2022-2023学年高一年级北师大版（2019）数学必修一3.2指数幂的运算性质Word版含解析.docx

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3.2指数幂的运算性质一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.在①②③④⑤中，计算正确式子的个数是(    )A.4个B.3个C.2个D.1个2.《数术记遗》是东汉时期徐岳编撰的一本数学专著，内有中国特色的十四种算法它最早记录中国古代关于大数的记法：“黄帝为法，数有十等.及其用也，乃有三焉.十等者，亿､兆､京､垓､秭､壤､沟､涧､正､载.三等者，谓上､中､下也，其下数者，十十变之，若言十万曰亿，十亿曰兆，十兆曰京也.中数者，万万变之，若言万万曰亿，万万亿曰兆，万万兆曰京.上数者，数穷则变，若言万万曰亿，亿亿曰兆，兆兆曰京也.从亿至载，终于大衍.下数浅短，计事则不尽，上数宏阔，世不可用.故其传业，唯以中数耳.”我们现在用的是中数之法：万万为亿，万亿为兆，万兆为京，……，即万，亿，兆，京，……，地球的质量大约是秭千克，秭的位数是(    )A.21B.20C.25D.243.若，则化简的结果是(    )A.B.C.D.4.物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述：设物体的初始温度是，经过一定时间单位：分后的温度是T，则，其中称为环境温度，k为比例系数．现有一杯的热水，放在的房间中，10分钟后变为的温水，那么这杯水从降温到时需要的时间为(    )A.3分钟B.5分钟C.6分钟D.8分钟5.衣柜里的樟脑丸会随着时间的挥发而体积缩小，刚放进的新丸体积为a，经过t天后体积V与天数t的关系式为：若新丸经过50天后，体积变为，则一个新丸体积变为需经过的时间为(    )A.125天B.100天C.50天D.75天6.已知，则的值是(    )A.15B.12C.16D.257.实数满足，则 (    )A.B.1C.2D. 1.我国著名数学家李善兰与英国传教士伟烈亚力合译的《代数学》是一部介绍西方符号代数的数学著作，《代数学》中多处使用汉语化的表现形式表达数学运算法则，如用“”来表示“”，用“甲乙甲三甲乙三甲乙乙”来表示“”．那么下列表述中所有正确的序号是(    )①“”表示“”；②“”表示“”．③“甲乙甲二甲乙乙”表示“”．A.①②③B.②③C.①③D.①②二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）2.若，是方程的两个根，则__________，__________.3.已知，，且，求__________.4.已知，化简__________.5.化简的结果为__________.6.若，，则__________.三、解答题（本大题共7小题，共84.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）7.本小题分从盛有1L纯酒精的容器中倒出，然后用水填满；再倒出，又用水填满……连续进行5次，容器中的纯酒精还剩下多少？连续进行n次，容器中的纯酒精还剩下多少？8.本小题分化简或求值； 1.本小题分设，求的值．2.本小题分已知，求的值；已知，求的值.3.本小题分化简：；4.本小题分已知a是128的七次方根，求的值.5.本小题分计算：； 答案和解析1.【答案】C 【解析】【分析】本题考查了指数及其指数幂的运算，属于基础题.根据指数及其指数幂的运算法则，逐一分析可得出结果.【解答】解：对于①，，故①正确；对于②，，故②错误；对于③，，故③正确；对于④，，故④错误；对于⑤，，故⑤错误，故正确的个数有2个，故选  2.【答案】C 【解析】【分析】本题考查指数运算的应用，属于基础题.根据题意，万位记一进位，即记数中相邻两个相差4位，由此可得．【解答】解：由题意相邻记数单位后面的比前面的多4位．1兆，13位数，因此1京是17位､1垓是21位､1秭是25位，秭也是25位数．故选：  3.【答案】C 【解析】【分析】本题主要考查根式的运算，指数幂的运算法则的应用，属于基础题.直接根据根式与指数幂的运算法则计算即可.【解答】 解：，， 故选  4.【答案】B 【解析】【分析】本题考查指数运算的应用，考查计算能力，是中档题.由已知列式求得，进一步利用已知条件列式求得所需时间得答案.【解答】解：设物体的初始温度是，经过一定时间t后的温度是T，则，由，，，，则，，得，当，，时，则，即，，得，即这杯水从降温到时需要的时间为5分钟.故选  5.【答案】D 【解析】【分析】本题考查指数运算在生产生活中的应用，是中档题．由题意得，可令t天后体积变为，即有，由此能求出结果．【解答】 解：由题意得，①可令t天后体积变为，即有，②由①可得，③又②①得，两边平方得，与③比较可得，解得，即经过75天后，体积变为故选：  6.【答案】A 【解析】【分析】本题主要考查了分数指数幂的运算，考查了学生的计算能力.该等式两边平方可得，然后利用立方差公式化简为可得结果.【解答】解：，故选  7.【答案】A 【解析】【分析】 本题考查指数幂的运算，属拔高题.依题意，对通分整理得，进而求得结果.【解答】解：由，得，即，所以，故选  8.【答案】A 【解析】【分析】本题考查知识运算，属于中档题.根据题目信息，结合指数幂的运算及完全平方和的展开式求解即可.【解答】解：由题知，“”来表示“”，相当于同底数幂相除，底数不变，指数相减，所以①②正确．由“甲乙甲三甲乙三甲乙乙”来表示“”可知是加法，所以③是完全平方和公式，所以③正确.故选：  9.【答案】 【解析】【分析】本题考查了指数幂的运算，应用一元二次方程根与系数的关系及指数运算法则求值，属于基础题.根据一元二次方程根与系数关系可得、的值，结合指数运算法则即可求值.【解答】 解：利用一元二次方程根与系数的关系，得：，，则，，故答案为：；  10.【答案】 【解析】【分析】本题考查指数幂和根式的运算，考查公式的应用．由已知可得，则，所以原式等价于，利用完全平方公式化简求值即可．【解答】解：由已知可得，则，原式故答案为：  11.【答案】 【解析】【分析】本题考查根式的运算性质，指数与指数幂的运算，属中档题；注意公式的熟练应用即可.根据已知条件判断a的范围，再结合根式的运算性质，即可求得结果.【解答】解：由已知，即，即，所以 故答案为：  12.【答案】 【解析】【分析】本题考查分数指数幂的运算，考查运算求解能力，属于中档题.直接利用分数指数幂的运算法则进行化简.【解答】解：原式故答案为：  13.【答案】27 【解析】【分析】本题考查指数幂运算的应用，属于中档题.利用指数幂运算法则可化简得到二元一次方程组，解方程组即可求得结果.【解答】解：，，，解得：，故答案为：  14.【答案】解：倒出1次后还剩，加满水后浓度为倒出2次后还剩，加满水后浓度为倒出3次后还剩，加满水后浓度为倒出4次后还剩，加满水后浓度为倒出5次后还剩由知，连续进行了n次，容器中的纯酒精还剩下  【解析】本题考查利用指数性质解实际应用题.每进行一次倒出和填满，浓度变为原来的，根据比例关系即可求解；结合第问分析出的关系每进行一次倒出和填满，浓度变为原来的，即可得解.15.【答案】解：原式原式 【解析】本题考查了指数幂的运算性质，属于基础题．利用指数幂和根式的运算性质即可得出．利用指数幂的运算性质即可得出．16.【答案】解：，，当时，原式；当时，原式 【解析】本题主要考查根式的化简以及根式的性质，属于中档题.利用根式的性质得到，再根据，分， 两种情况求解.17.【答案】解：原式；原式 【解析】本题考查根据指数幂的运算法则求代数式的值，利用整体代换，涉及因式分解.根据指数幂运算法则将原式转化为即可求值；利用立方和公式化简因式分解再求值.18.【答案】解： 【解析】本题考查指数与指数幂的运算.根据，进一步计算可得答案； 由指数幂的运算法则进行计算，进而得出答案.19.【答案】解：是128的七次方根，，故的值为 【解析】本题考查了根式的运算及平方差公式，重点考查了运算能力，属于拔高题.先由a是128的七次方根，可得，再结合平方差公式，逐步运算即可得解.20.【答案】解：  【解析】本题考查根式运算，属于拔高题.需把各项被开方数变为完全平方形式，然后再利用根式运算性质求解；分母有理化即可求解