由一道高考试题引发的思考

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1、由一道高考试题引发的思考　　1.问题提出　　题目（2009年辽宁高考理科数学试题）已知椭圆C过点A（1，），两个焦点为（-1，0）和（1，0）.　　（1）求椭圆C的方程；　　（2）E，F是椭圆上的两个动点，如果直线AE的斜率与直线AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值.　　本题第（1）问椭圆的标准方程为+=1，第（2）问主要考查直线的方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力和运算求解能力，考查数形结合、化归与转化、特殊与一般等数学思想.立意深刻，有内涵.解题过程略，对于第（2）问，注意到

2、点A（1，）的特殊性，这个点是椭圆的一条通径（过焦点作长轴所在直线的垂线与椭圆交于A，B两点，AB是椭圆的一条通径）的端点，直线的斜率是定值，这个定值恰好是椭圆的离心率.那么本题能否推广到一般情形呢？下面本文将对其进行探究.　　2.问题探究　　探究1：已知椭圆C：+=1（a>b>0），点A（-c，）是椭圆的一条通径的一个端点，E，F是椭圆上的两个动点，如果直线AE的斜率与直线AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，这个定值是椭圆的离心率的相反数.4　　证明：设E（x，y），F（x，y），直线AE的方程为y=k（x+c

3、）+，代入椭圆方程，整理得（b+ak）x+（2kab+2kac）x+b+2kbac-ab=0.　　根据韦达定理x-c=-，解得x=.　　因为直线AE的斜率与直线AF的斜率互为相反数，x=.　　x+x=，x-x=.　　k====-e证毕.　　上述高考题中的A（1，）是位于第一象限的通径的一个端点，根据椭圆的对称性，属于探究1的特殊情形.它的逆命题经证明也成立，于是得到.　　探究2：已知椭圆C：+=1（a>b>0），点A（-c，）是椭圆的一条通径的一个端点，E，F是椭圆上的两个动点，如果直线EF的斜率为定值，这个定值是椭圆的离心

4、率的相反数，那么直线AE的斜率与直线AF的斜率互为相反数.　　证明：设E（x，y），F（x，y），直线EF的方程为y=-ex+m，代入椭圆的方程整理得　　（b+ae）x-2amex+ma-ab=0.　　x+x=，xx=.则有　　（-ex+m）（x+c）+（-ex+m）（x+c）=-2exx+（m-ec-）（x+x）+2mc-c　　=2mc（a-b-c）=0.　　k+k=+4　　==0.　　即直线AE的斜率与直线AF的斜率互为相反数.证毕.　　椭圆有上述性质，经证明双曲线，抛物线也有类似的性质，于是又得到.　　探究3：已知双曲

5、线C：-=1（a>0，b>0），点A（-c，）是双曲线的一条通径的一个端点，E，F是双曲线上的两个动点，如果直线AE的斜率与直线AF的斜率互为相反数，直线EF的斜率为定值，这个定值是双曲线的离心率的相反数.　　探究4：已知抛物线y=2px（p>0），点A（，p），E，F是抛物线上的两个动点，如果直线AE的斜率与直线AF的斜率互为相反数，直线EF的斜率为定值，这个定值为-1.　　证明：设E（x，y），F（x，y），直线AE的方程为y=k（x-）+p，代入抛物线的方程y=2px，整理得kx-（pk-2kp+2p）x+p-pk+p

6、=0.　　根据韦达定理x+=-，解得x=.　　因为直线AE的斜率与直线AF的斜率互为相反数，x=.　　x+x=，x-x=.　　k====-1证毕.　　探究3，4的逆命题也成立，证明略.　　由此得到圆锥曲线的一个统一性质：　　已知点A是圆锥曲线Γ的一条通径的一个端点，E，F是圆锥曲线上的两个动点，且k+k=0则k=

7、e

8、.它的逆命题也成立.4　　3.解后反思　　高考试题汇聚了命题专家的智慧与心血，如果我们能最大限度地发挥试题的探究功能，教师才能近距离与命题专家进行心灵交流，同时解题后的反思可使理解进入深层次，进而诱发新的想法，

9、展开新的探究，在探究中升华，在升华中让能力生根.4