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时间：2022-10-30
《复变函数洛朗级数PPT课件》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、4.4.3最大(小)模原理定理4.23(最大模原理)设f(z)在区域D内解析,则f(z)在D内任何点都不能达到最大值,除非在D内f(z)恒等于常数.证:如果用M表f(z)在D内的最小上界,则必02、由(4.15)得4.z0因此,我们已经证明了:在以点z0为中心的每一个充分小的圆上f(z)=M.自相矛盾z0z0z0z0z0f(z)=M.在z0点的足够小的邻域K内(K及其周界全含于D内)有让R趋近于零5.(2)由第二章习题(一)6(3),必f(z)在K内为常数.推论4.24设(1)f(z)在有界区域D内解析,在闭域上连续;(2)则除f(z)为常数,否则f(z)0，则f(z)在圆z<1内，至少有一个零点.使当z=R时，f(3、z)>a,但f(0)4、要部分解析部分同时收敛收敛f1(z)f2(z)f(z)13.收敛半径收敛域收敛半径收敛域两收敛域无公共部分,两收敛域有公共部分H:R1aaRarHf(z)=f1(z)+f2(z14.这时,级数(5.3)在圆环H:r5、16.定理5.2(罗朗定理)在圆环H:r6、10)由(5.6),(5.7),(5.9)即得回过头来考察系数(5.8)及(5.10),由复围线的柯西积分定理,对任意圆周有21.于是系数可统一表成(5.5).22.因为系数cn与我们所取的z无关,故在圆环H内(5.4)成立.上一致收敛.乘以Γ上的有界函数:最后证明展式的唯一性.设f(z)在圆环H内又可展成下式:由定理5.1知,它在圆周故可逐项积分，得：仍然一致收敛23.利用重要积分公式，m=n,右端为2πi,其余为零得：定义5.1(5.4)称为f(z)在点a的罗朗展式,(5.5)称为其系数,而(5.4)右边的级数则称为罗朗级数.24.5.1.3洛朗级数与泰勒级数的关系泰勒级数是罗朗级数的特殊7、情形.例1判断在下列区域内能展成什么幂级数．即：罗朗级数或泰勒级数．25.例1内是处处解析的,试把f(z)在这些区域内展开成洛朗级数.解26.oxy127.12oxy由且仍有28.2oxy由此时29.仍有30.注意:奇点但却不是函数的奇点.本例中圆环域的中心是各负幂项的说明:1.函数在以为中心的圆环域内的洛朗级数中尽管含有的负幂项,而且又是这些项的奇点,但是可能是函数的奇点,也可能的奇点.不是31
2、由(4.15)得4.z0因此,我们已经证明了:在以点z0为中心的每一个充分小的圆上f(z)=M.自相矛盾z0z0z0z0z0f(z)=M.在z0点的足够小的邻域K内(K及其周界全含于D内)有让R趋近于零5.(2)由第二章习题(一)6(3),必f(z)在K内为常数.推论4.24设(1)f(z)在有界区域D内解析,在闭域上连续;(2)则除f(z)为常数,否则f(z)0，则f(z)在圆z<1内，至少有一个零点.使当z=R时，f(
3、z)>a,但f(0)4、要部分解析部分同时收敛收敛f1(z)f2(z)f(z)13.收敛半径收敛域收敛半径收敛域两收敛域无公共部分,两收敛域有公共部分H:R1aaRarHf(z)=f1(z)+f2(z14.这时,级数(5.3)在圆环H:r5、16.定理5.2(罗朗定理)在圆环H:r6、10)由(5.6),(5.7),(5.9)即得回过头来考察系数(5.8)及(5.10),由复围线的柯西积分定理,对任意圆周有21.于是系数可统一表成(5.5).22.因为系数cn与我们所取的z无关,故在圆环H内(5.4)成立.上一致收敛.乘以Γ上的有界函数:最后证明展式的唯一性.设f(z)在圆环H内又可展成下式:由定理5.1知,它在圆周故可逐项积分，得：仍然一致收敛23.利用重要积分公式，m=n,右端为2πi,其余为零得：定义5.1(5.4)称为f(z)在点a的罗朗展式,(5.5)称为其系数,而(5.4)右边的级数则称为罗朗级数.24.5.1.3洛朗级数与泰勒级数的关系泰勒级数是罗朗级数的特殊7、情形.例1判断在下列区域内能展成什么幂级数．即：罗朗级数或泰勒级数．25.例1内是处处解析的,试把f(z)在这些区域内展开成洛朗级数.解26.oxy127.12oxy由且仍有28.2oxy由此时29.仍有30.注意:奇点但却不是函数的奇点.本例中圆环域的中心是各负幂项的说明:1.函数在以为中心的圆环域内的洛朗级数中尽管含有的负幂项,而且又是这些项的奇点,但是可能是函数的奇点,也可能的奇点.不是31
4、要部分解析部分同时收敛收敛f1(z)f2(z)f(z)13.收敛半径收敛域收敛半径收敛域两收敛域无公共部分,两收敛域有公共部分H:R1aaRarHf(z)=f1(z)+f2(z14.这时,级数(5.3)在圆环H:r5、16.定理5.2(罗朗定理)在圆环H:r6、10)由(5.6),(5.7),(5.9)即得回过头来考察系数(5.8)及(5.10),由复围线的柯西积分定理,对任意圆周有21.于是系数可统一表成(5.5).22.因为系数cn与我们所取的z无关,故在圆环H内(5.4)成立.上一致收敛.乘以Γ上的有界函数:最后证明展式的唯一性.设f(z)在圆环H内又可展成下式:由定理5.1知,它在圆周故可逐项积分，得：仍然一致收敛23.利用重要积分公式，m=n,右端为2πi,其余为零得：定义5.1(5.4)称为f(z)在点a的罗朗展式,(5.5)称为其系数,而(5.4)右边的级数则称为罗朗级数.24.5.1.3洛朗级数与泰勒级数的关系泰勒级数是罗朗级数的特殊7、情形.例1判断在下列区域内能展成什么幂级数．即：罗朗级数或泰勒级数．25.例1内是处处解析的,试把f(z)在这些区域内展开成洛朗级数.解26.oxy127.12oxy由且仍有28.2oxy由此时29.仍有30.注意:奇点但却不是函数的奇点.本例中圆环域的中心是各负幂项的说明:1.函数在以为中心的圆环域内的洛朗级数中尽管含有的负幂项,而且又是这些项的奇点,但是可能是函数的奇点,也可能的奇点.不是31
5、16.定理5.2(罗朗定理)在圆环H:r6、10)由(5.6),(5.7),(5.9)即得回过头来考察系数(5.8)及(5.10),由复围线的柯西积分定理,对任意圆周有21.于是系数可统一表成(5.5).22.因为系数cn与我们所取的z无关,故在圆环H内(5.4)成立.上一致收敛.乘以Γ上的有界函数:最后证明展式的唯一性.设f(z)在圆环H内又可展成下式:由定理5.1知,它在圆周故可逐项积分，得：仍然一致收敛23.利用重要积分公式，m=n,右端为2πi,其余为零得：定义5.1(5.4)称为f(z)在点a的罗朗展式,(5.5)称为其系数,而(5.4)右边的级数则称为罗朗级数.24.5.1.3洛朗级数与泰勒级数的关系泰勒级数是罗朗级数的特殊7、情形.例1判断在下列区域内能展成什么幂级数．即：罗朗级数或泰勒级数．25.例1内是处处解析的,试把f(z)在这些区域内展开成洛朗级数.解26.oxy127.12oxy由且仍有28.2oxy由此时29.仍有30.注意:奇点但却不是函数的奇点.本例中圆环域的中心是各负幂项的说明:1.函数在以为中心的圆环域内的洛朗级数中尽管含有的负幂项,而且又是这些项的奇点,但是可能是函数的奇点,也可能的奇点.不是31
6、10)由(5.6),(5.7),(5.9)即得回过头来考察系数(5.8)及(5.10),由复围线的柯西积分定理,对任意圆周有21.于是系数可统一表成(5.5).22.因为系数cn与我们所取的z无关,故在圆环H内(5.4)成立.上一致收敛.乘以Γ上的有界函数:最后证明展式的唯一性.设f(z)在圆环H内又可展成下式:由定理5.1知,它在圆周故可逐项积分，得：仍然一致收敛23.利用重要积分公式，m=n,右端为2πi,其余为零得：定义5.1(5.4)称为f(z)在点a的罗朗展式,(5.5)称为其系数,而(5.4)右边的级数则称为罗朗级数.24.5.1.3洛朗级数与泰勒级数的关系泰勒级数是罗朗级数的特殊
7、情形.例1判断在下列区域内能展成什么幂级数．即：罗朗级数或泰勒级数．25.例1内是处处解析的,试把f(z)在这些区域内展开成洛朗级数.解26.oxy127.12oxy由且仍有28.2oxy由此时29.仍有30.注意:奇点但却不是函数的奇点.本例中圆环域的中心是各负幂项的说明:1.函数在以为中心的圆环域内的洛朗级数中尽管含有的负幂项,而且又是这些项的奇点,但是可能是函数的奇点,也可能的奇点.不是31
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