数学小课题研究教学案例以单元为单位的研究课

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数学小课题研究教学案例以单元为单位的研究课在我们的数学教材中，蕴藏着大量的小课题研究内容。根据单元内容的特点，以单元为研究单位，整体把握，选定切入点巧妙地将单元分解成几个小课题，并串联起来，采用合适的方法进行研究。一位老师采用这种方法执教了《观察物体》这一单元。学生在日常生活中已经积累了丰富的观察物体的感性经验。这位老师将这一单元巧妙地用两个研究课题串联起来。第一课时上课前布置的研究任务是：研究长方体、正方体、圆柱、球，每两个物体分别从上面、前面、左面看到的形状，并记录下来，然后出一个题目在课堂上让其他同学做。第二课时上课前布置的研究任务是：从3个小方块开始直到6个小方块，最多分成2堆，根据物体摆放的情况，研究从三个方向看到的形状，也要出一个题目在课堂上让其他同学做。由于学生在课下进行了深入地研究，既有了丰富的感性认识，又有了深刻的理性思考，在课堂上能有效的进行交流。通过交流和老师的梳理，学生对这一部分知识内容会有更深入地理解，空间观念也得到进一步的发展。还有一位老师在上《因数和倍数》时，改变了教材内容的先后顺序从研究“最小公倍数”

1入手，学生在研究中自然而然地遇到其它问题，由这些问题形成了新的研究课题，在研究这些新课题的过程中又会产生新的问题，这样，教师就巧妙地将整个单元分割成了几个研究小课题，形成了课题串，所有的课题研究完了，这一单元的教学也就完成了。以单元为单位整体把握，要根据研究的需要，需要确定哪些课适合采用小课题研究，哪些不适合采用小课题研究。如二年级下册《四边形》这一单元一般是这样安排教学的：四边形、平行四边形、周长、长方形和正方形的周长、估计各1课时，最后还需要1课时进行练习巩固。有位老师大胆调整了教学内容，将四边形与平行四边形安排在一课时完成，采用课上师生共同研究的办法；将周长、长方形和正方形的周长安排在一课时完成，采用课下学生自主研究、课堂汇报的办法；对于估计，采用课下训练，课上检测的办法。一位老师在教学五年级上册《统计与可能性》这一单元时，采用小课题研究的形式上了第一课时《可能性》，第二课时是《中位数》，不适合小课题研究，就上了一节常规课。由于学生在课下进行了深入的研究，并在自己小组内通过讨论交流达成共识，老师也对学生的研究情况有了基本的了解。这样就节省了学生在课堂上自主探究的时间，老师根据学生的情况在课堂上就能采取有针对性的教学措施，从而减少课堂教学时间，提高了教学效率。例如《观察物体》这一单元，教师用书的建议是用3

2课时探索新知，由于学生课前进行了观察研究，课堂上以讨论、练习为主，这位老师仅用了2课时就完成了这个单元的教学任务，余下1课时安排了学生练习、测评；《统计与可能性》这个单元，老师请学生课前通过抛硬币实验、搜集数学家进行相关实验的资料等研究正反面出现可能性的大小，由于把课上研究的内容放到课前研究，课时量由4课时减少到2课时。并且在第二课时余下的20分钟进行了检测，学生掌握得很好，确实起到了提高教学效率的目的。（24）“统计与可能性”单元教学执教日照市新营小学程敏评析日照市教学研究室李军一、单元整体安排本单元的主要有两个方面的学习内容：一是理解等可能性事件以及游戏规则的公平性，会求简单事件发生的可能性的大小；二是理解中位数的意义，会求中位数，在统计分析中能根据实际情况选择中位数或平均数来描述数据的特征。 

3根据本单元的内容特点，第一部分内容学生需要进行大量的实验，搜集大量的资料等。可以采用小课题研究的办法，提前3天让学生在课下进行研究，教师跟踪指导；课堂上汇报交流研究成果、拓展练习，用1课时完成。第二部分内容，由于学生从未接触过中位数这个概念，不适合学生课下进行研究，因此应采用常规教学的办法，然后利用第二课时后15分钟的时间对本单元所学内容进行检测。这样4课时的内容仅用2课时就可以完成了。第一课时可能性二、课题的确定等可能性事件是概率论中研究得最早，在社会生活中又广泛存在的一种随机现象，它满足以下两个条件：(1)试验的全部可能结果只有有限个，比如n个。(2)每个试验结果发生的可能性是相等的，都是1/n。等可能性事件在概率论发展初期即被人们所关注和研究。教师在教学这一部分内容时，最明显的感觉是时间不够用，听过这样的几节课，设计的体验活动，学生们用时过长，后面的研究反而淡化了。我想采用小课题研究的办法，因为试验比较简单，可以指导学生课下去完成，根据研究侧重点的不同，将学生划分成几个研究小组。课堂上同学们将自己的研究成果展示出来，大家可以进行充分地辨析，真理就会越辨越明，数学知识也会理解得更深刻、更透彻。

4二、课题的布置与指导我布置的研究任务是：一盒糖果，应该谁获得呢？第一个方法，抛硬币，如果结果正面向上，男同学将获得糖果，如果结果反面向上，女同学将获得糖果；第二个方法，掷骰子，骰子的六个面上分别写着1—6六个数字，如果结果正面朝上的数大于3，女生将获得糖果，如果结果正面朝上的数小于3，男生将获得糖果；你觉得哪种方法公平？能说明你的理由么？我提前3天布置给全体学生。由于这个班小课题研究开展得比较扎实，第二天学生们就把研究报告写好交给了我。他们得出的研究成果很多，有的进行了采用多次实验的方法，有的采用思考论证的方法，还有的采用上网搜集资料的方法。通过这些研究报告可以看出，有的思考得比较深入，有的还不太成熟；但他们很多的想法比较接近，根据研究的具体情况，我把研究方法相近的同学划分在相同的研究小组内，全班共分成了三个不同的研究小组。一组：进行了几次实验后又通过思考就解决了问题。硬币有两个面，所以正、反面出现的机会相等，也就是男、女生获胜机会均等，第一种方法公平。学生们发现掷骰子的六个面大于3的数明显多于少于3的数，所以女生获胜的机会大，因此第二种方法不公平。

5二组：（人数最多）他们进行了大量的抛硬币实验、掷骰子实验。在此基础上我指导他们将实验数据记录在一份统计表中，并将实验次数累加起来记录在表中，能发现什么？通过搜集资料查看，数学家们有没有进行过类似的实验？你有什么新的收获？三组：个别学生采用分数表示可能性的大小的办法，如何计算简单事件发生的可能性的大小呢，请他们课下多举几个例子继续研究。孩子们的研究潜力是巨大的，研究在逐步深入。在我的指导下学生又有了许多令人欣喜的发现。二组学生发现，试验次数越多，正面和反面出现的次数与抛硬币的总次数的比值都越来越接近1/2。他们发现历史上许多数学家都进行过大量的抛硬币实验，数学家科学严谨的态度和实事求是的精神也打动了每个孩子。三组学生能够用分数表示出简单的等可能事件中可能性的大小。由于概率知识比较抽象，学生们可能总结不出什么公式，但他们在研究中所发现的方法也是非常有价值的。三、课堂教学实录（一）创设情境，回顾研究小课题师：前几天老师布置给大家一个研究任务（将研究任务用屏幕显示出来），实际上涉及到可能性的问题。（板书：可能性）【评析

6：课前几天，老师已经把这一研究课题向同学们提了出来，并指导着学生进行了研究，对学生的研究情况了如指掌。在这里提出来，回应提出的课题，激发学生的热情。】（二）课上展示成果，汇报交流师：同学们课下进行了研究，并获得初步的成果，现在小组内先讨论一下，然后展示给大家。（小组内讨论后）哪一小组汇报你们的研究成果？（第一小组同学上来汇报）生1：我们小组经过认真思考认为，抛硬币的方法公平，掷骰子不公平。生2：（边讲边用硬币演示）硬币有两个面，抛硬币时既可能出现正面，也可能出现反面，不能确定，但由于正反两个面面积相等，我们觉得正面和反面出现的机率一样，也就是出现的可能性相等，都是1/2。（生1补充：也可以说是50％）所以是公平的。生3：（边讲边用骰子演示）掷骰子时由于骰子有六个面，分别是1－6，每个面出现的可能性大小相等。但大于3的数有3个，而小于3的数只有2个，所以女生获胜的可能性大，所以这种方法不公平。生4：我们得出的结论是，只要出现的可能性相等就公平，出现的可能性不相等就不公平。大家对我们的研究有什么看法？生：我认为很有道理，我也赞成你们的观点。

7师：非常善于思考的一组同学，还有采用其它方法研究的吗？【评析：这一组学生是在课下通过反复推测和交流得出的结论，这种推测很有道理，能使人信服，而且初步了解到可能性的大小可以用分数来表示。可以看出他们对自己的研究成果充满了信心。】（第二小组同学展示并汇报）生A：我们小组通过实验得出结论：抛硬币的方法公平。我们小组七人，每人在家都进行了抛硬币实验，下面是我们抛硬币实验的数据表：实验人/次数总次数正面向上反面向上李一晓624张林1266宋暖402317郭子铭532627樊怡麟532726陈东琪803941邵健飞1005050总计344173171我们发现：抛硬币正面和反面抛得向上的次数很接近，甚至相等。所以我们认为抛硬币公平。

8生B：我还上网搜集到一些数学家也进行过抛硬币实验。下面是他们的实验数据：试验者抛硬币次数正面朝上次数反面朝上次数正面占总次数德·摩根4092204820440.5蒲丰4040204819920.5费勒10000497950210.5皮尔逊2400012012119880.5我们计算了正面朝上次数占总次数的多少，除得的结果保留一位小数都是0.5。可以看出正面朝上的次数占总次数的一半，那么反面朝上的次数也占一半。我们还发现随着实验次数的增多，正面朝上占总数的比和反面朝上占总数的比都越来越接近1/2。因此，抛硬币的方法是公平的。生3：我们还进行了掷骰子实验，一共掷了40次。其中大于3的有27次，而小于3的有13次。女生获胜的机率比男生大，所以这种方法不公平。大家对我们小组的研究有什么疑问吗？（学生纷纷质疑）生：我觉得实验也不是绝对的，我掷了6次骰子，结果大于3的只有两次，而小于3的有4次，和你们的实验正好相反，这怎么解释？

9研究成员：你掷骰子的次数太少不能说明问题。实验次数大量增加时，实验结果应该越来越接近于准确结果。数学家的实验就是很好的证明。生：可是你们试验中宋暖抛了40次，怎么抛得正面和反面向上的次数相差很大，足足差了6次，皮尔逊抛了两万多次，正面朝上和反面朝上的次数相差达到24次呢？你们能解释一下吗？研究成员：当然我们也不排除实验存在着偶然性，但皮尔逊实验总次数特别多，正面朝上的次数与反面朝上次数才差24次，我们觉得不多，他们占总次数的比值都十分接近1/2。师：这里的1/2是无数次重复试验下才能出现的结果，这是一个理论上的结果，实验是不可能无数次的，但大量实验已经证明，随着试验次数的增加，越来越接近于这个结果。是这个意思吧！（同学们都点头表示同意）生：你们小组有两人都进行了53次实验，虽然正反面出现的次数较接近，但总不可能相等，不利于发现实验结果。我建议你们进行双数次实验。小组成员：我们接受你的建议。师：这些同学像数学家那样认真地进行实验，真了不起。还有哪一小组补充？【评析

10：这一组学生是通过实验来说明问题的，当然仅仅凭有限的数据是不能说明问题的，可贵的是学生除了自己亲身实验外，还通过查找资料，了解到数学家做过大量的实验，认识到随着实验次数的不断加大，实验数据的显示结果和自己的推测是一致的。通过学生之间的辨析以及老师恰当的点拨，学生对有限和无限，实验数据的偶然性和理论数据的必然性有了深刻的理解，也对可能性大小的实质有了根本的认识。学生那种实事求是，严谨细致，勇于探索的精神令人叹服。由于做好了充分的准备，面对质疑，能够有理有据的进行说明。其他小组的同学敢于提出并善于提出尖锐的问题，也反映了他们思维的深刻和敏捷。真理不辨不明，通过辨析，事情的真假、曲直自然明朗了。】（第三小组汇报）生a：我们也赞成以上两个小组的意见。抛硬币只会出现两种可能：正面和反面。通过计算正面出现的可能性，可以用1/2表示，反面出现的可能性也可以用1/2表示。正反面出现的可能性相等，所以是公平的。（教师板书出1/2）生b：掷骰子一共出现6种可能，1－6个数字。大于3的有4、5、6，正面朝上的可能性是3/6；小于3的有1和2，正面朝上的可能性是2/6；3/6大于2/6，所以掷骰子的游戏规则是不公平的。（教师板书出3/6、2/6）如果把男生获胜的规则改成掷得小于或等于3的数获胜，就公平了。生c

11：我们还研究了如何用分数表示可能性的大小。比如有3个球，一个白球和两个黄球，任意摸一个，一共出现三种可能。白球被摸到的可能性就是1/3，黄球被摸到的可能性是多大？你知道吗？（生答2/3）总之，用分数表示可能性的大小，首先弄清一共出现多少种可能，其中的一种可能占几分之一，几种可能就占几分之几。生d：我们出个题考考大家，口袋中装10张卡片，随意摸一张，每张被抽到的可能性是多少？（生答：1/10）其中红桃4张，黑桃5张，方片1张，红桃被摸到的可能性是多少？（生答：4/10）答对了。师：你们介绍的计算方法真不错。我补充一点：在找出游戏的所有可能结果后，要注意每种结果出现的可能性都相等，才能用分数表示。大家赞同吗？大家既然都认为抛硬币的规则公平，我们找一名同学用硬币抛一抛？我任意提问一名同学，每个人被提问到的可能性是多少？（1/40）【评析

12：对于可能性大小的计算，学生是很难理解的。然而在这里，学生为了用定量来说明定性，把如何计算可能性的大小作为一个子课题进行研究。通过研究，他们认识到了可能性大小的实质，并掌握了求可能性大小的方法。用可能性的大小，用具体的数据来说明游戏规则的公平与否，就显得非常严谨，令人信服。他们小组成了这方面的专家，通过出示一些练习题，让其他学生做，其他学生也就掌握了计算可能性大小的方法了。这既体现了因材施教，突出个性化解决问题的策略，也使得学生之间取长补短，互帮互学，共同提高。】（随机叫了一名男同学，又请一名女同学监督。抛硬币的结果是，硬币反面向上。因此，糖归女生。男生坦然接收事实。）师：掷骰子虽然对于男生是不公平的，但只掷一次的话，男生一定会输吗？（生答：不一定）因为实验本身是不确定的。只是说男生输的可能性很大。教师：同学们通过不同的方法进行了研究。其实可能性就是数学上的概率，概率在生活中应用很广泛，如降水概率、产品质量合格概率等。下面我们就应用同学们研究得到的知识去解决有关的数学问题。【评析：通过教师这样的设问，学生更加明确了随机现象的确切含义。可能性大未必一定发生，可能性小也未必一定不发生。学生对于可能性的认识程度是不一样的，有的快一些，有的慢一些，有的深刻一些，有的肤浅一些，老师要照顾到所有的学生。而且，只有通过老师的梳理、提升、点拨，真知才能在学生的头脑中确定下来。】（三）拓展应用。（多媒体呈现多层次练习）1、出示判断。师：请你作小裁判，并说明理由。学生判断并分析原因。

132、出示课本练习二十第2题转盘练习和101页例2击鼓传花游戏用合适的分数表示。（学生独立完成，汇报交流）3、应用：小明和小刚将5、6、7这三张数字卡片背面朝上任意摆放在桌子上，任选其中两张组成两位数。（1）一共能组成多少个不同的两位数？（2）如果组成的两位数是单数，小明赢；如果组成的两位数是双数，小刚赢。这个游戏规则公平吗？为什么？（学生先独立完成）生1：一共组成6个不同的两位数，其中单数有4个，双数有2个。小明获胜的可能性用分数表示是4/6，小刚获胜的可能性是2/6。通过比较可以看出，小明获胜的可能性大，所以这个游戏规则不公平。生2：我也认为这个游戏规则对小刚不利，游戏不公平。但我判断的方法不一样。判断某个数是单数还是双数主要看这个数的个位，如果个位上的数字是单数，那么这个数就是单数；相反，这个数是双数。5，6，7这3个数字，5和7都是单数，只有6是双数，所以当5或7放在个位时，组成的两位数就是单数，只有当6放在个位时，组成的两位数才是双数，因而摆出的两位数是单数的可能性是2/3，是双数的可能性是1/3。师：

14同学们的方法都很正确，特别是第二种方法十分巧妙，也很简便。【评析：练习的设计很有层次性。既有基础性的，也有提高性、拓展性的。通过练习，可以看到学生对这部分知识内容的掌握是不错的。对第3题的不同解答方法，更显现出学生思维层次的不同。生1借助具体操作，完成了题目的解答。而生2完全抛弃了具体操作，只通过逻辑推理就得出了结论，可以看出学生闪现出的智慧火花和巨大的潜能。如果老师继续出一些类似的题目，学生研究的热情会更高，研究的效果会更好。】4、设计活动方案：要在一个口袋里装入若干个形状与大小完全相同的三种不同颜色的球，使得从口袋中摸出一个红球的可能性为1/6，应该怎么办？师：同学们，在小组内讨论设计方法，用彩笔画在卡纸上。每种方案应标清序号。（学生自己设计，在小组内汇总，并讨论设计的诀窍。）第六小组：我们小组一共设计了三种方案，（在展台上展示出设计的方案）我们发现红球只要1个，其它两种颜色的球有5个就行。第四小组：我们没有进行具体的设计，通过研究，我们认为，只要口袋中一共装6个球，并且只装1个红球就可以保证，从口袋中摸出一个红球的可能性为1/6。师：很好！

15【评析：根据要求设计游戏方案与前面的思考过程是相反的，但学生没有被难住。可以看出学生的思维是非常清晰的。有的小组设计出多种方案，通过多种方案总结出了共同的规律，有的小组经过思考就认识到了这个规律。学生的求异思维和求同思维都得到了发展。】（四）总结提升师：同学们在自己研究的基础上，又从他人和课堂上学到了什么呢？生：我学会了判断游戏规则是否公平的方法，通过用分数表示可能性大小的方法比较简便，我知道这就是概率知识。生：我比较佩服二组，大量的实验验证了他们的猜想是对的。看出他们有认真、一丝不苟的科学实验精神。师：同学们，这节课表现得很好，下课！【评析：通过总结，学生对本节课的学习内容进行了回顾整理，完成由薄到厚，由厚到薄的转变。同时，体验到了数学学习带来的情感、态度、价值观方面的收获。】四、课后研究及成果展示交流感兴趣的同学继续研究：用所学到的知识去观察“街边的游戏”是否公平？引导学生用学到的数学知识去解释生活现象，使课堂延伸到社会。将课上汇报情况整理成研究报告，张贴在评比栏里，继续交流研究成果。

16五、教学反思通过学生上课前研究的层层深入，课堂上实实在在的汇报交流，可以看出，他们已经成为学习的主人。看似平淡无奇的课堂，学生的思维暗流在涌动。学生的质疑与师生的互动可以说是比较成功的。我对学生的课下指导点到为止，绝不包办代替；在课堂上，我不仅是一位听众，更是一位引导者。对于重点和难点，我结合学生的研究，进行深入浅出的讲解、梳理和点拨，巧妙地一一予以解决。当一个学生回答判断一个数是单数还是双数时，他通过逻辑推理就得出了结论，这种方法十分巧妙，也很简便，如果我继续出一些类似的题目，学生研究的热情会更高，研究的效果会更好。第二课时中位数六、课堂教学实录（一）创设情境，引发问题师：同学们，我们先来看一则生活小实例，老李是一位经验丰富的司机师傅，他现在甲公司上班，每月工资1200元，他想应聘到工资高的公司，一次，他意外收到乙公司给他的招聘广告：我公司待遇优厚，职工的月平均工资超过1500

17元，比甲公司高，欢迎您加入我公司。老李一看工资不低，决定辞掉甲公司的工作，去乙公司应聘。他多了个心眼，将甲、乙公司职工工资情况分别统计如下表。请你帮老李分析，帮助他做出科学合理的选择，是去还是留？同学们在小组内讨论交流一下。甲公司职工工资情况统计表职工经理副经理职员临时工人数12152月工资400020001200600乙公司职工工资情况统计表职工经理副经理职员临时工人数13233月工资650040001100500（学生在小组内积极讨论，有的在用计算器计算；有的用笔算；还有的在指指点点进行比较。教师在各组间巡视并参与讨论。）【评析：创设的问题情境很现实，很有挑战性，数学味浓，能激起学生积极、有效地从数学的角度认真思考。】师：讨论好了吗？哪个小组汇报？组1代表：我们小组认为老李应该留在甲公司，因为老李在甲公司是一位职员，每月工资1200元，而到乙公司干职员一个月才1100元，工资实际降低了。组2

18代表：我们小组认为乙公司招聘广告有欺诈嫌疑，我们用计算器计算乙公司平均工资1510元，甲公司平均工资1360元，的确乙公司平均工资高一些，但由于经理和副经理工资过高，人为抬高了平均工资。乙公司一般职工工资才1100元，1500元并不能代表这个公司实际多数人的工资情况，所以我们认为老李应该留下。师：也就是说平均数1500元不能反应乙公司职工的一般水平，你们觉得用哪个数能代表乙公司职工的一般水平？生：1100元。师：1100是中位数，是乙公司工资统计表中这组数据中间的那个数。请大家一定要记住。（板书课题：中位数）【评析：通过学生的课上研究，学生得出结论：老李应该留在甲公司，乙公司的广告具有欺骗性，这是表面的。深层次的结论是：平均数有时会误导。这样，中位数的引入就显得非常必要了。程老师在这里没有过多地讲解中位数的意义，只是让学生牢牢记住。因为中位数是一个抽象的数学概念，这个概念学生是不会研究、探索出来的。程老师在这个必要的时候，勇敢地站了出来，勇敢地进行了讲授。】（二）具体探究，获取新知1、出示例4师：五年级（1）班举行掷沙包比赛，下面是第3小组同学掷沙包情况统计表，你觉得应该用什么数代表这组的一般水平？自己思考。

19（学生或认真计算或积极思考）师：谁来说一说？生1：我用计算器计算出平均数是27.7，我想用它代表这个组同学掷沙包的一般水平。生2：我反对，这个组有两个同学掷沙包掷得很远，这组的平均成绩很明显被抬高了，不能代表一般水平。我认为应该用这七个数中间的数24.7表示这个组同学掷沙包的一般水平。师：24.7就是这组数据的中位数。用它代表这个组同学掷沙包的一般水平，合适吗？还有谁来谈谈自己的想法？生：我也认为应该用中位数24.7合适，比24.7成绩高的有三个同学，比24.7低的也有三个同学，24.7是处于最中间的数，确实可以代表这个组的一般水平。这里用平均数不合适，27.7比大多数同学掷沙包的成绩都高。师：（问生1）现在你觉得用平均数和中位数哪个更能代表这一组的一般成绩？生1：现在我觉得用中位数更合适，平均数27.7确实比多数同学的成绩都高，不能代表这个组的一般水平。师：怎样从一组数据中找到中位数呢？生：我发现例4第三小组掷沙包成绩是按从高到低排列的，所以要先把数按大小排列。这样如果七个数中最中间的数就是中位数，如果是8

20个数，最中间两个加起来，得到的结果再除以2，就是它们的中位数。师：非常好！下面老师再在三组的成绩中增加一位同学的成绩：李华掷沙包的距离是23米，请你计算一下中位数是多少。生1：我先找出最中间的两个数：24.7和24.6，列式（24.7+24.6）÷2，计算出中位数是24.65。生2：我先找出最中间的两个数：24.7和24.6，我觉得他的计算有点麻烦，我直接用（0.7+0.6）÷2＝0.65，24+0.65＝24.65，所以中位数是24.65。师：平均数虽然能够代表一组数据的总体水平，但当一组数中有过高或过低的数据时，就不能代表一般水平，就要用到我们今天学习的中位数。在计算中位数时，如果数据个数为单数，最中间的就是中位数，如果数据个数是双数，就取最中间2个数据的平均值。可以选择你认为简便的方法进行计算。师：中位数在生活中经常应用，谁来举个例子？生1：可以用中位数表示全班同学数学成绩的一般水平。有时，会出现几个成绩特别高或者有不及格的现象，用平均成绩就不能代表一般水平。师：举的例子不错。生2：全班同学的身高、体重，用中位数可以代表一般水平。

21生3：可以调查小区住户居住面积，看看居民住的面积一般有多大。师：看来中位数的应用还挺广泛，下面我们应用学到的知识来解决问题。【评析：通过一些实例，让学生学会自己判断什么时候用中位数，什么时候用平均数，感受它们不同的特点和作用。并且知道数据为单数和双数时中位数不同的求法。学生都在用心思考，都在努力表现。可以看到思维的不断碰撞，智慧火花的不断闪现。】（三）、巩固应用。师：下面是五（2）班7名男生的跳远成绩如下表姓名李志强陈文王文贤赵军张鹏刘卫华于国庆成绩/m3.062.902.743.522.832.892.78（1）把这组数据从小到大排列起来。（2）分别求出这组数据的平均数和中位数。（3）用哪个数代表这组数据的一般水平更合适？（4）如果2.89米及以上为及格，有多少名同学及格了，超过半数了吗？

22（5）如果再增加一位同学杨东的成绩2.94米，这组数据的中位数是多少？师：以前的4个小问题。你觉得把数据按从小到大排列起来，对中位数、平均数有什么影响？生：按一定顺序将一组数据排列起来，可以方便地找出中位数，对平均数和中位数的计算没有影响。师：同学们在练习本上做一做。（学生一边思考，一边计算。教师及时巡视，发现问题，个别指导。）（学生汇报交流。）生：第（3）小题，用中位数2.89代表这一组同学跳远的一般水平比较合适。因为这7人中有1人成绩过高，用平均数不合适。生：第（4）小题，如果2.89米及以上为及格，有4人及格了，超过半数。可以看出2.89确实代表这7个人跳远成绩的一般水平。师：继续完成第（5）小题。请一名同学汇报。生：增加一名同学的成绩，我又重新按从大到小的顺序进行了排列，由于是八个数据，所以计算中位数列式是：（2.90+2.89）÷2=2.895。这组数据的中位数是2.895。四、总结本节课知识，复习本单元重点知识。师：本节课你学习了哪些知识？

23生1：学习了中位数，我知道中位数能代表一组数据的一般水平。还知道如何计算中位数。生2：我学习了中位数以后，我觉得平均数和中位数用处都很大，但当一组数据中有偏大或偏小的数时，用中位数更能代表一般水平。师：回顾本单元知识，你有哪些收获？生：我学会了用分数表示可能性大小的方法，并且会判断游戏规则是否公平；今天我又学习了中位数，并能从一组数中计算出它的中位数。【评析：通过练习，进一步巩固本节课所学内容。通过回顾整理，对本节课本单元所学知识有了更进一步的理解，做到了融会贯通。】五、单元检测（大约15分钟）师：通过这一单元的学习，同学们的收获真不小。下面我们进行自我检测，看同学们掌握的怎样。（学生认真投入的进行自我检测。教师巡视发现问题。）（学生完成后，教师抽查3份，集体订正。）（3位同学和全班其他同学出错率都很低，只有最后一题出错较多。）师：踢毽子这组数据，有的同学算出的中位数是49.5，有的同学取了它的近似数是50。你们觉得哪一个正确？生：我认为50

24是正确的，因为不可能踢一半，所以应四舍五入取整数。师：同学们同意吗？（同意）看来在计算中位数时，还要紧密结合生活实际。三位同学对自己的自我检测如何评价？（试卷最后设计了自我评价）生1：我觉得尚须努力吧，我只进行了单纯的计算，没有考虑到生活实际。生2、3：也是尚须努力，计算时我还需要更细心些。师：我对大家这单元的检测结果比较满意。同学们不仅收获了知识，更重要的掌握了许多数学方法。下课！【评析：通过检测，老师可以了解到学生对本单元学习内容的掌握情况。学生也可以了解到自己的学习掌握情况。学生测评时，课堂上一片沉寂。只听见学生刷刷的答题声和看不见的学生急速、有效的智力活动。虽然没有哗哗的掌声，虽然没有又蹦又跳的热闹场面，虽然没有精彩的动画、美妙的音乐。但能够感觉到学生表面风平浪静下涌动的激荡澎湃的思维暗流。】七、教学反思我在设计这节课时选取学生身边的素材，创设的问题情境很现实，很有挑战性，学生们在积极有效的研究活动中，认识了中位数。通过辨析能够根据具体情况恰当使用中位数或平均数。通过15

25分钟的测评可以看出，学生对本单元知识内容掌握得不错。他们不仅能灵活应用知识，还能联系生活实际。可见，小课题研究虽然减少了课时量，却丝毫没有减弱学生的数学能力。】【总评：这个单元的教学总的来说有以下几个特点。1、课时数减少。按照教师用书的参考建议，应该用4课时。在这里只用了2课时，还包括单元检测在内。确实达到了提高教学效率的目的。2、灵活选用教学方法。第一课时采用数学小课题研究的方法。第二课时，不适合用小课题研究的办法，便采用常规教学的办法。3、在注重培养学生数学研究能力、数学思辨能力、数学精神的同时，没有减少双基教学的份量。单元测评相当规范、认真，学生的学习成绩也没有问题。4、第一课时采用小课题研究的办法，扩大了学生学习的时间和空间，使学生既可以反复地思考，也可以用大量的时间做实验，还能有充裕的时间去查阅资料，有充裕的时间反复探讨、交流。这就避免了常规教学中，为了赶进度，为了照顾大多数学生，使得学生的探索研究浅尝辄止，没有实效。

265、进行小课题研究并非让学生提前预习课本知识。而是通过一个研究课题将课本上需要完成的教学任务涵盖在里面。例如让学生课前研究“哪一种方法公平？”这样一个课题，也就把体验等可能事件，计算可能性的大小，感受游戏规则的公平与不公平等教学任务完成了。6、数学小课题研究确实解放了学生，真正体现了学生的主体地位，充分发扬民主，不断开发出学生的潜能，也真正做到因材施教，张扬了学生的个性。】（25）《约数和倍数》单元教学执教日照市新营小学于善秀评析日照市新营小学程敏一、单元整体安排《约数和倍数》是人教版九年义务教育六年制小学数学第十册第三单元内容，教材里知识点出现的顺序是：整除—约数和倍数的意义—能被2、3、5整除的数的特征—质数—合数—互质数—分解质因数—最大公约数—

27最小公倍数等。我先从最小公倍数开始带领学生来研究学习这个单元。根据教师用书的建议，本单元需要十二课时完成，我计划用六个课时完成。我的想法是，打破课堂四十分钟的局限，把研究延伸到课下和课外，把以听、练为主的学习方式改为自己思考、与同学及家长共同研究，还可以利用网络、图书等查寻资料；课堂上，由学生汇报、展示小组的研究成果，然后全体同学再研究、共同进步。第一课时，在学生对本单元知识内容一点也没接触的情况下，尝试着直接学习本单元的最后一个知识内容—最小公倍数，这是一节常规课；第2—5课时为小课题研究课；第6课时带领学生进行知识的梳理和总结，是一节整理复习课。二、课题的确定本单元概念多，并且比较抽象。学生在学习这部分内容时，容易混淆概念，做题时很容易出错，学生的学习兴趣也不大。我班学生对数学小课题研究的热情很高，在课外小课题研究中解决了一些学生生活和学习中遇到的很多有趣的数学小问题。能不能把这种研究引入单元教学呢？我想是可以的。由本单元的最后部分开始，抛出一个生活中学生比较熟悉的问题，让学生去研究，在老师的帮助下，遇到什么问题，就去研究解决什么问题，一步一步深入下去，通过研究一个一个问题形成的一个一个小课题，等课题研究完了，本单元的所有知识内容也就学完了。这样不但大大调动了学生的学习积极性，还培养了学生的研究能力及合作学习能力。

28二、课题的布置与指导1第一课时，在学生一点也没接触本单元知识内容的情况下，尝试着直接学习本单元的最后一个知识点—最小公倍数。第二课时，研究约数、质数、合数和互质数。在研究这些问题时，学生会发现各个数与它的约数间有着很多的联系，本节课后让学生课下重点研究2、3、5的倍数的规律。这样就引入了第三课时。第三课时：研究能被2、3、5整除的数的特征。掌握了能被2、3、5整除的数的特征，对于很多的数，学生都能很快地判断出是否是合数。下节课让学生研究怎么能尽快地找出一个合数有几个因数呢？引出第四节课的学习。第四课时：在巩固上节课所学内容的基础上，研究分解质因数。分解质因数时既安排学生研究分解一个数的，也安排学生研究一组数（含两个数）如何分解。学生会发现两个数一起分解的时候也有一些有趣的现象，让学生带着问题回家继续深入研究，第二天上课时在小组内交流。然后引出第五课时要研究学习的内容—求最大公约数。其实课上到这儿。第五课时：重点研究如何又快又简便的求出两个数或者三个数的最大公约数。第六课时：指导学生整理本单元的知识内容，把学过的概念进行归纳整理，在自己的头脑中建立起本单元内容的知识体系。

29由于这一单元知识内容连贯性非常强，教学时间密度大，所以课下没有多少时间进行指导，我是这样解决这个问题的：首先分组时我就根据学生研究能力的强弱进行组合搭配，研究出成果的部分同学第二天迫不及待的就将自己的发现汇报给老师和小组成员，我表扬他们研究的积极性高，也对他们研究的内容进行初次指导。然后在课开始的前几分钟内，安排小组同学交流自己的研究发现，以强带弱。我再利用这一时间了解每个小组研究到了什么程度，做到心中有数，进行二次指导，再有针对性的选取有代表性的小组进行汇报展示。第一课时《最小公倍数》四、课堂教学实录1课前游戏。师：同学们我们来做拍手游戏，我拍几下，你们拍出我的二倍好吗？师，拍二下，拍三下，学生拍出二、三的二倍数。（游戏中让学生感知倍数）【评析：课前的互动游戏蕴藏着倍数的知识，既调动了学生的积极性，又使学生初步感知倍数。】（一）故事引入

30师：（多媒体演示）给大家讲一个故事，从前，在美丽的大海边，有一个小渔村，村里住着哥弟俩。有一年，他们给自己立了一个规矩，哥哥说：“我连续打3天鱼休息一天。”弟弟说：“我连续打5天鱼要休息一天。”有一位城里的朋友，在7月1日这天想：“我瞅个他们俩都在家休息的日子去看他们，哪天去好呢？”在这一个月里，他可以选哪些日子去呢？你们能帮他找出来吗？建议小组分工合作。（教师巡视指导，课件显示七月份日历。）小组汇报，老师随学生的汇报板书。哥的休息日：481216202428弟的休息日：612182430哥弟共同的休息日：1224师：哥的休息日正好全是哪个数的倍数？生：4师：弟的休息日正好全是哪个数的倍数？生：6师：哥弟共同的休息日正好是（4）和（6）公有的倍数，如果这位朋友想尽早地去看这哥俩，应该哪天去呢？（引出12是4和6的最小的公倍数。）随着学生的回答，老师完成板书。哥弟共同的休息日：1224（4和6公有的倍数）：1224…

31最小公倍数师：如果不只是在七月，可以继续下去的话，4和6的倍数，还有哪些呢？（学生依次答出，并且能说出有无限多个。）（课件显示公倍数、最小公倍数概念）【评析：由数学小故事引入，学生感受到公倍数在生活中的应用价值，借助生活实际学生很自然的理解了公倍数、最小公倍数的概念，又为进一步探索求两个数的最小公倍数的方法做了铺垫。】3、师：最小公倍数在生活的用处可大着呢，我们很有必要来研究一下怎么找两个数的最小公倍数。现在同学们随便找两个数，动动脑筋，看怎样能从中尽快找出他们的最小公倍数。考虑好自己的想法后再在组内交流。（学生交流，老师巡视指导）【评析：从特殊到一般，让学生研究怎样求任意两个数的最小公倍数，大家集思广益，在小组内把自己的想法进行交流。既培养了学生独立思考的习惯，又提高了小组合作学习的能力。】（二）交流辨析1、师：刚才我看到很多同学有自己的想法，讨论得很热烈。现在哪个小组愿意把你们的研究成果展示给大家？

322、一小组代表：我们受老师的启发，也把两个数的倍数按照一定的顺序各列了一些，从中能找出他们的最小公倍数。比如：6和9。6的倍数有：61218243036424854…9的倍数有：91827364554…（学生用彩笔边标边说）从中不难看出来，36是6和9的最小公倍数。大家认为我们这样做，对吗？生1：把倍数一一列举出来，找公倍数就非常清楚了。生2：方法是对的，只是有些麻烦。【评析：学生运用列举法，找出了两个数的公倍数和最小公倍数。虽然麻烦一些，但方法容易掌握，得到同伴认可的同学热情高涨，教师这里应该及时表扬，增进学生的自信心。】3、三小组代表：我们组研究发现，求4和6的最小公倍数，可以把4和6乘起来，然后再除以2，就得到这两个数的最小公倍数。象8和10，6和8等也是这样。生：是不是所有的数都可以这样呢？师：同学们在练习本上多写几组，看看，是不是任意两个数都可以采用这种方法。（不一会就有学生举手要求发言。）生：有的数是可以的，但有的不行，比如上面刚刚提到的6和9的最小公倍数，用这个方法，先相乘后除以2，是27，

3327并不是6和9的最小公倍数。生:我举个例子比如8和16乘起来是128，再除以2是64。64并不是他们的最小公倍数。生：我也发现这种方法行不通，比如最简单的1和2，如果用1×2÷2=1，很明显1不是他们的最小公倍数。（三组同学连连点头。）4、二小组代表：我们发现10和15，15和20等，相差5的数，把这两个数加起来再加上5的倍数就行。（有不少学生说行，有的说不行，老师说：呵呵，是的，这有局限性。）【评析：在求最小公倍数时，学生没有停留在一种办法上，而是继续探索更简便易行的方法。在宽松民主的课堂氛围中，学生的思维是异常活跃的，学生们大胆提出自己的想法。三组学生提出两个数相乘再除以2的方法后，一石激起千层浪，学生们纷纷质疑，学生的质疑也是有理有据的，在同学们列举的大量实例面前，三组同学也是心服口服。大家畅所欲言，积极主动地调动自己的知识储备去探索、验证、总结。】5、四小组代表：我们发现象3和5，5和7这样的数，直接乘起来的积就是这两个数的最小公倍数，同学们如果不信，可以试试，比如象3和5，他们乘起来的积是15，你们还能找到比15更小同时又是这两个数的公倍数的数吗？

34（这时又有一学生问：所有的数都可以这样乘吗？）（老师随手把这个学生的问题记在了黑板的一角。）6、五小组代表：我们也发现了一些特殊的数，象2和4，4和8，2和10等，这样成倍数关系的数，大的数就是这两个数的最小公倍数。我们试了很多，都行。同学们不妨也试试，如果你们能找出是倍数关系，但是较大的数不是这两个数的最小公倍数，我们组有奖品给你。（学生纷纷在练习本上写，过了一会，教室里安静下来，没有一人能举出这样的例子，所以这个方法在得到老师的肯定后，就被确定了下来。教师板书记录）【评析：教师尊重学生的主体地位，放手让学生任意写两个数，必然会出现多种情况。其中两种特殊的情况分别是：两个数是互质数和两个数成倍数关系，如何求它们的最小公倍数。学生能够发现方法，是意料之中的。但由于只是个别小组发现，教师没有急于评价，而是把它记录下来，作为子课题继续研究。】7、六小组同学：我们组举了一个例子，10和12，12223105210可以写成10=2×5，12可以写成12=2×2×3这样的话，我把10中的2和5，12中的2和3

35连乘起来，就是2×5×2×3=60，我们验证后确定，60是10和12的最小公倍数。有同学问：12中的两个2为什么只乘一个2呢？8、六组代表1：因为和10中的2重复了，所以不乘。（生又进一步问：为什么重复了就不乘了呢？这个组代表红了脸，答不上来了。）（老师也把这个问题记在第一个疑问的下面。）一位同学受启发又有了一个发现：我们把10和12分解122231052然后把分解得到的数乘起来再除以2，也能得到他们的最小公倍数：2×5×2×2×3÷2=60。（很多学生议论纷纷：除以2以后好象和上面的例子有点相似。）……（同学们得到了求最小公倍数的多种方法。经过师生共同研究确认，排除了一些，最后剩下三种方法，一是象3和5这类的数，用直接乘起来的方法找他们的最小公倍数，二是有倍数关系的，较大的数就是他们的最小公倍数。三是六组同学的方法，只是学生不明白为什么要把相同的2只乘一次就行。）

36【评析：学生的精彩尽在此处。学生的研究可能是稚嫩的，但他们正像科学家那样进行探索，主动探求如何来求两个数的最小公倍数。学生的思维火花碰撞在一起，有的达成共识，学生们尽情地享受着成功的快乐，有的又激发学生新的灵感。同学们各抒己见，将求最小公倍数的方法一一列举出来，教师这里的作用不容忽视，教师有意识地引导学生选择简便有效的方法，渗透了优化的思想。】（三）课堂练习1、课件显示一组判断题。公倍数就是几个数公有的倍数，它应当都能被这几个数除尽并且没有余数。最小公倍数有很多个。公倍数有无数个。2、阅读课本，然后处理一部分课本上的练习题。3、让学生说说生活中你遇到过的求最小公倍数的事例。【评析：教师设计的练习有一定的层次性和针对性。从本节课学生完成练习的情况看，虽然教师对本单元的内容进行了大幅度的调整，但学生对公倍数、最小公倍数等概念理解得还是比较好的。对于求最小公倍数的方法学生也有了初步的认识，得到了初步的方法，尽管没有得出通用的办法。】（四）布置研究课题

37老师指出写在黑板上的几个问题，这些问题大家课下或者回到家中继续研究。各小组先重点研究第一个问题：什么样的两个数可以用直接相乘的方法求它的最小公倍数？【评析：由于同学们在课堂上求最小公倍数时又遇到需要研究的子课题，教师以此为起点，布置研究课题，布置学生继续研究。】第二课时《约数、质数、合数和互质数》五、课题的布置与指导2第一课时后，我布置的研究课题“什么样的两个数可以用直接相乘的方法求得最小公倍数”，课下，学生们在研究中列举出多种情况，发现共有的因数只有1的两个数直接相乘才可以。当这节课学生把这个问题提出来后，我布置学生进一步分析、研究，什么样的两个数公因数只有1，怎样尽快看出这两个数是不是共有的因数只有1？这就引出了相关概念：整除、约数、质数和合数、互质数。由于时间比较紧，第一天布置的研究任务第二天就要学习，学生们只能利用课外活动时间与老师交流，有的第二天一大早就迫不及待的把自己的研究成果与老师、同伴讨论。上课伊始，我拿出几分钟的时间让小组内的同学讨论交流自己的研究成果，在巡视中我了解到，学生得出很多不同的方法。我对学生的汇报也心中有了数。

38六、课堂教学实录2（一）回顾研究问题，分组交流师：上节课张玉亮小组提出有的数可以用两个数直接相乘的方法求出这两个数的最小公倍数。课下，许多学生研究出了结论，认为共有的因数只有1的两个数直接相乘才是他们的最小公倍数，老师又布置各小组重点研究整理两个问题：一是两个数的因数中共有的因数只有1的两个数有哪几类？二是怎样尽快看出这两个数是不是共有的因数只有1？同学们先在小组内交流自己的研究成果。(二)小组汇报，阐明概念师：现在我们来听听各小组的发现。老师有个要求，别的组说过的，类似的意见就不要再说了。组代表1：我们列举了很多数，发现单数和单数，如，7和5、11和13、97和37共有的因数只有1。组代表2：我们也发现了一组说的这种情况，不过我们有补充，单数和单数，如，13和15、15和17、9和37。组代表3：单数和双数，如，4和9、8和9、10和9。师：第二组说的单数和单数，似乎和第一小组一样，而实际上有区别，你们发现他们的不一样了吗？生：第一组的单数是孤零零的……

39生：第二组的数中，15还有3和5能把它除开。9还有3能把它除开。师：第一组的数实际上也有数能把它除开的，不但除开，而且还没有余数。你们知道是哪个数吗？生：比如7能被1和7除开，5能被1和5除开，11也能被1和11除开……【评析：课上到这，整除的概念已经是呼之欲出了。学生列举出共有的因数只有1的三组数，虽然没有发现这三组数的具体特点，恰好为下一步深入研究提供了素材，教师在这里没有急于告诉学生答案，而是让学生充分地感知。】师：老师给你写下来7÷1=7，7÷7=1，也就是1和7都能去除7，得到的商是整数并且没有余数，这叫做整除。在这里，我们就说1能整除7，或者说7能被1整除。当然，也可以说7能整除7。在这里，被除数、除数和商都是整数，并且商没有余数，这才是整除。谁能再举几个整除的例子。生：6÷2=3，12÷4=3生：100÷10=10师：通过6÷2=3这个算式可以知道，6能被2整除。这个时候，我们也可以说，2是6的约数，6是2的倍数。在这里，我通过6÷2=3这个具体的算式说明了约数和倍数，如果要求用字母来说明的话，谁会？生：如果数a能被数b整除，a就叫做b的倍数，b

40就叫做a的约数。生：老师，除数不能为零。师：对，b≠0，那么，现在大家说7的约数有哪些？生：1、7。师：第一组的其它数呢？各有多少约数？有没有公有的约数？生：都是只有1和它本身。公有的约数只有1。师：有位同学说到一组列举的数有孤零零的感觉，比如3，如果我们把3扩大到它的二倍，变成6，扩大到三倍，变成9，是不是就不孤零零了呢？很多学生回答：是！师：3和6、9比较，3可以说是最本质的一个数，这样的数只有1和它本身两个约数，叫质数。如果除了1和它本身还有别的约数，这样的数叫合数。（课件显示，配合学生理解和巩固约数、质数和合数等概念。）师：三个小组提到的数，每两个数的公约数只有1，公约数只有1的两个数，有个特别的名字，叫互质数。明白什么是互质数吗？你还能再说几组互质数吗？组代表1：我们列举出的任意一组数，公约数只有1，现在我们知道他们都是互质数。学生挑选一组进行验证。

41生：11和13是互质数，13和15也是互质数……【评析：学生列举出大量的数作为例证，在研究的过程中已经对这些数之间的关系与区别有所了解。在学生汇报的过程中，老师适时点明概念：整除、约数和倍数、质数、合数、互质数。教师对概念的阐述语言准确到位，学生对这些知识从感性认识上升到理性认识。】师：老师有个问题，互质数是不是只有质数和质数才能组成互质数？（生纷纷反对，并举刚才这个组写在黑板上的数据说明自己的理由。）师：还有别的发现吗？小组内交流。组代表2：我们组都认为两个不相同的质数一定是互质数。如：7和11，17和31，同学们也可以找出一些这样的数试试看。组代表3：我们发现两个连续的自然数一定是互质数。如：4和5，13和14，17和18等，不信大家可以找找看，任何相邻的两个自然数都是这样的，它们除了公约数1之外，再也没有其它的公约数。组代表4：我们也有个特别的发现，1和其它所有的自然数一定是互质数。如：1和16，1和90，8999和1，等等。同学们试试看，1和任意自然数，除了公约数1之外，你还能找出其它的公约数吗？

42组代表5：我们除了发现了第一组说的情况，还发现相邻的两个奇数一定是互质数。如：3和5、7和9、11和13、13和17等，这样的两个数，谁还能找出除1之外的其它的公约数，我们组有奖励！（很多学生马上跃跃欲试，也有不少学生在本上子试写了一些数，但最后大家都说不出不同的情况。）组代表6：我们试了不少数，发现两个数中较大一个是质数，这两个数的公约数也只有1。如：3和19、16和97等，大家也说出几组这类的数，看看我们的发现不是不正确。（学生很快说出了几组，经验证，都存在这个规律。）组代表7：我们的发现与刚才这个组的发现有点接近，但不一样。我们也试了很多数，发现两个数中较小一个是质数，大数是合数，并且不是小数的倍数，这两个数的公约数也只有1。如：7和18，11和68，97和102等，大家也想几个数，我们可以帮你们试试。（学生说了几组数，实验结果，他们的发现是有道理的。）组代表8：如果两个数存在倍数关系，较大数是这两个数的最小公倍数，如果比二倍多1或少1会怎么样呢？我们组每人试了几个，发现较大数比较小数的2倍多1或少1，这二个数的公约数竟然也只有1。如：7和15、15和31、15和29等等。大家也试试看，是不是这么个道理？师：同学们，你们刚才列举的，都是公约数只有1

43的两个数，这样的两个数是互质数，互质数是互相依存的，我们不能单单说某个数是互质数。如，不能说7是互质数，必需说谁和7，或者7和谁是互质数。【评析：学生们因为课下进行了初步研究，学习的途径更广泛，他们有的自己查找相关资料，有的与家长进行交流研究。当教师把概念点明之后，学生们的思维节节开花，研究出这么多结果，教师及时的点拨使学生对互质数理解得更深刻了。】师：如果有三个数，如：5、8、9，这三个数只有公约数1，我们也可以说这三个数是两两互质的。师：我想知道你们是不是真地理解互质数这个概念了？生：我们明白了。师：你们能不能说说互质数和质数的区别。生1：互质数指的是两个数，而质数只是一个数。生2：质数只有1和它本身两个约数，互质数中这两个数不一定都是质数。师：凡是互质数，我们可以怎样求它们的最小公倍数？生：直接相乘就可以了。(三)课堂练习1、判断。2、选择。3、列举一组数，找一找哪两个数可以组成互质数。

44师：看来约数和倍数之间存在着很多有趣的联系。它们之间也有很多有趣的现象。（多媒体出示1——100的数）老师能一眼看出一百以内的数，哪些能被2、3、5整除，其实更大的数老师也能一眼看出的（学生出题，老师很快回答出，学生很惊奇）师：同学们！知道这是为什么吗？因为这些数都有一些特征，如果你掌握了，你也能做到。布置研究课题：列举出1—100中2、3、5的倍数，利用课余时间研究一下究竟有什么特征？（让各小组自己选择研究子课题。）【评析：本节课呈现的概念很多，教师根据教学要求设计有梯度的练习，是对不同层次的学生知识掌握情况的检测，同时也能对全体学生的学习起到巩固深化的作用，提高了教学效率。为了引起同学们对2、3、5倍数特征的研究兴趣，老师让学生出题，自己很快判断，然后布置课下要研究的课题。】第五课时《最大公约数》七、课题的布置与指导3

45学生在研究用分解质因数的方法求最小公倍数时，个别学生根据公倍数和最小公倍数的概念，结合自己的理解谈了“什么是公约数？什么是最大公约数？”然后，我布置同学们课下研究如何求两个数的最大公约数？学生因为有了前面的研究基础，在研究中能很快找到突破口。课下研究时，有的同学亟不可待地向我汇报研究出的方法。学生们研究的兴趣越来越高，研究也越来越轻松。下一节课的教学目标是：概括出公约数、最大公约数的概念，然后进一步研究如何求两个数的最大公约数，并能选择较为简便的方法。八、课堂教学实录3(一)游戏引入新课抢数游戏：两个学生每人各拿10和12。另找一部分学生各拿1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12。游戏规则：比赛双方各为10和12抢约数，抢得又多又快为胜。（游戏开始后不久，数子卡片很快就抢完，当场就有人说不公平。原因是其中的1、2既是10的约数又是12的约数。）师：上节课刘航同学在用分解质约数的方法求最小公倍数时，发现也可以从中求出两个数的最大公约数。有同学问他：“什么是公约数？什么是最大公约数？”

46当时他根据自己的理解谈了看法，大家也表示认同。现在谁来说说什么叫公约数和最大公约数？生1：两个数公有的最大的约数叫做他们的最大公约数。生2：两个数共同的约数叫他们的公约数，其中最大的一个叫最大公约数。（教师出示概念。）【评析：教师设计的游戏独具匠心，旨在通过游戏让学生找10和12的约数，发现了他们共有的约数是1、2。既为学习有困难的同学做好铺垫，又能尽快集中学生的注意力。学生已经有了最小公倍数的认知基础，很容易通过迁移实现对最大公约数这一概念的自主建构。在此基础上，教师引出概念：公约数和最大公约数，就比较自然。】(二)汇报交流师：昨天老师布置同学们自己试着研究一下，如何求两个数的最大公约数。现在请同学们在小组内交流自己的研究发现，然后每组选出两名代表一起汇报。教师巡视并参与到他们的讨论中。组1：（学生在说的同时，他的合作伙伴在黑板上配合板书）我们用列举法求的：12的约数有：1、2、3、4、6、1218的约数有：1、2、3、6、9、1812、18的公约数有：1、2、3、6

47组2：我们是用集合圈图示法找出两个数的最大公约数。我们也以12和18为例12的约数18的约数12、18的最大公约数1、243、126918组3：我们用分解质因数的方法找最大公约数。如：45=3×3×5，90=2×3×3×5他们公有的质约数同时也是它们的公有的约数，其中最大的5就是它们的最大公约数。这时有同学反驳：不对，5并不是它们的最大公约数，9才是它们的最大公约数呢。又有学生反驳：还不对，45才是它们的最大公约数。本组的学生马上有人明白过来：最后这个同学说得对，45和90的公约数，要能整除45，同时又能整除90，5、9、45

48都是这两个数的公约数，最大公约数是公约数中最大的，看来它必须包含有45和90的全部公有的质因数：3、3、5，所以3×3×5=45才是它们的最大公约数。另一学生补充道：因为公约数不仅只有质因数，如果只找质因数，就有可能漏掉一些不是质因数的公约数，它们中的最大约数如果是合数的话就被分解成了两个或几个数相乘的形式，如果用上面同学的列举法就很容易看出来了，所以就得把它们乘起来。组5：我们是用短除法求最大公约数的。12和18的公约数2和3，它们的乘积2×3=6就是它们的最大公约数。6923121823师：你们认为你们的方法和刚才同学用的分解质约数的方法哪个更好？（本小组同学异口同声的答道：我们的方法好。）师：为什么？生：分解质因数的方法虽然也能找到，但相同的那些质因数不一定在一块还得到处找。弄不好还会落下。我们的方法只看左边公共的质因数就可以了，一目了然。【评析：

49从学生的汇报情况来看，学生们在课下进行了认真地研究。学生们研究的方法各不相同，但他们在研究中已经准确地理解了公约数与最大公约数的意义。学生们在汇报时思路清晰，语言表达能力得到锻炼。特别值得欣喜的是学生不是旁听者，他们在主动思考。当三组学生提出45和90的最大公约数是5时，学生们纷纷质疑，认为公约数不一定是质数，但一定包含了两个数公有的质因数，他们对问题做了深入分析，提高了认识。如果教师能够再举几个例子，学生们将会有更深入地理解。】组6：我们两个人发现，象9和10，3和5这类的数，也就是互质数，它们的公约数只有1，所以最大公约数可能也就是这个“1”吧？（师征求同学们的意见，互质数的公约数除了“1”还有别的数吗？）生：没有。师：那么我们就可以说互质数的最大公约数就是“1”。组4：我们发现成倍数关系的两个数最大公约数是较小的那个数。（学生一致同意。）组员1：我们发现当两个数中较小的数是质数时，可用除法来求。用较大的数除以较小的数，如果能够整除，则较小数就是这两个数的最大公约数。（这时有学生说其实就是前面同学说的倍数关系。这组学生有点不好意思。）

50师：他们的发现和前面同学的发现有异曲同工之妙，因为质数的约数特别，他们能从质数这个角度去考虑两个数的最大公约数也说明他们有自己独特的想法呢！组员2：如果两个数没有倍数关系，可以用较小的数依次除以2、3、4……直到求得商是较大数的约数为止，这时的商就是两个数的最大公约数。如，30和24，24÷4=6，6是30的约数，所以6是30和24的最大公约数。组员3：如果两个数相差不大，可以用大数减去小数，所得差与小数的最大公约数就是原来两个数的最大公约数。如求78和60的最大公约数，78－60=18，18和60的最大公约数是6，所以6是78和60的最大公约数。刘航：老师，我发现，求两个数的最小公倍数时，可以用它们的乘积除以他们的最大公约数，得到的商就是最小公倍数。……师：（对刘航）这是个很有意思的问题，看来你动了不少脑筋。下节课我们就来研究你提出的问题。【评析：

51学生已经研究出求最大公约数的基本方法，他们思考的脚步并没有停下，他们又对一些特殊的两个数，如两个数是互质数、两个数成倍数关系等，研究得出了一些简便的方法。学生对自己的研究发现印象特别深刻，比老师单纯举例讲解效果好得多。有一个同学发现如果两个数相差不大，可以用大数减去小数，所得差与小数的最大公约数就是原来两个数的最大公约数。这个方法是不是对所有的数都可以，教师可以把它作为子课题继续研究。】师：刚才同学们用了很多方法来求两个数的最大公约数，大家会求两个数的最大公约数了吗？既然你们认为用短除法来求两个数的最大公约数比较简便，你们会吗？（三）课堂练习1、试一试：用短除法求下列每组数的最大公约数。10和2524和182、说出下列各组数的最大公约数。（抢答后说一说为什么判断的这么快？）7和218和159和144和283、判断。①如果两个数是互质数，它们没有公约数和最大公约数。（）②如果较小数是较大数的约数，那么较小数就是这两个数的最大公约数。（）③所有非零自然数的公约数1。（）4、老师有一间厨房需要铺地砖，长30分米，宽24

52分米，请同学们帮助老师选一选用多大的正方形地砖铺地，才能铺得既整齐又节约呢？告诉老师正方形的边长是多少？如果老师想尽快铺完，你认为应该用边长多大的正方形地砖呢？（四）布置作业刘航同学的问题涉及到最小公倍数和最大公约数的关系问题，我们下节课讨论，请同学们先思考也可以和小组内的同学一起研究这个问题。【评析：考虑到学生的差异，设计的练习题既有基础性的，又有开放性的。既重视基本知识基本能力的训练，同时还将知识性、趣味性有机地结合起来。通过比较、判断、生活问题等不同坡度、不同类型的练习，既巩固了知识，又使全体学生不同程度地得到发展，更为后继学习打下了基础。】九、教学反思我的单元教学研究，总的来看，达到了预期的目的，取得了较好的教学效果，对小课题研究单元教学也有了更多的体会和认识，具体来说有如下几点：1、运用“结构分组法”

53。每个组里都有骨干力量、中间力量，也有学习经验不足的学生。在研究过程中，各部分力量都能发挥各自的优势，特别是研究能力比较强的学生，能带动大家进入研究味浓的氛围，使个人优势转化为群体优势。对于中等生，他们提出问题和解决问题的能力可能比研究能力强的学生稍逊色一些，但由于在课下进行研究，他们获取信息的途径并不少，研究能力也很强。研究能力弱的学生在本小组研究成员的带动下，也会越来越主动地参与学习研究活动。这样，能从不同角度，引发不同难度的问题，使研究趣味横生。2、老师指导“吊胃口法”。学生研究以后往往急不可待地想和老师交流汇报，或者想尽快得到老师的指点。我的方法是，对瓶颈问题略指一二，学生稍有想法，我就打住，让他们自己去想。我从不将问题在课前和学生过多研究。其实，就如同生活中常说的吊胃口，如果学生的研究兴趣被激发起来，你不让他们去继续思考，拦都拦不住的。学生常常有空就凑在一起讨论。有时回家和家长研究，打破了一节课四十分钟的界限，学生的空间和时间就扩大了，他们有了强烈的兴趣，就有了巨大的能量。3、学生的研究让我深深领悟到，我们的学生不可小瞧！真的，他们在研究问题时所迸发出的思维火花，常常让我和听课的老师都发出感叹！现在的孩子从小接触的信息量大，思维活跃，只要引领得法，孩子的小脑袋，能研究出很多我们意想不到的结果。4

54、这个单元用六课时就结束了教学任务，我深深体会到：学生主动提出问题，思考和研究这些知识内容，与被动的接受相比，学生的学习兴趣与学习效果大相径庭。特别是思维活跃的孩子，他们的研究能力确实得到了很大提高，他们在展现自己研究成果时，往往很有成就感，大大增强了孩子们对数学的兴趣。学生把学习当做一件“美差”去做，这不正是我们想看到的吗？【评析：纵观本单元教学，教师科学的教育理念和大胆创新的探索值得肯定。1、动态生成研究问题，科学指导研究过程。教师在开展本单元小课题研究时，大胆细致，独具匠心。采用倒叙的手法，从“最小公倍数”开始进行学习研究。由于研究的问题是学生自己提出来的，或是在解决问题的过程中产生的新问题，而不是教师或书本给定的。这样的学习，可以使学生一开始就处于积极状态，使学生对学习充满着兴趣，学生乐于研究，而无须教师强迫学生学习，真正做到了“要我学”向“我要学”的转变。2、对于小课题研究单元教学的指导，教师的作用是不容忽视的。教师能宏观把握研究内容、研究进程及教学目标的落实情况。在学生课下研究时，教师能恰当引领，不包办代替。在课堂上研究小组汇报时，教师能创设宽松、和谐、民主的氛围，鼓励学生相互质疑，并采取恰当的措施点拨、梳理、总结，使学生在获得数学知识的同时，不断提高数学能力，不断提升数学素养。

553、 课时数虽然减少了，由于课前学生们认真参与了研究，学生学习能力特别是研究能力却大大提高了。按照教师用书的参考建议，应该用12课时。在这里只用了6课时，教学效率大大提高了。】