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2022-2023学年北京市房山实验中学高三上学期期中考试数学试卷一、单选题1．若集合，，则（ ）A．B．或C．D．或2．下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的是（ ）A．B．C．D．3．已知数列满足为其前n项和.若，则（ ）A．20B．30C．31D．624．在平面直角坐标系中，角以为始边，终边与单位圆交于点，则（ ）A．B．C．D．5．已知函数（其中，）的部分图象如图所示，则与分别等于（ ）A．1，B．1，C．2，D．2，6．在中，，若，则的大小是（ ）A．B．C．D．
17．函数的定义域为，则“，”是“函数为偶函数”的（ ）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．函数是A．奇函数，且最大值为2B．偶函数，且最大值为2C．奇函数，且最大值为D．偶函数，且最大值为9．已知若函数只有一个零点，则的取值范围是（ ）．A．B．C．D．10．已知函数，在下列结论中：①是的一个周期；②在上单调递减；③的图象关于直线对称；④的图象关于点对称.正确结论的个数为（ ）A．1B．2C．3D．4二、填空题11．复数的虚部是___________.12．已知，则________.13．已知函数，若对任意都有（c为常数），则常数m的一个取值为_________．14．已知O为坐标原点，点，，则的面积为_____________．15．设当时，函数取得最大值，则______.三、解答题16．函数的部分图象如图所示.（1）写出的最小正周期及图中、的值；
2（2）求在区间上的最大值和最小值.17．已知函数．（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若在处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值．18．在中，，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：(1)的值；(2)角的大小和的面积.条件①：；条件②：.19．已知函数．从下列四个条件中选择两个作为已知，使函数存在且唯一确定．(1)求的解析式；(2)设，求函数在上的单调递增区间．条件①：；条件②：为偶函数；条件③：的最大值为1；条件④：图象的相邻两条对称轴之间的距离为．20．已知：函数.（1）求；（2）求证：当时，；
3（3）若对恒成立，求实数的最大值.21．在无穷数列中，，对于任意，都有，.设，记使得成立的的最大值为.（1）设数列为1，3，5，7，，写出，，的值；（2）若为等差数列，求出所有可能的数列；（3）设，，求的值.（用表示）
4参考答案1．B【解析】先利用一元二次不等式的解法化简集合，然后进行并集的运算即可.【详解】∵或，，∴或，故选：B.2．D【分析】根据基本初等函数的单调性、奇偶性以及函数奇偶性的定义逐项判断，可得出合适的选项.【详解】对于A选项，函数为偶函数，且在上不单调；对于B选项，令，该函数的定义域为，，所以，函数为偶函数，且该函数在上单调递减；对于C选项，令，该函数的定义域为，，所以，函数为奇函数；对于D选项，令，该函数的定义域为，，所以，函数为偶函数，当时，，故函数在上为增函数.故选：D.3．C【分析】先利用等比数列的定义、通项公式得到公比和首项，再利用等比数列的求和公式进行求解.【详解】因为，所以为等比数列，且，又，所以，则.故选：C.4．A【解析】根据任意角三角函数的概念可得出，然后利用诱导公式求解.【详解】因为角以为始边，且终边与单位圆交于点，所以，则.故选：A.【点睛】当以为始边，已知角终边上一点的坐标为时，则，
5.5．D【分析】根据函数周期求出，根据特殊值计算的值．【详解】解：由图象可知的周期为，，解得．由图象可知，即，，．，又，．故选：D．6．C【分析】由正弦定理边角互化，以及结合余弦定理，即可判断的形状，即可判断选项.【详解】因为，所以，由余弦定理可知，即，得，所以是等边三角形，.故选：C7．B【分析】分充分性和必要性进行讨论：充分性：取特殊函数进行判断；必要性：根据函数为偶函数，直接证明.【详解】充分性：取函数符合条件，但不是偶函数，所以充分性不满足.必要性：函数为偶函数，则有，所以恒成立，所以必要性满足.选B.8．D
6【分析】由函数奇偶性的定义结合三角函数的性质可判断奇偶性；利用二倍角公式结合二次函数的性质可判断最大值.【详解】由题意，，所以该函数为偶函数，又，所以当时，取最大值.故选：D.9．D【详解】试题分析：∵函数只有一个零点，∴与只有一个交点，图象如图所示，∴k的取值范围是．考点：函数零点问题．10．C【分析】利用判定①错误；利用导数的符号判定②正确；通过证明判定③正确；通过证明判定④正确.【详解】对于①：因为，所以不是的一个周期，即①错误；对于②：当时，，，
7所以，，，则，即，所以在上单调递减，即②正确；对于③：因为，且，所以，即的图象关于直线对称，即③正确；对于④：因为，且，所以，即的图象关于直线对称，故④正确；即正确结论个数为3个.故选：C.11．【分析】根据复数四则运算及复数的定义即可求解.【详解】因为，
8所以复数的虚部是.故答案为：.12．-3.【分析】由两角差的正切公式展开，解关于的方程．【详解】因为，所以．【点睛】本题考查两角差正切公式的简单应用，注意公式的特点：分子是减号，分母是加号．13．（答案不唯一，只要是即可）【分析】先根据函数的对称性得到，再根据诱导公式求出都可满足条件.【详解】函数中心对称点都在x轴上，所以，所以对任意恒成立，，所以，故利用诱导公式得都可满足条件.故答案为：（答案不唯一，只要是即可）【点睛】正弦函数的奇偶性，对称性，周期性，单调性及诱导公式等等是我们必备的基础知识，做题时经常用到.14．##【分析】由题意，得，计算，，再利用三角形的面积公式代入计算即可.【详解】由题意，可得，，，所以故答案为：15．；【详解】f(x)＝sinx－2cosx＝＝sin(x－φ)，其中sinφ＝，cosφ＝，当x－φ＝2kπ＋(k∈Z)时，函数f(x)取得最大值，即θ＝2kπ＋＋φ时，函数f(x)取到最大值，所以cosθ＝－sinφ＝－.16．（1），，；（2）最大值0，最小值.【详解】试题分析：（1）由图可得出该三角函数的周期，从而求出；（2）把
9看作一个整体，从而求出最大值与最小值.（1）由题意知：的最小正周期为，令y=3，则，解得，所以，.（2）因为，所以，于是当，即时，取得最大值0；当，即时，取得最小值.考点：本小题主要考查三角函数的图象与性质，求三角函数的最值等基础知识，考查同学们数形结合、转化与化归的数学思想，考查同学们分析问题与解决问题的能力.17．（1）；（2）函数的增区间为、，单调递减区间为，最大值为，最小值为.【分析】（1）求出、的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；（2）由可求得实数的值，然后利用导数分析函数的单调性与极值，由此可得出结果.【详解】（1）当时，，则，，，此时，曲线在点处的切线方程为，即；（2）因为，则，由题意可得，解得，故，，列表如下：增极大值减极小值增所以，函数的增区间为、，单调递减区间为.当时，；当时，.
10所以，，.18．(1)(2)，【分析】（1）若选①，则直接利用余弦定理可求得，若选②，先由同角三角函数的关系求出，然后由正弦定理可求出，（2）若选①，先求出，再利用正弦定理可求出角，利用面积公式可求出其面积，若选②，由于，利用两角和的余弦公式展开计算可求出角，利用面积公式可求出其面积，（1）选择条件①因为，，，由余弦定理，得，化简得，解得或（舍）.所以；选择条件②因为，，所以，因为，，所以，由正弦定理得，得，解得；（2）选择条件①因为，，所以.
11由正弦定理，得，所以，因为，所以，所以为锐角，所以，所以，选择条件②由（1）知，，又因为，，在中，，所以因为所以，所以19．(1)；(2)【分析】（1）先由降幂公式得，故为奇函数，排除条件②，若选①③，不唯一，不合题意；若选①④由及周期解出即可；若选③④由最大值及周期解出即可；（2）先由倍角公式及辅助角公式求出，再令解出单调区间，最后写出在上的单调递增区间即可.（1）
12，易知为奇函数，故条件②不成立，舍去.若选①③，则且，故，，解得，故不唯一，不合题意；若选①④，且，故，解得，，存在且唯一，故；若选③④，则且，故，解得，，故，存在且唯一，故；（2），令，解得，当时，，当时，，故函数在上的单调递增区间为.20．（1）0；（2）证明见解析；（3）.【解析】（1）首先求函数的导数，再代入求的值；（2）首先设函数，求函数的导数，利用导数正负判断函数的单调性，求得函数，（3）首先不等式等价于对恒成立，参变分离后转化为对恒成立，利用导数求函数的最小值，转化为求实数的最大值.【详解】 （1）；（2）令，则，当时，设，则所以在单调递减，即，所以所以在上单调递减，所以，
13所以.（3）原题等价于对恒成立，即对恒成立，令，则.易知，即在单调递增，所以，所以，故在单调递减，所以. 综上所述，的最大值为.【点睛】方法点睛：由不等式恒成立求参数的取值范围的方法：1.讨论最值，先构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出含参函数的最值，进而得出相应的含参不等式求参数的取值范围；2.分离参数：先分离参数变量，再构造函数，求出函数的最值，从而求出参数的取值范围.21．（1），，；（2）；（3）．【详解】试题分析：（1）根据使得成立的的最大值为，，则，，则，，则，这样就写出，，的值；（2）若为等差数列，先判断，再证明，即可求出所有可能的数列；（3）确定，，依此类推，发现规律，得出，从而求出的值．试题解析：（1），，.（2）由题意，得，结合条件，得.又因为使得成立的的最大值为，使得成立的的最大值为，所以，.设，则.假设，即，则当时，；当时，.所以，.因为为等差数列，所以公差，所以，其中.
14这与矛盾，所以.又因为，所以，由为等差数列，得，其中.因为使得成立的的最大值为，所以，由，得.（3）设，因为，所以，且，所以数列中等于1的项有个，即个；设，则，且，所以数列中等于2的项有个，即个；以此类推，数列中等于的项有个.所以.即.
