复变函数与积分变换4.3洛朗级数

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1、§4洛朗级数一个以z0为中心的圆域内解析的函数f(z),可以在该圆域内展开成z-z0的幂级数.如果f(z)在z0处不解析,则在z0的邻域内就不能用z-z0的幂级数来表示.但是这种情况在实际问题中却经常遇到.因此,在本节中将讨论在以z0为中心的圆环域内的解析函数的级数表示法.z0R1R2讨论下列形式的级数:可将其分为两部分考虑:只有正幂项和负幂项都收敛才认为原级数收敛于它们的和.正幂项是一幂级数,设其收敛半径为R2：这是z的幂级数,设收敛半径为R：对负幂项,如果令z=(z-z0)-1,就得到：则当

2、z-z0

3、>R1时,即

4、z

5、

6、z-z0

7、

8、

9、z-1

10、<1内也可以展开为z-1的幂级数:1Oxy定理(Laurent展开定理)设f(z)在圆环域R1<

11、z-z0

12、

13、.R1R2zrK1zRK2zz0由多连通域的柯西积分公式得R1R2zrK1zRK2zz0R1R2zrK1zRK2zz0唯一性：一个在某圆环域内解析的函数展开为含有正,负幂项的级数是唯一的。这个级数被称为f(z)的洛朗级数.根据由正负整次幂项组成的级数的唯一性,一般可以用代数运算,代换,求导和积分等方法去展开,以求得洛朗级数的展开式.解：函数f(z)在圆环域i)0≤

14、z

15、<1;ii)1<

16、z

17、<2;iii)2<

18、z

19、<+内是处处解析的,应把f(z)在这些区域内展开成洛朗级数.xyO1xyO12xyO2先把f(z)用部分分式表示:ii)在1<

20、z

21、<2内：iii

22、)在2<

23、z

24、<+内:例2把函数[解]因有洛朗级数的系数公式（即可利用Laurent系数计算积分）其中C为圆环域R1<

25、z-z0

26、