二次函数背景下最值问题经典考题

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二次函数背景下最值问题经典考题【例题】（2019•绵阳）在平面直角坐标系中，将二次函数y＝ax2（a＞0）的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），OA＝1，经过点A的一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与y轴正半轴交于点C，且与抛物线的另一个交点为D，△ABD的面积为5．（1）求抛物线和一次函数的解析式；（2）抛物线上的动点E在一次函数的图象下方，求△ACE面积的最大值，并求出此时点E的坐标；3（3）若点P为x轴上任意一点，在（2）的结论下，求PE+PA的最小值．5【方法点睛】（1）抛物线解经过点A（﹣1，0），由平移法可“秒杀”抛物线解析；由△ABD的面积为5可求出点D的纵坐标，“秒杀”一次函数解析式．（2）由铅锤法“秒杀”△ACE面积的最大值，小心计算出错．3（3）根据条件构造出“一条线段的长等于AP”，转化为“两线段和最小”问题，53由将军饮马“秒杀”PE+PA的最小值．5【解答】（1）将二次函数y＝ax2（a＞0）的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，2得到的抛物线解析式为yax(1)2，∵OA＝1，∴点A的坐标为（﹣1，0），代入抛物线的解析式得，4a﹣2＝0，1∴a，212123∴抛物线的解析式为y(x1)2，即yxx．222令y＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，∴B（3，0），∴AB＝OA+OB＝4，1

1∵△ABD的面积为5，1∴SABy5，ABDD2∴y5，D5123代入抛物线解析式得，xx，解得x1＝﹣2，x2＝4，2225∴D（4，），2设直线AD的解析式为y＝kx+b，54kb11∴2，解得：k，b，kb02211∴直线AD的解析式为yx．2212311（2）过点E作EM∥y轴交AD于M，如图，设Ea(，aa)，则Ma(，a)，222211123123∴EMaaaaa2，222222∴S△ACE＝S△AME﹣S△CME1112313225＝EM|xx|(aa2)1(a)，CA22224216325315∴当a时，△ACE的面积有最大值，最大值是，此时E点坐标为(，)．21628注：直线AE的解析式未知，选CF为铅锤高，|xx|为水平宽难度大EA直线AD的解析式已求得，选EM为铅锤高，|xx|为水平宽难度小CA（3）【构造与转化分析】315∵E(，)，283515∴AG1，EG，2285AG24∴，EG1538∴作PHAE于H，33∴PHAP，求PE+PA的最小值转化为求PE+PH的最小值55两线段和最短，这是典型的“将军饮马”问题∴作点E关于x轴的对称点F，PF=PE，∴PE+PH=PF+PH≥FH∴当F、P、H三点共线时，PE+PH=PF+PH=FH最小2

2解答过程的表述：作E关于x轴的对称点F，连接EF交x轴于点G，过点F作FH⊥AE于点H，交轴于点P，315∵E(，)，OA＝1，283515∴AG1，EG，2285AG24∴，EG1538∵∠AGE＝∠AHP＝90°，PHEG3∴sinEAG，APAE53∴PHAP，5∵E、F关于x轴对称，∴PE＝PF，3∴PEAPFPHPFH时，FH最小，51515∵EF2，∠AEG＝∠HEF，84AGFH4∴sinAEGsinHEF，AEEF5415∴FH3，543∴PEPA的最小值是3．5注：在书写表达上，有直角三角形时，用三角比更简捷！在平时练习要有意识运用三角比简化表达过程．【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力，构造能力与转化能．数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题．3