考研必备-高数总结.pdf

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1、考研数学知识点-高等数学一.函数的概念sinx公式1．lim=11．用变上、下限积分表示的函数x→0xxdynu（1）y=∫f()tdt，其中f()t连续，则=f()x⎛1⎞⎛1⎞0dx公式2．lim⎜1+⎟=e；lim⎜1+⎟=e；n→∞⎝n⎠u→∞⎝u⎠ϕ2()x（2）y=f()tdt，其中ϕ(x)，ϕ()x可导，f(t)∫ϕ()x1211()lim1+vv=e连续，v→0dy4．用无穷小重要性质和等价无穷小代换则=f[]ϕ()xϕ′()x−f[]ϕ()xϕ′()x2211dx5．用泰勒公式（比用等价无穷小更深刻）（数学一和2．两个无穷小的比较数学二）

2、f()xx2xn设limf()x=0，limg()x=0，且lim=l当x→0时，ex=Λ1+x++++0()xng()x2!n!352n+1（1）l=0，称f()x是比g(x)高阶的无穷小，记以xx()nx()2n+1sinx=x−++Λ+−1+0x3!5!()2n+1!f()x=0[]g()x，称g()x是比f()x低阶的无穷242nxx()nx()2n小。cosx=Λ1−+−+−1+0x2!4!()2n!（2）l≠0，称f()x与g()x是同阶无穷小。23n()xx()n+1x()nln1+x=x−+−Λ+−1+0x（3）l=1，称f()x与g()x

3、是等价无穷小，记以23nf()x~g()x352n+1xx()n+1x()2n+1arctanx=x−+−Λ+−1+0x352n+13．常见的等价无穷小当x→0时()αα(α−1)2α()α−1Λ[α−(n−1)]n(n)1+x=1+αx+x+Λ+x+0xsinx~x，tanx~x，arcsinx~x，arctanx~x2!n!12x1−cosx~x，e−1~x，ln()1+x~x，26．洛必达法则α0()1+x−1~αx法则1．（型）设（1）limf()x=0，limg(x)=00二．求极限的方法（2）x变化过程中，f′()x，g′()x皆存在1．利用极

4、限的四则运算和幂指数运算法则2．两个准则f′(x)准则1．单调有界数列极限一定存在（3）lim=A（或∞）g′()x（1）若x≤x（n为正整数）又x≥m（n为正n+1nnf(x)则lim=A（或∞）整数），则limx=A存在，且A≥mng()xn→∞（2）若x≥x（n为正整数）又x≤M（n为正f′(x)n+1nn（注：如果lim不存在且不是无穷大量情形，则g′()x整数），则limx=A存在，且A≤Mnn→∞f(x)不能得出lim不存在且不是无穷大量情形）准则2．（夹逼定理）设g()x≤f()x≤h()xg()x∞若limg()x=A，limh()x=A，

5、则limf()x=A法则2．（型）设（1）limf()x=∞，limg(x)=∞∞3．两个重要公式（2）x变化过程中，f′()x，g′()x皆存在1Editedby杨凯钧2005年10月考研数学知识点-高等数学f′()x值，如果对于区间[a,b]上的任一点x，总有f(x)≤M，（3）lim=A（或∞）g′()x则称M为函数f(x)在[a,b]上的最大值。同样可以定义最f()x则lim=A（或∞）小值m。g()x定理3．（介值定理）如果函数f()x在闭区间[a,b]上7．利用导数定义求极限连续，且其最大值和最小值分别为M和m，则对于介于mf()x+∆x−f(

6、x)00基本公式：lim=f′()x[如果0∆x→0∆x和M之间的任何实数c，在[]a,b上至少存在一个ξ，使存在]得8．利用定积分定义求极限f()ξ=cn1⎛k⎞1基本公式lim∑f⎜⎟=∫f()xdx[如果存在]n→∞nk=1⎝n⎠0推论：如果函数f(x)在闭区间[]a,b上连续，且f(a)三．函数的间断点的分类与f(b)异号，则在(a,b)内至少存在一个点ξ，使得函数的间断点分为两类：（1）第一类间断点f()ξ=0设x是函数y=f()x的间断点。如果f()x在间断点0这个推论也称为零点定理五．导数与微分计算x处的左、右极限都存在，则称x是f()x的第

7、一类间断001．导数与微分表点。′()c=0d(c)=0第一类间断点包括可去间断点和跳跃间断点。′(α)α−1αα−1x=αx（α实常数）d(x)=αxdx（α实常数）（2）第二类间断点′()sinx=cosxdsinx=cosxdx第一类间断点以外的其他间断点统称为第二类间断点。′()cosx=−sinxdcosx=−sinxdx常见的第二类间断点有无穷间断点和振荡间断点。()′22tanx=secxdtanx=secxdx四．闭区间上连续函数的性质()′22cotx=−cscxdcotx=−cscxdx在闭区间[]a,b上连续的函数f()x，有以下几个

8、基本()′secx=secxtanxdsecx=secxtanxd