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时间:2018-11-12
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1、由一道高考错题引发的思考摘要:数学课程标准提出数学学科特点具有应用性、灵活性、抽象性、准确性。说到准确性,要求学生计算过程要准确,计算结果要经得住检验。2013年全国高考数学理科试题(浙江卷)第15题,由于出题者和审题人的疏忽,导致出现了一个错题。究其原因可能是因为此题是一道填空题,出题人在编制题目时并没有对结果进行检验,从而导致在影响如此重大的考试中出现错题,值得数学老师认真反思。关键词:准确性;检验;局考错题下面就题目本身以及可能出现的问题加以说明。设F为抛物线C:y2=4x的焦点,过点P(-1,0)的
2、直线I交抛物线C于两点A,B,点Q为线段AB的中点,若FQ=2,则直线的斜率等于.给出的参考答案是k=±l,大致的解法有两种:解法一':(点差法)设直线I的方程为y=k(x+l),A(xl,yl),B(x2,y2),Q(xO,yO),由于点A,B都在抛物线上,故满足yl2=4xly22=4x2,两式相减得到(yl+y2)(yl-y2)=4(xl-x2),所以y0=,又点Q在直线I上,故可得xO=,根据FQ==2,解出k=±l.解法二:(联立方程,代入法)设直线I的方程为y=k(x+1),A(xl,yl),B
3、(x2,y2),Q(xO,yO),联立方程y=k(x+1)y2=4x,消去y得k2x2+(2k2-4)x+k2=0,由韦达定理可得,xl+x2=,于是x0=,代入y=k(x+l),得到y0=,根据FQ==2,解出k=±l.以上两种解法见于对浙江高考题的各种解读资料,初看没有任何问题,两种解法得到的结果都一样,但我们忽略了一个重要环节__检验。不难发现当k=l时,此时直线的方程为y=x+l,与抛物线联立消y后得到x2-2x+l=0,即x=l,也就是说直线与抛物线仅有一个公共点,即直线I与抛物线C相切,当k=-
4、l时同理。这与题中所述直线与抛物线有两个交点A,B显然矛盾。综上所述,题目本身在设置上出现了重大错误。同样的问题出现在了人教A版选修2-1习题2.3的B组第4题中,该题是这样叙述的:已知双曲线x2-=1,过点P(1,1)能否做一条直线I,与双曲线交于A,B两点,且点P是线段AB的中点?其中王后雄学案教材完全解读中给出的解法是:设直线I的方程为y-l=k(x-l),A(xl,yl),B(x2,y2),xl2-=1x22-=1,两式相减得(xl+x2)(xl-x2)=,又中点P(1,1),所以得k=2,故存在直
5、线l:y=2x-l使得题目中的条件成立。但我们在汲取了浙江高考题的失误教训后,会发现将所得直线代入双曲线方程,消y后可得2x2-4x+3=0,该二次方程的判别式?驻
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