大学复变函数课件-洛朗级数.doc

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1、第五章洛朗级数第一节洛朗展式双边幂级数设级数（）它在收敛圆内绝对且内闭一致收敛到解析函数；考虑函数项级数（）作代换则（）即为，它在收敛圆内绝对且内闭一致收敛到解析函数，从而（）在区域内绝对且内闭一致收敛到解析函数；当且仅当时，（）（）有共同的收敛区域，此时，称为双边幂级数。关于双边幂级数的性质，见p185定理定理1（洛朗定理）设函数f(z)在圆环：内解析，那么在H内其中，是圆是一个满足的任何数，并且展式是唯一的。证明：，作圆周和使含于圆环内，于是在圆环内解析。由柯西积分公式，其中现考虑而沿，，（在上一致收敛）由于函数沿有界，所以故当：，其中展式的唯一

2、性：设任意取某正整数，在上有界，，故，展式唯一。注解：我们称为f(z)的解析部分，而称为其主要部分。例1、求函数分别在圆环1<

3、z

4、<2及内的洛朗级数式。解：如果1<

5、z

6、<2，那么利用当时的幂级数展式我们得如果，那么同样，我们有例2、及在内的洛朗级数展式是：例1、在内的洛朗级数展式是：。例2、求函数在圆环1<

7、z

8、<3内的洛朗级数展式。解：由于1<

9、z

10、<3，那么利用当时的幂级数展式我们得，而所以，有第二节解析函数的孤立奇点1．解析函数的孤立奇点的定义设函数f(z)在去掉圆心的圆盘内确定并且解析，那么我们称为f(z)的孤立奇点。在D内，f(z)有洛

11、朗展式其中是圆。例如，0是的孤立奇点。一般地，对于上述函数f(z)，按照它的洛朗展式中含负幂的情况（主要部分的情况），可以把孤立奇点分类如下：⑴如果在的主要部分为，那么我们说是f(z)的可去奇点，这时因为令，就得到在整个圆盘内的解析函数f(z)；⑵如果在的主要部分是有限多项：我们称是f(z)的阶极点；⑶如果在的主要部分是无限多项，我们称是f(z)的本性奇点。例如，0分别是的可去奇点、单极点及本性奇点。2．孤立奇点的判定定理1是f(z)的可去奇点的必要与充分条件是：，其中是一个复数。证明：（必要性）。由假设，在内，f(z)有洛朗级数展式：因为上式右边的

12、幂级数的收敛半径至少是R，所以它的和函数在内解析，于是显然存在着。（充分性）。设在内，f(z)的洛朗级数展式是由假设，存在着两个正数M及，使得在内，那么取，使得，我们有当n=-1,-2,-3,…时，在上式中令趋近于0，就得到。于是是f(z)的可去奇点。推论1是f(z)的可去奇点的必要与充分条件是：存在着某一个正数，使得f(z)在内有界。下面研究极点的特征。设函数f(z)在内解析，是f(z)的阶极点，那么在内，f(z)有洛朗展式：在这里则在这里是一个在内解析的函数，并且。反之，如果函数f(z)在内可以表示成为上面的形状，而是一个在内解析的函数，并且，那

13、么可以推出是f(z)的m阶极点。定理2是f(z)的极点的必要与充分条件是：。证明：必要性是显然的，我们只证明充分性。在定理的假设下，存在着某个正数，使得在内，，于是在内解析，不等于零，而且。因此是F(z)的一个可去奇点，从而在内，有洛朗级数展式：我们有。由于在内，，可以设。由此得，其中在内解析，并且不等于零。于是在内，，在这里，在内解析，。因此是f(z)的m阶极点。推论2设函数f(z)在内解析，那么是f(z)的m阶极点的必要与充分条件是：，在这里m是一个正整数，是一个不等于0的复数。关于解析函数的本性奇点，我们有下面的结论：定理3是f(z)的本性奇点

14、的必要与充分条件是：不存在有限或无穷极限。例：0是函数的本性奇点，不难看出不存在。解：当z沿正实轴趋近于0时，趋近于；当z沿负实轴趋近于0时，趋近于0；当z沿虚轴趋近于0时，没有极限。第三节解析函数在无穷远点的性质1．解析函数在无穷远点的性质设函数f(z)在区域内解析，那么无穷远点称为f(z)的孤立奇点。在这个区域内，f(z)有洛朗级数展式：其中系数由定理5.1中类似的公式确定。令，按照R>0或R=0，我们得到在或内解析的函数，其洛朗级数展式是：如果w=0是的可去奇点、（m阶）极点或本性奇点，那么分别说是f(z)的可去奇点、（m阶）极点或本性奇点。因

15、此（1）如果当时n=1,2,3,…，，那么是f(z)的可去奇点。（2）如果只有有限个（至少一个）整数n，使得，那么是f(z)的极点。设对于正整数m，，而当n>m时，，那么我们称是f(z)的m阶极点。（3）如果有无限个整数n>0，使得，那么我们说是f(z)的本性奇点。注解1若为f(z)的可去奇点，我们也说f(z)在无穷远点解析；注解2上一段的结论都可以推广到无穷远点的情形，我们综合如下：定理1设函数f(z)在区域内解析，那么是f(z)的可去奇点、极点或本性奇点的必要与充分条件是：存在着极限、无穷极限或不存在有限或无穷的极限。推论设函数f(z)在区域内解

16、析，那么是f(z)的可去奇点的必要与充分条件是：存在着某一个正数，使得f(z)在内有界。第四节整函数与亚纯函