圆锥曲线背景下的最值问题

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1、圆锥曲线背景下的最值问题　　摘要：最值问题是高考的热点，而圆锥曲线的最值问题几乎是高考的必考点，出题者不仅会在选择题或填空题中进行考察，在综合题中往往也将其设计为试题考查的核心。圆锥曲线中的最值问题，纷繁多变，从研究对象上看一般分为两大类，第一类是圆锥曲线的几何元素的最值问题，比如说距离、离心率或几何图形的面积；另一类是代数式的最值问题。对于这些问题，我们要从函数、方程、三角、几何、导数等多个角度思考问题，利用函数的性质或不等式等知识通过观图、设参、转化、替换等途径来解决。笔者下面介绍几种常用的解题方法。　　关键词：最值函数圆锥曲线　　一、函数法　　（一）设点转化

2、为二次函数求最值　　例1.在抛物线y=4x2上求一点，使它到直线y=4x-5的距离最短。　　解：设抛物线上的点P（t，4t2），点P到直线4x-y-5=0的距离d=■=　　■，当t=■时，dmin=■，故所求点为（■，1）。　　例2.已知曲线y2=2x，（1）设点A的坐标为（■，0），求曲线上距点A最近的点P的坐标及相应的距离

3、PA

4、；（2）设点A的坐标为（a，0）a∈R，求曲线上点到点A距离最小值d，并写出d=f（a）的函数表达式。　　解：（1）设M（x，y）是曲线上任意一点，则y2=2x（x≥0）6　　

5、MA

6、2=（x-■）2+y2=（x-■）2+2x=（x+

7、■）2+■∵x≥0

8、MA

9、2min=■　　∴所求P点的坐标是（0，0），相应的距离是

10、AP

11、=■。　　（2）设M（x，y）是曲线上任意一点，同理有

12、MA

13、2=（x-a）2+y2=（x-a）2+2x=[x-（a-1）]2+（2a-1），x≥0。综上所述，有d=■（当a≥1时）

14、a

15、（当a<1时）。　　点评：利用配方法求二次函数的最值，其先决条件是必须在变量的取值范围之内进行，离开这一点就得不到正确的最值。因此，用这种方法解题首先要弄清楚x或y的范围。　　变式：若点P在抛物线y2=x上移动，点Q在圆（x-3）2+y2=1上移动，求

16、PQ

17、的最小值。（转化为圆心到抛物线

18、上点的距离）　　（二）利用参数方程，转化为三角函数求最值　　例3.设实数x，y满足■+■=1则求3x+4y的最值。　　解：由椭圆的参数方程，得x=4cos？兹，y=3sin？兹　　则3x+4y=12（cos？兹+sin？兹）=12■sin（？兹+■），由三角函数的性质得最大值为12■，最小值为-12■。　　例4.已知P是椭圆■+y2=1在第一象限内的点，A（2，0），B（0，1），O为原点，求四边形OAPB的面积的最大值。　　解：设P（2cos？兹，sin？兹）（0<？兹<■），点P到直线AB：x+2y=2的距离：　　d=■=■≤■=■　　∴所求面积的最大值为■。

19、6　　点评：利用椭圆的参数方程转化为三角函数时，以一次式为主，对于二次式若可转化为二次函数的题型，建议采用设点法求最值。　　（三）巧妙利用题目条件转化为求熟悉函数的最值问题　　例5.在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且c=10，■=■=■，P为△ABC内切圆上动点，求点P到顶点A，B，C的距离的平方和的最大值与最小值。　　■　　解：由■=■=■？圯sinAcosA-cosBsinA=0？圯sin2A=sin2B　　∵■=■≠1∴2A=？仔-2B∴△ABC为Rt△。由C=10，且■=■知a=6，b=8，设△ABC内切圆半径为r，如图建立直角坐标系

20、，则Rt△ABC的内切圆M的方程为：（x-2）2+（y-2）2=4设圆M上动点P（x，y）（0≤x≤4），则P点到顶点A，B，C的距离的平方和为：L=

21、PA

22、2+

23、PB

24、2+

25、PC

26、2=（x-8）2+y2+x2+（y-6）2+y2+x2=3x2+3y2-16x-12y+100=3[（x-2）2+（y-2）2]-4x+76=88-4x　　∵点P在内切圆M上，0≤x≤4，于是Lmax=88-0=88，Lmin=88-16=72　　例6.直线m：y=kx+1和双曲线x2-y2=1的左支交于A，B两点，直线L过点P（-2，0）和线段AB的中点M，求L在y轴上的截距b的取值

27、范围。　　略解：设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），将y=kx+1代入x2-y2=1得（1-k2）x2-2kx-2=0，由题意，△>0且x1+x20，解之得12。6　　点评：函数法求最值其核心是函数思想。我们要结合题目条件，灵活选取设点方式，把要求的条件转化为我们熟悉的二次函数，三角函数或较简单的复合函数，利用已熟知的函数知识解决最值问题。该类题涉及的知识点多，题型多样，这就要求学生熟练掌握各类初等函数及复合函数求值域的方法，具备较强的解题的综合能力。这类题属于圆锥曲线最值中的最为常见的一种，涉猎点很多，难度较大。　　二、数形结合法　　（一）利

28、用圆锥曲线