初等函数用极限表示的函数y?limfnn??y?limft?x用变上、下限积分表示的函数9■Xfdt,其中f连续,则dy?fdxdy???f[?2]???f[?]?112dxy???2?1fdt,其中？，？可导，f连续，则7、函数的几种性质有界性；奇偶性；单调性：区分单调增加，单调不减；单调减少，单调不增。周期性;f?f,一般把最小正周期称为周期。例题：1、函数的定义域求y?x?x?1的定义域ln
5、x?5
6、定义域为?0??[1,4)???设f的定义域为[~a,
7、a],求f的定义域。2解：要求?a?x2?l?a,则l?a?x2?l?a当a?l时,?l?a?O,?x2?l?a,则
8、x
9、??a当O?a?l时，l?a?O,??a?
10、x??a_a?x??a或_?a?x?--a、函数的值域有时直接不好求时，运用反函数的定义域即是原函数的值域！分段函数求值域和反函数时，要一段一段地考虑去求。.求复合函数有关表达式已知f和g,求f[g]eg：设f?x?x2，求f[f)]?fnf?f29■x?2x2解：f2?f[f]?xx2x若fk?x??,则fk?l??/??21?kx2?kx2?kx2?x2?fkfk根据数学归纳法可知，对正整数n,fn?x??x?n
11、x2o已矢口g和f[g],求f换元法eg:已知f??xe?x,且f?0,求f解：令ex?t,x?lnt,因此f??f??xlnt,tIntl2xl2f?f??dt?lnt
12、l?lnxlt221?f?0,?f?ln2x????先求导函数，再运用积分，求出原函数。2已知f和f[g],求geg:已知f?ln,f[g]?x,求g解:g?f?l[x]实际上为求反函数问题f[g]?ln[l?g]?x?g?ex?l有关复合函数方程换元法的灵活应用、有关四种性质设F??f,若f为奇函数，则F为偶函数。证明：F?F??fdt,f为奇函数xF?F???xfdt?F??fd?F??fdu?FxxF为偶
13、函数。运用牛顿-莱布尼茨公式和运算过程中换元。求定积分时，函数奇偶性的应用：必须记住的公式：？fdx?aa,当f为奇函数2?fdx,当f为偶函数Oa极限1、性质：唯一性:设limf?A,则A?B不等式性质：设limf?A,limg?B若x变化一定以后，总有f?g,则A?B反之，A?B,则x变化一定以后，有f?g?0,B?0情形也称为极限的保号性）若变量f?0,只能保证极限？值0,而不能保证?恒0。局部有界性：设1imf?A,则x当变化一定以后，f是有界的。运算法则：设limf?A,limg?B则1im[f?g]?A?B1im[f?g]?A?Blim[f?g]?A?BlimfA?g
14、Blim[f]g?AB2、无穷小与大若1imf?0,则称f为无穷小。X数列的极限，X??时，为无穷小；函数的极限，只有当自变量取某种极限状态时，函数的极限等于0,它称为无穷小。任给M?0,当x变化一定以后，总有
15、f
16、?M,则称f为无穷大。记以limf??无穷小与无穷大的关系无穷小与极限的关系：limf?A?f?A??其中lim??O两个无穷小的比较：limf?1,若1?0,则f是比g高阶的无穷小，g记为f?o[g];g是比f低阶的无穷小。同阶、等价常见的等价无穷小：广gxl?l?cosx~x2,22ex?Px,ln"x,??r?x；f?0时,[l?f]??广?f。x?0时,sin
17、x~x,tanx^x,arctanx^x,arcsinx~x,2sin2无穷小的重要性质：有界变量乘无穷小仍是无穷小。、求极限的方法利用极限的四则运算和幕指数运算法则两个准则准则1、单调有界数列极限一定存在若xn?l?xn乂xn?m则1imxn?A存在，且A?mn??若xn?l?xn又xn?M则1imxn?A存在，且A?Mn??准则2、设g?f?h若limg?A,limh?A,则limf?A两个重要极限公式1、limsinx?1x?Ox1x1公式2、limx?lim?ex??x?
