复变函数洛朗级数.ppt

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1、4.4.3最大(小)模原理定理4.23(最大模原理)设f(z)在区域D内解析,则

2、f(z)

3、在D内任何点都不能达到最大值,除非在D内f(z)恒等于常数.证:如果用M表

4、f(z)

5、在D内的最小上界,则必0

6、z-z0

7、

8、f(z0)

9、=M.(4.15)由于而以下再用反证法说明这一点:如果对于某一个值=0有：（反证）那么根据

10、

11、f(z)

12、的连续函数的保号性：在这个区间之外,总是在这样的情况下,由(4.15)得z0因此,我们已经证明了:在以点z0为中心的每一个充分小的圆上

13、f(z)

14、=M.自相矛盾z0z0z0z0z0

15、f(z)

16、=M.在z0点的足够小的邻域K内(K及其周界全含于D内)有让R趋近于零(2)由第二章习题(一)6(3),必f(z)在K内为常数.推论4.24设(1)f(z)在有界区域D内解析,在闭域上连续;(2)则除f(z)为常数,否则

17、f(z)

18、

19、9试用最大模原理证明，设f(z)在闭圆

20、z

21、≤R上解析，如果存在a>0，则f(z)在圆

22、z

23、<1内，至少有一个零点.使当

24、z

25、=R时，

26、f(z)

27、>a,但f(0)

28、z

29、≤R上解析。故，第五章解析函数的罗朗(Laurent)展式与孤立奇点5.1解析函数的洛朗展式5.2解析函数的孤立奇点5.3解析函数在无穷远点的性质5.4整函数与亚纯函数学习要求⒈理解双边幂级数的有关概念；⒉理解孤立奇点的概念，掌握判别孤立奇点类别的方法；⒊理解罗朗定理，熟练掌握将函数在孤立奇点（无穷远点除外）展成罗朗级数的方法；⒋理解解析函数在其孤立奇点

30、邻域内的性质。§5.1解析函数的洛朗展式5.1.1双边幂级数双边幂级数定义：称级数（5.3）为复常数，称为双边幂级数（5.3）的系数为双边幂级数，其中负幂项部分非负幂项部分主要部分解析部分同时收敛收敛f1(z)f2(z)f(z)收敛半径收敛域收敛半径收敛域两收敛域无公共部分,两收敛域有公共部分H:R1aaRarHf(z)=f1(z)+f2(z这时,级数(5.3)在圆环H:r<

31、z-a

32、

33、z-a

34、

35、

36、z-a

37、

38、中的两个积分表示为含有z-a的(正或负)幂次的级数.1对于第一个积分,只要照抄泰勒定理4.14证明中的相应部分,就得(5.7)(5.8)12类似地,对(5.6)的第二个积分我们有2于是上式可以展成一致收敛的级数沿Γ1逐项求积分,两端同乘以(5.9)(5.10)由(5.6),(5.7),(5.9)即得回过头来考察系数(5.8)及(5.10),由复围线的柯西积分定理,对任意圆周有于是系数可统一表成(5.5).因为系数cn与我们所取的z无关,故在圆环H内(5.4)成立.上一致收敛.乘以Γ上的有界函数:最后证明展式的唯一性.设f(z)在圆环H内

39、又可展成下式:由定理5.1知,它在圆周故可逐项积分，得：仍然一致收敛利用重要积分公式，m=n,右端为2πi,其余为零得：定义5.1(5.4)称为f(z)在点a的罗朗展式,(5.5)称为其系数,而(5.4)右边的级数则称为罗朗级数.5.1.3洛朗级数与泰勒级数的关系泰勒级数是罗朗级数的特殊情形.例1判断在下列区域内能展成什么幂级数．即：罗朗级数或泰勒级数．例1内是处处解析的,试把f(z)在这些区域内展开成洛朗级数.解oxy112oxy由且仍有2oxy由此时仍有注意:奇点但却不是函数的奇点.本例中圆环域的中心是各负幂项的说明:1.函数在以为

40、中心的圆环域内的洛朗级数中尽管含有的负幂项,而且又是这些项的奇点,但是可能是函数的奇点,也可能的奇点.不是2.给定了函数与复平面内的一点以后,函数在各个不同的圆环域中有不同的洛朗展开式(包括泰勒展开式作为它