—由2011年高考数学湖北卷的一道选择题所引发的探究

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1、2011年第5O卷第1O期数学通报53与抛物线相关的一类正三角形的个数问题——由2011年高考数学湖北卷的一道选择题所引发的探究周远方(湖北省教学研究室430205)2Ol1年高考数学湖北卷文、理科选择题中色．事实上，上述新课标教材的两道习题本身就有如下一题：隐含着本题的结论，即将正三角位于抛物线顶点记满足两个顶点在抛物线Y一2px(>0)处的顶点换成位于抛物线的焦点处，则满足条件上，另外一个顶点是抛物线的焦点的正三角形个的正三角形由原来的一个变成了两个．因此，命数为，则题者的选材和立意也许正是基于这种动态变化所A．一0B．n一1C．一2D．≥2产生的

2、一种设计．这道题以与抛物线相关的正三角形为问题情为叙述方便起见，我们将试题的结论改写为境，主要考查直线与抛物线的位置关系和数形结如下定理：合的思想．要求考生能通过几何直观，并抓住满定理1若正三角形的一个顶点位于抛物线足条件的正三角形和抛物线分别关于z轴对称的Y一2px(p>O)的焦点，另外两个顶点在抛物线特征，进行合情推理，容易得出正确选项为C．上，则这样的正三角形有且只有两个，其边长分1试题的背景解读与典型解法别为2(2～√3)和2(2+√3)．查阅教材，我们不难发现此题是源于如下课本的例题和习题改编而得：证法1如图1，设抛物线的焦点为F(，一是全日

3、制普通高级中学教科书数学(必修)0)，正三角形在抛物线上的顶点为A(z，Y)，第二册(上)第八章“圆锥曲线方程”的第8．6节B(xz，Y)，其中点A在z轴的上方，则}一“抛物线的简单几何性质”中的例3，原题如下：2pxl，一2px2．原题正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线Y。一2px(p>O)上，求这由lFAI—IFBI，可得(～要)+；个正三角形的边长．二是新课标教材人教A版选修2—1第二章一(一要)+i，“圆锥曲线与方程”2．4抛物线的习题2．4B组第2题和复习参考题的A组第7题，原题如下：即(z一等)一(X2-等)+2pz～2p

4、x。一o，题1已知等边三角形的一个顶点位于原化简整理可得(1一zz)(z1+z2+痧)一0．点，另外两个顶点在抛物线。一2px(>0)上，因为X1≥0，z2≥0，p>0，所以z1+z2+P求这个等边三角形的边长．>0，于是有z=。．由此可得fY}=iY}，题2已知等边三角形的一个顶点位于抛物即线段AB关于35"轴对称．因为AB_l_z轴，线Y。一2px(>0)的焦点，另外两个顶点在抛物线上，求这个等边三角形的边长．_K~AFz一3o。，所以一Jz一号Jtan30。一譬由此可见，本题的背景既注重了新旧教材的fXl一要f．兼顾和对接，又体现着源于课本和动态

5、变化的特54数学通报2011年第5O卷第1O期据对称性同理可得直线BF与抛物线交于A、因为一易，所以一B，且lABl一2(2+)P，lABl一2(2一得一(2±)P，所以lAB}√3)P，故满足条件的正三角形有且仅有两个，)P．即如图1所示的AAFB和△AFB，其边长分别故满足条件的正三角形有且仅有两个，即如为2(2～)p和2(2+)户．图1中的／kAFB和△AFB，其边长分别为2(2证法3以抛物线的焦点F为极点，z轴的一)p和2(2+)．正半轴为极轴建立极坐标系，则抛物线的极坐标方程为lD—P1／／．设正三角形在抛物线上的顶点为A(1D，)，B(10

6、，)，贝0一．2一2DIAFI—f。一P，lBFJ—fDz—2T=P，其中，0zeEo，2n)，且≠z解±．由lAFl—IBFl，可得cos0一cos0。．因图1为0，0∈E0，2n)，且0≠，所以：一27【一1．JMA／由此可知线段AB关于极轴对称．设直线AF、BF与抛物线的另一个交点分M别为B、A，则NfFI——F丽一P，．ⅣB＼lAFI—p4FP而一再Pi．图2由『AFl—lBFI同理可得线段AB关于极证法2设抛物线的焦点为F(要，o)，正轴对称．于是分别取一詈O和一O，可得三角形在抛物线上的顶点为A(z，y)，B(z。，IABI=—一2(2+)

7、户，IA—BI一Y)，其中点A在轴的上方，则由抛物线的定卜cO言义可得焦半径IA_FI—z+要，}BFl———L一2(2一)．1+cOS要+号．b故满足条件的正三角形有且仅有AAFB和由fAFl—iBFl，得一．72．由此可得△AFB，其边长分别为2(2～)p和2(2+)户．lYl—lYzI，即线段AB关于32轴对称．如证法4如图2，设抛物线的焦点为F，正图1所示．三角形在抛物线上的顶点为A，B，过点A、B因为ABj_z轴，且AFx一30。，所以直线分别作准线的垂线AM、BN，垂足分别为M、AF的方程可设为一西+要．N，则由抛物线定义可得f一2p：c，

8、lAFJ—lAMl，JBFl—IBM1．又由联立1：+等，潸去得yZ_2~pyz~AFB为正三