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1、圆锥曲线背景下最值问题摘要：最值问题是高考的热点，而圆锥曲线的最值问题几乎是高考的必考点，出题者不仅会在选择题或填空题中进行考察，在综合题中往往也将其设计为试题考查的核心。圆锥曲线中的最值问题，纷繁多变，从研究对象上看一般分为两大类，第一类是圆锥曲线的几何元素的最值问题，比如说距离、离心率或几何图形的面积；另一类是代数式的最值问题。对于这些问题，我们要从函数、方程、三角、几何、导数等多个角度思考问题，利用函数的性质或不等式等知识通过观图、设参、转化、替换等途径来解决。笔者下面介绍几种常用的解题方法。关键
2、词：最值函数圆锥曲线一、函数法(一)设点转化为二次函数求最值例1.在抛物线y=4x2上求一点，使它到直线y=4x-5的距离最短。解：设抛物线上的点P(t,4t2),点P到直线4x-y-5=0的距离d=H=■,当t二■时，dmin=H,故所求点为(■,1)。例2•已知曲线y2=2x,(1)设点A的坐标为(■,0),求曲线上距点A最近的点P的坐标及相应的距离
3、PA
4、；(2)设点A的坐标为(a,0)aGR,求曲线上点到点A距离最小值d,并写出d二f(a)的函数表达式。解：(1)设M(x,y)是曲线上任意一点，
5、则y2=2x(x20)MA12=(x-・)2+y2二(x-・)2+2x二(x+・)2+■Vx^OMA
6、2min=B・•・所求P点的坐标是(0,0),相应的距离是
7、APhBo(2)设M(x,y)是曲线上任意一点，同理有
8、MA
9、2二(x-a)2+y2=(x-a)2+2x=[x~(a-1)]2+(2aT),x20。综上所述，有(当a$l时)
10、a
11、(当aO且xl+x20,解之得12o点评：函数法求最值其核心是函数思想。我们要结合题目条件，灵活选取设点方式，把要求的条件转化为我们熟悉的二次函数，三角函数或较简单的
12、复合函数，利用已熟知的函数知识解决最值问题。该类题涉及的知识点多，题型多样,这就要求学生熟练掌握各类初等函数及复合函数求值域的方法，具备较强的解题的综合能力。这类题属于圆锥曲线最值中的最为常见的一种，涉猎点很多，难度较大。二、数形结合法(一)利用圆锥曲线定义例7.已知椭圆・+・二1,A(4,0),B(2,2)是椭圆内的两点，P是椭圆上任一点，求：(1)求・
13、PA
14、+
15、PB
16、=1的最小值；(2)求
17、PA
18、+
19、PB
20、的最小值和最大值。解：（1）A为椭圆的右焦点。作PQ丄右准线于点Q,则由椭圆的第二定义■=e
21、=B,/.■
22、PA
23、+
24、PB
25、=
26、PQ
27、+
28、PB
29、。问题转化为在椭圆上找一点P,使其到点B和右准线的距离之和最小，很明显，点P应是过B向右准线作垂线与椭圆的交点，最小值为・。(2)由椭圆的第一定义，设C为焦点，PA
30、=2a-1PC
31、.I
32、PA
33、+
34、PB
35、=2a-(
36、PB
37、-
38、PC
39、)o根据三角形中，PC
40、+
41、PB
42、=10+两边之差小于第三边，当P运动到与B.C成一条直线时,便可取得最大和最小值。即-
43、BC
44、<
45、PB
46、-
47、PC
48、<
49、BC
50、o当P到P〃位置时，
51、PB
52、-PC
53、=IBC
54、,PA
55、+
56、PB
57、有最
58、大值,点评：回到定义的最值解法同样在双曲线、拋物线中有类似应用。第（1）问，可总结为“・
59、PF
60、+
61、PB
62、”,其中P为曲线上的动点，F为一个焦点，B为曲线内的一定点，利用第二定义把・
63、PF
64、转化到相应准线的距离，再结合图形求出最值。第（2）问，可总结为“
65、PF
66、+
67、PB
68、”，利用第一定义把
69、PF
70、转化为到另一焦点的距离，再根据三角形中两边之差小于第三边找到最值点位置。（二）利用圆锥曲线的对称性求最值例8•设AB是过椭圆・+■二1（a>b>o）中心的弦，椭圆的左焦点为Fl（-c,o）,则AFIAB的面积最
71、大为（）A.beB.abC.acD.b2解析：由椭圆对称性知道0为AB的中点，则AFIOB的面积为ZXF1AB面积的一半。又
72、OFl
73、=c,AF1OB边0F1上的高为yB,而yB=b则S△■最大值为be。点评：抓住AFIAB中
74、OFl
75、=c为定值，以及椭圆是中心对称图形解题。点评：数形结合的思想方法是解析几何中最重要的思想方法之一。在解决求最值问题时，我们应先从几何的直观图形出发，根据图形的几何性质洞察最值出现的位置，再从代数运算入手，建立某种几何量的代数表达式，然后利用解决代数问题的最值方法解决问题。
76、三、利用基本不等式列出最值关系式，利用均值不等式"等号成立”的条件求解。例9.已知椭圆・+y2=l,Fl,F2为其两焦点，P为椭圆上任一点。求:(1)
77、PF1
78、
79、PF2
80、的最大值;(2)
81、PF1
82、2+
83、PF2
84、2的最小值。解：设
85、PFl
86、=m,
87、PF2
88、=n,则m+n=2a=4,
89、PF1
90、PF2
91、二mnW(■)2=41PF112+1PF212=(
92、PF11+1PF21)2-2
93、PFl
94、
95、PF2
96、^42-2X4=8o例10.已知圆C：(x-a
