条件平差与间接平差的相互关系研究

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条件平差与间接平差的相互关系研究目录摘要（1）0绪论（1）1条件平差原理（1）1．1条件平差介绍（1）1．2基础方程及其解（2）1．3条件平差求平差值的计算步骤（5）2间接平差原理（5）2．1间接平差介绍（5）2．2基础方程及其解（6）2．3按间接平差法求平差值的计算步骤（8）3条件平差与间接平差的关系...........................................................（8）3．1联系..........................................................................................（9）3．2区别..........................................................................................（9）4结论（9）参考文献（10）Abstract（11）

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2条件平差与间接平差的相互关系研究0绪论平差计算是测量内业中相当重要的一部分．近些年来，测量人员运用间接平差原理对导线网，高程网等进行点位的精度分析，间接平差法是通过选定n个与观测值有一定关系的独立未知量作为参数，将每个观测值都分别表达成这n个参数的函数，建立函数模型，然后进行求解，从而求得各观测量的评差值．当已知点数较多时，如处理大型的导线网或工程网数据时，间接平差比较实用．而条件平差不需要增选任何参数，只需要建立相应的条件方程式，在处理已知点数较少的中小型的控制网，网型条件比较特殊的网型，如单一附合导线时，需要列出的条件方程式较少，使平差计算简单易行，这是条件平差的优势就体现出来了．1条件平差原理1．1条件平差介绍在测量工作中，为了能及时的发现错误和提高测量成果的精度，常作多余观测，这就产生了平差问题．如果一个几何模型中有r个多余观测，就产生了r个条件方程，以条件方程为函数模型的平差方法，这就是条件平差．条件平差的函数模型为随机模型为平差的准则为条件平差就是要求在满足r个条件方程式条件下，求函数的V值，在数学中是求函数的条件极值问题．1．2基础方程及其解第11页（共11页）

3设在某个测量作业中，有n个观测值，均含有相互独立的偶然误差，相应的权阵为，改正数为，平差值为，表示为，，，其中为对角阵；=+，即（1-1-1）在这n个观测值中，有t个必要观测数，多余观测数为r．可以列出r个平差值线性条件方程（1-1-2）1-1-2式中，ai、bi、…、ri（I=1，2，……n）为各平差值条件方程式中的系数，a0、b0、…、r0为各平差值条件方程式中的常数项．将（1-1-1）式代入(1-1-2)式，得相应的改正数条件方程式（1-1-3）1-1-4式中wa、wb、…、wr称为改正数条件方程的闭合差（或不符值），即第11页（共11页）

4（1-1-4）若取，，(1-1-2)、（1-1-3）和（1-1-4）式可分别表达成矩阵形式如下(1-1-5)(1-1-6)(1-1-7)按求函数极值的拉格朗日乘数法，引入乘系数（又称为联系数向量），构成函数：(1-1-8)为引入最小二乘法，将Φ对V求一阶导数，并令其为零得上式两端转置，得由于P是主对角线阵，则P=PT，第11页（共11页）

5将上式两边左乘权逆阵P–1，得(1-1-9)此式称为改正数方程，其纯量形式为，(i=1，2，…，n)(1-1-10)将（1-1-9）式代入（1-1-6）式，得(1-1-11)此式称为联系数法方程（简称法方程），其纯量形式为(1-1-12)取法方程的系数阵AP-1AT=N，由上式易知N阵关于主对角线对称，得法方程表达式(1-1-13)法方程数阵N的秩即，N是一个r阶的满秩方阵，且可逆．将（1-1-13）式移项，得上式两边左乘法方程系数阵N的逆阵N–1，得联系数K的唯一解：(1-1-14)将（1-1-14）式代入（1-1-9）或（1-1-10）式，可计算出V，再将V代入（1-1-1），即可计算出所求的观测值的最或然值．第11页（共11页）

6通过观测值的平差值，可以进一步计算一些未知量（如待定点的高程、纵横坐标以及边的长度、某一方向的方位角等）的最或然值．由上述推导可看出，K、V及都是由（1-1-6）和（1-1-9）式解算出的，因此我们把（1-1-6）和(1-1-9)式合称为条件平差的基础方程．1．3条件平差求平差值的计算步骤（1）根据平差问题的具体情况，列出条件方程式，条件方程的个数等于多余观测数；（2）根据条件式的系数，闭合差及观测值的协因数阵组成法方程式，法方程的个数等于多余观测数；（3）解算法方程，求出联系数的值；（4）将所求值代入改正数方程式，求值，并求出平差值；（5）为了检查平差计算的正确性，常用平差值重新列出平差值条件方程式，看其是否满足方程．2间接平差原理2．1间接平差介绍在一个平差问题中，当选的独立参数的的个数等于必要观测数t时，可将每个观测值表达成这t个参数的函数，组成观测方程，这种以观测方程为函数模型的平差方法，就是间接平差．间接平差的函数模型为(2-1-1)平差时，一般对参数都要取近似值，令(2-1-2)带入上式，并令(2-1-3)其中，为观测值的近似值，所以l是观测值与其近似值之差，由此可得误差方程(2-1-4)第11页（共11页）

7(2-1-4)式中l为误差方程常数项，当参数不取近似值时，l表达式为(2-1-3)中=0的情形，由于l与L只差一个常数项，故其精度相同，即，，所以l也称为观测值．间接平差的随机模型为(2-1-5)平差的准则为(2-1-6)间接平差就是在最小二乘准则要求下求出误差方程中的待定参数，在数学中是求多元函数的极值问题.2．2基础方程及其解设有n个观测值方程为则得误差方程为令第11页（共11页）

8可得平差方程的矩阵形式(2-1-7)按最小二乘原理，上式的必须满足的要求，因为t个参数为独立量，故可按数学上求函数自由极值的方法得转置后得(2-1-8)以上所得的(2-1-7)和(2-1-8)式中的待求量是n个V和t个，而方程个数也是n+t个，有唯一解，称此两式为间接平差的基础方程．解此基础方程，一般是将(2-1-7)式代入(2-1-8)式，以便先消去V，得(2-1-9)令上式可简写成(2-1-10)(2-1-10)式中系数阵为满秩，即=t，有唯一解，上式称为间接平差的法方程．解之得(2-1-11)或(2-1-12)将求出的代入误差方程(2-1-7)，即可求得改正数V，从而平差结果为第11页（共11页）

9(2-1-13)特别地，当P为对角阵时，即观测值间相互独立，则法方程(2-1-10)的纯量形式为(2-1-14)2．3按间接平差法求平差值的计算步骤（1）根据平差问题的性质，选择t个独立量作为参数；（2）将每一个观测量的平差值分别表达成所选参数的函数，若函数非线性要将其线性化，列出误差方程(2-1-7)；（3）由误差方程系数B和自由项l组成法方程(2-1-10)，法方程个数等于参数的个数t；（4）解算法方程，求出参数，计算平差值；（5）由误差方程计算V，求出观测量平差值；（6）评定精度．3条件平差与间接平差的比较迄今为止，我们学过多种平差方法，不同的平差方法对应着形式各异的函数模型，在所有的这些函数模型中，待求的未知数都是多余其方程个数，而且他们的系数矩阵的秩都等于其增广矩阵的秩．因此，他们都是具有无穷多组解的相容方程组．为了解决解的不唯一性问题，我们使用的是最小二乘法原理。对于同一个平差问题而言，无论采用何种函数模型，其最后的评查结果都是相同的．在这里对条件平差和间接平差这两种平差方法进行简单的异同点分析．假设现有一水准网，它有n个观测值，必要观测元素为t个，多余观测数为r个，n=r+t．3.1联系条件平差的法方程阶数等于多余观测数r，而间接平差的法方程阶数等于必要观测数t第11页（共11页）

10．这两种平差方法的法方程阶数之和总是等于观测值个数．因此，当一平差问题r与t相差较大，且rt时，则采用间接平差法，这样可以只需解较小的法方程．对于同一个平差问题，不论是采用何种函数模型，在最小二乘法准则的约束下，其最后结果都是相同的，因此，采用条件平差得到的观测值改正数与间接平差结果相等．3.2区别条件平差的条件方程式是由观测值组成的，在进行平差的时候，我们对现有的条件进行分析，寻找观测值之间的关系，列出r=n-t个条件方程式．当平差计算结束后，我们得到的改正数是观测值的改正数，往往这时候还需要进一步的计算来得到我们想要的点位信息，在求解这些信息的精度时，需要进一步列出权函数式．间接平差则不同，它选取t个独立的参数，将每一个观测量表达成这t个参数的函数，这样就列出n个条件方程式，在最小二乘法原理下，求出参数，这些参数就是我们进行平差所需要得到的结果，因此可以直接得到我们所需的结果．4结论不同的平差方法都对应着形式各异的函数模型，在所有在这些函数模型中，待求的未知数都是多与其方程的个数，而且它们的系数矩阵的秩都等于其增广矩阵的秩，因此，它们都是具有无穷多组解的相容方程组．为了解决解的不唯一性问题，采用了最小二乘原理．对同一个平差问题而言，无论采用何种函数模型，其最后平差结果（包括平差值及精度）都是相同的．各种不同的平差方法都有其各自的优点缺点，因此我们不能断言哪一种是最好的方法．但就实际应用来说，根据不同的平差问题，还是存在平差方法的选择，当前较多采用的是间接平差法，原因在于：（1）间接平差的误差方程，其形式统一，规律性较强，便于计算机程序设计．（2）所选的参数往往就是平差后所需的最后成果（包括精度），例如水准网中选第11页（共11页）

11待定高程，三角网中选定的坐标等作为参数，这是间接平差的最大优点．当然条件平差也有其应有的作用．在作业中应根据不同的问题采用合适的平差方法，这样技能方便的求出结果也能避免一些不必要的麻烦．参考文献[1]衡祥升．四种测量平差方法函数模型的比较[J]．黄河水利教育，1996(6):31．[2]戴深恩，高惠如．导线网不同平差方法的比较[J]．安徽建筑，2008(1):15-16．[3]曾安敏，张丽萍．多种序贯平差方法的比较[J]．大地测量与地球动力学，2007(2):8-9．[4]万剑华，高希余．工程控制网一、二维平差与三维平差之比较[J]．江苏测绘，1994(5):3．[5]张秋波．基于精测网测量数据平差模式的比较[J]，铁道勘察，2011(3):6．[6]王旭华．条件方程与误差方程系数矩阵之间的关系[J]，1988(2):9.[7]於宗俦．测量平差基础[M]，1983:12-17.[8]游为，范东明，付淑娟．最短独立闭合环与附合路线的快速搜索方法[J]，测绘科学，2009(4):22.[9]石丽梅，陈宜金，宫慧，等．导线网间接平差中点的近似坐标算法设计及实现[J]．测绘工程，2007(6):8-9.[10]陈宙．矿井通风阻力测定平差分析及系统优化技术的研究[D]．中南大学，2007:26-29.StudyOnTheInterrelationOfConditionAdjustmentAndIndirectAdjustmentAbstract：Conditionadjustmentandindirectadjustmentisthetwocornerstonesofsurveyingadjustment，othertheories，suchastheattachedquestionofthepoorconditionadjustmentandaccompaniedbyindirectflatisdevelopedonthebasisofthis．Invarious第11页（共11页）

12literatureonthemeasurementadjustmentandtutorial，bothasaseparatemethodisputforward，therefore，tostudyandsolvetheconditionadjustmentandindirectadjustmentoftherelationshipbetween，toimproveandpromotethedevelopmentofthetheoryofmeasuringadjustmenthassignificanttheoreticalvalue．Totheproblem，thesameadjustmentifatthesametimecanbesolvedbyusingtheabovetwomethodsofadjustment，theamountofvariousobservedvaluescorrectnumber，observationofareviewofthedifferenceandtheunknownparametersofthemostprobablevaluesshouldbethesame，atthesametime，thecoefficientmatrixandconstantvectoralsohascertaininnerlink．Keywords：Conditionadjustment；indirectadjustment；theory；Themostprobablevalue；Internalconnectinglink．第11页（共11页）