在变化中求发展——一道抛物线问题的变式研究

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1、52数学通报2009年第48卷第7期在变化中求发展一道抛物线问题的变式研究王芝平(北京宏志中学100013)人教A版教师用书说明中指出：在知识形成过程的“关键点”上，在运用数学思想方法产生解决问题策略的“关节点”上，在数学知识之间联系的“连结点”上，在数学问题变式的“发散点”上，在学生思维的“最近发展区”内，⋯，提出恰当、对学生数学思维有适度启发的问题，引导学生的思考将点P(1，一1)代入抛物线方程即可；和探索活动，使他们经历观察、实验、猜想、推理、百一错点M是线段AB的中点，用反思等理性思维的基本过程，切实

2、改进学生的学A(xl，Y1)、B(x2，Y2)表示点M(x，)的坐标，结习方式．合k-+志z一0，即可点M的轨迹方程．提问是创新的开始．“看过问题三百个，不会解(I)将P(1，一1)代入抛物线C的方程解题也会问”，通过恰时恰点地提出问题，提好问—n得a一一1，题，给学生示范提问的方法，使他们领悟发现和提所以抛物线C的方程为Y一一z，出问题的艺术，引领他们更加主动、有兴趣地学，即z。一-y，焦点坐标为F(O，一÷)．富有探索性地学，逐步培养学生的问题意识，孕育‘t(Ⅱ)设直线PlA的方程为_)，+1一是(z一1

3、)，创新精神．fY+1一k1(一1)，本文提供一个这方面的案例，请各位同仁⋯联立方⋯程J指正!I一一‘·l创设情境引发问题消Y得aT+k1z一志1—1—0，学习数学离不开解题，但是，从推动科学进步1·z1一一kl～1，则371一一kl一1．和个人终身发展来看，独立发现和提出问题往往由△===k。一4(一k一1)一(k。+2)>0，显得更重要．那么，怎样独立发现和提出问题呢?得k。≠一2我们由一个抛物线问题开始，从问题的解决(注：抛物线在点P(1，一1)处的切线斜率等到新问题的发现做一尝试．于一2，故k≠一2)

4、例1已知抛物线C：—nz．点P(1，一1)同理，z2一一k：一1．(k2≠2)在抛物线c上，过点P作斜率为k、k的两条直设点M的坐标为(，Y)，由商一，线，分别交抛物线C于异于点P的两点A(，则一Y1)、B(x2，Y2)，且满足k1+k2—0．(I)求抛物线c的焦点坐标；所以一一兰(II)若点M满足-f~=，求点M的轨迹又因为k+k2—0．所以z一一1．方程．分析欲求抛物线C的焦点坐标，应该先求y==抛物线方程，而所给抛物线方程中有一个未知参一(～k1—1)一(一k2一1)一数O，所以必须建立关于参数a的方程

5、，这只要一—————■———～2009年第48卷第7期数学通报53一(-kl一1)。一(奄l一1)变式思考3如果点M不是线段AB的中一一————————一点，而是一般点，那么点M的轨迹是什么?一一(矗}+1)≤一1，如果P是定点，A是动点，那么线段AB的又是≠±2，所以Y≠一5．中点M的轨迹是什么?所以所求M的轨迹方程为：=一1(<一用图形技术开展数学实验，检验或验证同学1且y≠一5)．们的想法，证明课下完成．2变式思考探索其它性质3技术支持类比猜想变式思考1在科学研究中有时“有目的地那么作为圆锥曲线的椭圆和

6、双曲线是否也有提出问题往往比解决问题更重要”．那么，我们能类似的性质呢?从这个问题出发，提出一些新的问题吗?(如果学猜想2如图，过圆锥曲线+ny：1生提不出问题，再进行下面的提示，问题中哪些几(mn≠O)上一点P(x。，Y。)(Y。≠O)，作两条直线何元素有待考察与研究?比如，直线AB有什么分别交圆锥曲线于A(，Y，)，B(，Yz)．直线特点吗?它是否过定点?是否是平行直线系?)PA与PB的斜率存在且倾斜角互为补角，则猜想1过点P(1，一1)作斜率为志。、的两条直线，分别交抛物线Y一一。于异于点P的两点A(，

7、y。)、B(x2，Y2)，若k。q-是2一O，则直、线AB的斜率是定值．证明设直线PA的方程为y+1=点，(z一／1)，f+1：志l(一1)，联⋯立方～程．‘(1)直线A8的斜率是非零常数；Iy一一oT‘·(2)AB的中点M的轨迹是线段．消Y得q-奄l一是l一1一O，这就是说，上述性质是圆锥曲线的一条统一1·oZ"1=-kl—l，则zl一一h1一1．性质．它不仅揭示了问题条件和结论之间的必然由△：==kl一4(一是l一1)=(是lq-2)。>0，联系，还体现了三种圆锥曲线的和谐统一，给人以得志≠一2美的享受．

8、(注：走t≠一2的几何意义是什么?抛物线在发现了问题，提出了猜想并不是我们的最终点P(1，一1)处的切线斜率等于一2，它与抛物和唯一的目的，对我们真正有用的是通过对问题线有且只有一个公共点，故k，≠一2)的“论证”达到对问题有所领悟、有所提高，从而对同理，z2一-k2—1．(k2≠2)问题的本质有真正的发现．所以，z1+2一(一是l一1)or-(一志2—1)一“证明是数学的灵魂”，我们能给出其中部分