3年高考2年模拟1年原创备战2019高考精品系列之数学(理)：专题14.2极坐标与参数方程(解析版)

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第十四章选讲部分专题2极坐标与参数方程(理科)【三年高考】1.【2019年高考北京】在极坐标系中，直线cos3sin10与圆2cos交于A,B两点，则IABI.【答案】2【解析】分别将直线方程和圆方程化为直角坐标方程：直线为x3y10过圆22(x1)y1圆心，所以AB2，故填：2.xacost2.【2019高考新课标1卷】在直角坐标系xy中，曲线C1的参数方程为(t为y1asint参数,a>0).在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：p4cos.(I)说明Ci是哪一种曲线拼将Ci的方程化为极坐标方程;(II)直线C3的极坐标方程为0,其中0满足tan0:=2,若曲线C1与C2的公共点都在Q上,求a.【解析】⑴xacost(t均为参数)2’,•••xy122a2①，•C1为以0,1为圆y1asint心,a为半径的圆.方程为x2y22y122a0,vx22y,ysin,•22sin1a20即为C1的极坐标方程⑵C2:4cos，两边同乘得$4cosQ$Xy，cosx，X/4x,即x2y24②，C3:化为普通方程为y2x,由题意：G和G的公共方程所在直线即为C3①一②得：4x2y1a20,即为C3,a1a20,「.a13.【2019高考新课标2】在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(X6)2y25-(I)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程;

1xtcos.—(n)直线I的参数方程是(t为参数)，l与C交于A,B两点，|AB|10,ytsin求I的斜率.［解析】(I)由工二p350：3=P如&可得C的極坐标方程戸：十1邛8用十11二0(ID在⑴中建立的极坐标系中；直线/的概坐标方程为&二口9色JC),由月e所对应的极径分别対2心将/的极坐标方稈代入弋的极坐标方程得，+1*+11=0.于是X\+p；=-12cosar.x\^2=11.|.1S|=p1-p1-Js+/?：）'-“代=Jl」4g5‘af—44,由|=伍得cos2JT7Jj7所加的斜率対芈或-罟-4.【2019高考新课标3】在直角坐标系xOv中，曲线C的参数方程为q，y1x"cos(为参数)ysinC2以坐标原点为极点，以X轴的正半轴为极轴，，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为sin()224(I)写出G的普通方程和C2的直角坐标方程；(II)设点P在g上，点Q在C2上，求PQ的最小值及此时P的直角坐标.2【解析】(I)G的普通方程为y21,C2的直角坐标方程为xy40.3(n)由题意，可设点P的直角坐标为(3cos,sin)，因为C2是直线，所以|PQ|的最小值即为P到C2的距离d()的最小值，I3cossin—4|2|sin()2|.当且仅当2k(kZ)时，<23631d()取得最小值，最小值为V2，此时P的直角坐标为(?，2)・xtcos,5.【2019高考新课标2】在直角坐标系xoy中，曲线G：(t为参数，t0)，其ytsin,

2，在以0为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2:2sin，曲线C3:23cos.(i)•求C2与G交点的直角坐标；(□)若C2与G相交于点A，C3与G相交于点B，求AB的最大值.【解析】")曲线Q的直角坐标方程为十p--:丁=g曲纸q笊直常坐掃方程溯.联立・,厂+y-JVJ.rSy-D./=所決©与G交点的直肖坐标为(n)曲线G的极坐标方程为R,0)，其中0.所以A得到极坐标为,).所以(2sin,),B的极坐标为(23cosAB\2sin23cos4sin(3,当56时|ab|取得最大值，最大值为4.7x=1+3cost、「仝立-6.【2019高考福建】在平面直角坐标系xoy中，圆C的参数方程为i(t为参数)•?y=-2+3sint在极坐标系(与平面直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴)中，直线I的方程为2rsin(q-p)二m,(m?R).4(I)求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程；(n)设圆心C到直线l的距离等于2,求m的值.【解析】(I)消去参数t，得到圆的普通方程为(x-1)2+(y+2)2=9,由2rsin(q-P)=m,得rsinq-rcosq-m=0,所以直线l的直角坐标方程为x-y-m=0.(n)依题意，圆心C到直线I的距离等于2，即|1-(_2)+ml=2,解得m=-3±2・2

313t2（t为参数）.以3t2轴建立极坐标系，eC的极坐标方程为23sin(I)写出eC的直角坐标方程;(II)为直线I上一动点，当到圆心C的距离最小时，求的直角坐标.-/3sin6>,得戸‘二三的pNii日，从而有屈,所以-r:+|l>{ID设+又盹屈,则PC|=5^3舟—叭=冷+12,x7.【2019高考陕西】在直角坐标系xy中，直线I的参数方程为y原点为极点，x轴正半轴为极112y21,故当20时’|PC|取最小怪此吋P点的宜角坐标为0018.【2019高考新课标1】在直角坐标系xOy中，直线G：x=2，圆C2:以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系(I)求C1,C2的极坐标方程;(n)若直线c3的极坐标方程为R，设C2与C3的交点为M,N，求VC2MN的11面积.【解析】(I)因为xcossin,-Ci的极坐标方程为cosC2的极坐标方程为22cos4sin40.(n)将=4代入2cos4sin40,得3240，解得112=2,|MN|=12=2,因为C2的半径为1，则VC2MN的面积-721sin45°=-222倍,9.【2019高考辽宁】将圆x2y21上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的得曲线C.(I)写出C的参数方程;1

4（n）设直线l:2xy20与C的交点为P,P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极坐标建立极坐标系，求过线段RP2的中点且与I垂直的直线的极坐标方程【解析】（I）设（％,%）为圆上的点，在已知变换下位xx.C上点（x，y），依题意，得y2y.由X.2y.21得X2(2)21，即曲线C的方程为x2241.，故C得参数方程,x=cost为y=2sint（t为参数）22y(n)由4解得:2xy20x1，或x°•不妨设P(1,O),F2(O,2),则线段PP2的中点yoy21坐标为（,1）,所求直线的斜率为k2程，并整理得y1?（x丄），化极坐标方2234sin2cos22已知曲线Cd：y1，直线I491，于是所求直线方程为22cos4sin3，即10.【2019高考全国1第23题2t,(t为参数)22t,（I）写出曲线C的参数方程，直线I的普通方程；（II）过曲线C上任意一点P作与I夹角为30的直线，交I于点A,PA的最大值与最小值.【解析曲线C的聖数方理则=.JW为臺即.宜细的曾通方穆为=0•（II）曲I■忏煮一点?（2cos^.3J的踊禽沃id=£[48諾+女in莎一目・贝（I|^1|=二土庐血3+口）一6|・茸中◎为鋭角』且tanff=-・当sin（d+or）=-l时，冋|取到sin3053最大值，最大值为¥”当血©+②-1吋，|川|取到最小值，最才值为羊.1.【2019高考全国2第23题】在直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，x轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为2cos,0,.2(I)求C的参数方程;(H)设点D在C上，C在D处的切线与直线l:y3x2垂直，根据(I)中你得到的参数方程，确定D的坐标•

5【解析】(I)设点M(x,y)是C上任意一点，则由2C0S可得C的普通方程为：22xy2x,x1cos即(x1)y1(0y1)，所以c的参数方程为,(是参数，0).ysin(n)设D点坐标为(1cos,sin)，由(I)知C是以G(1,0)为圆心，1为半径的上半圆，因为C在点D处的切线与I垂直，所以直线GD与I的斜率相同，tan3,,3故D点的直角坐标为(1cos—,sin—)，即(-^3).2322【三年高考命题回顾】纵观前三年各地高考试题，对参数方程和极坐标的考查，主要考查直线和圆的参数方程，椭圆的参数方程，参数方程与普通方程的互化，极坐标与直角坐标的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化，结合解析几何中相关曲线的图形及性质、三角函数、平面向量等在求点的坐标、参数的值或范围、曲线的方程、相关线段的长度或最值等方面命制题目，考查学生的转化水平，分析问题、解决问题的水平，以及数形结合思想、方程思想等思想方法的应用•该知识点为高考选考内容之一，试题以解答题形式为主，难度一般中档偏下【2019年咼考复习建议与咼考命题预测】《坐标系与参数方程》包括坐标系和参数方程两部分内容.坐标系应着重理解用极坐标系和平面直角坐标系解决问题的思想，以及两种坐标的关系与互化；极坐标系只要求能够表示给出简单图形的极坐标方程；参数方程只要求能够选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程，能实行普通方程与参数方程的互化，并会选择适当的参数，用参数方程表示某些曲线，解决相关问题.参数方程与普通方程的互化是高考对本部分知识考查的一个重点.预测2019年高考仍然考查参数方程与普通方程，极坐标方程与普通方程互化，重点是直线和圆的参数方程，极坐标方程，考查学生的转化与化归水平•题型主要为解答题形式，侧重考查参数方程和普通方程的互化，极坐标系与普通坐标系的互化•复习建议：复习本讲时，要抓住极坐标

6与直角坐标互化公式这个关键点，这样就能够把极坐标问题转化为直角坐标问题解决，同时复习以基础知识、基本方法为主；紧紧抓住直线的参数方程、圆的参数方程、圆锥曲线的参数方程的建立以及各参数方程中参数的几何意义，同时要熟练掌握参数方程与普通方程互化的一些方法•【2019年高考考点定位】高考对坐标系的考查极坐标与直角坐标的互化以及相关圆的极坐标问题；考查直线、圆和圆锥曲线的参数方程以及简单的应用问题•高考出现的题目往往是求曲线的极坐标方程、参数方程以及极坐标方程、参数方程与普通方程间的相互转化，并用极坐标方程、参数方程研究相关的距离问题，交点问题和位置关系的判定【考点1】极坐标【备考知识梳理】1.极坐标系与极坐标⑴极坐标系：如图所示，在平面上取一个定点O叫做极点；自点O引一条射线Ox叫做极轴;再选定一个长度单位、角度单位（通常取弧度）及其正方向（通常取逆时针方向为正方向），这样⑵极坐标：设M是平面上的任一点，极点O与点M的距离OM叫做点M的极径，记为；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的xOM叫做点M的极角，记为•有序数对，称为点M的极坐标，记作M,.一般地，不做特殊说明时，我们认为0,可取任意实数.1.极坐标与直角坐标的互化|Af（嘉y）/X®!-0X把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位.如是极坐标与直角坐标的互化公式如下表:图，设M是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为x,y和（0），于

7点M直角坐标x,y极坐标，互化xcos222xy公式ysinytan—x0x3.常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点，半径为r的圆TZ\r02圆心为r,0，半径为r的圆2rcos22圆心为r,一，半径为r的圆22rsin0过极点，倾斜角为的直线u(1)(R)或(R)(2)(0)和(0)过点a,0，与极轴垂直的直线3)>cosa22过点a,—，与极轴平行的直线21血豹1tsina0若圆心为M0,0，半径为r的圆方程为0.20cos4•注意：（1）在将直角坐标化为极坐标求极角时，易忽视判断点所在的象限（即角的终边的位置）.（2）在极坐标系下，点的极坐标不惟一性易忽视•极坐标，，，2kkZ,2kkZ表示同一点的坐标.【规律方法技巧】1.确定极坐标方程的四要素极点、极轴、长度单位、角度单位及其正方向，四者缺一不可.

82•极坐标与直角坐标的互化x轴正向重合；③取相(1)极坐标与直角坐标互化的前提条件：①极点与原点重合；②极轴与同的单位长度.(2)直角坐标方程化为极坐标方程比较容易，只要使用公式xcos及ysin直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程则相对困难一些，解此类问题常通过变形，构造形如cos,sin,2的形式，实行整体代换.(3)直角坐标x,y化为极坐标的步骤①使用tan②在0,2内由tanyx0求时，由直角坐标的符号特征判断点所在的象限.x(4)直角坐标方程与极坐标方程的互化，关键要掌握好互化公式，研究极坐标系下图形的性质,可转化直角坐标系的情境实行.3•求曲线的极坐标方程求曲线的极坐标方程的步骤：(1)建立适当的极坐标系，设P,是曲线上任意一点；(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径和极角之间的关系式；(3)将列出的关系式实行整理、化简，得出曲线的极坐标方程.4•注意：(1)在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一.(2)在曲线的方程实行互化时，一定要注意变量的范围.要注意转化的等价性.5.曲线的极坐标方程的应用：解决极坐标方程问题一般有两种思路.一是将极坐标方程化为直角坐标方程，求出交点的直角坐标，再将其化为极坐标；二是将曲线的极坐标方程联立，根据限制条件求出极坐标.要注意题目所给的限制条件及隐含条件.【考点针对训练】1.【2019届江西省萍乡市高三下学期第二次模拟】在直角坐标系xOy中，以原点0为极点,以x轴正半轴为极轴建立极坐标系,由曲线G:y2x上的点(x,y)按坐标变换1xx-2得y'2y到曲线C2.

9(1)求曲线C2的极坐标方程;(2)若射线0)和与曲线C2的交点分别为点A,B，求IAB|.【解析】(1)12,即2y121，代入C1:y2x,得y'22x'1,即曲线C?的2'—y2'2方程为y22xcos,ysin，所以C2的极坐标方程为2.2sin2cos1,(2)将11cos，得1——.(未化简，保留上式也可)1cos10)代入——，得2，即|OA|2,1cos111即|OB|—,B(—,).所以222A(2,3)，代入IABI寸2cos(寸孚2.【2019届云南省玉溪一中高三下第八次月考】极坐标系与直角坐标系位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴.已知曲线G的极坐标方程为曲线C的极坐标方程为sina(a0),射线0=,0=xOy有相同的长度单+与曲线C1分别交异于极点O的四点A,B,C,D.(I)若曲线C1关于曲线C2对称，求a的值，并把曲线C1和C化成直角坐标方程;(n)求|OA|•OCI+IOB|•OD|的值.J因拘曲线6关于曲线G对称，ci=(2)+031=2^2sin(p+^)=cosg>,2旷*ODh2V2-亍)◎-亍)|ai•W十05•【考点2】参数方程【备考知识梳理】1.参数方程的意义

10xft在平面直角坐标系中，如果曲线上的任意一点的坐标x,y都是某个变量的函数并且ygt对于t的每个允许值，由方程组所确定的点Mx,y都在这条曲线上，则该方程叫曲线的参数方程，联系变数x,y的变数t是参变数，简称参数•相对于参数方程来说，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.X。tcos.（t为参数）.y0tsin2.常见曲线的参数方程的一般形式(1)经过点F0x3,y°，倾斜角为的直线的参数方程为设p是直线上的任一点，则t表示有向线段uurF0P的数量.x(2)圆的参数方程yrcos（为参数）.rsin(3)圆锥曲线的参数方程22椭圆x2y21（aabb0)的参数方程为acosbsin为参数).2双曲线x2a2b2Ka0,b0)的参数方程为xasecybtan(为参数).抛物线y22px的参数方程为x2貳（t为参数）.y2pt3•参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式•一般地，能够通过消去参数而从参数方程得到普通方程.⑵如果知道变数x,y中的一个与参数t的关系，例如xft，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系ygt，那么,t就是曲线的参数方程.ygt【规律方法技巧】1•在求出曲线的参数方程后，通常利用消参法得出普通方程•一般地，消参数经常采用的是代入法和三角公式法，但将曲线的参数方程化为普通方程，不但仅把其中的参数消去，还要注意x,y的取值范围在消参前后应该是一致的，也就是说，要使得参数方程与普通方程等价，即它们二者要表示同一曲线.2•直线的参数方程及应用根据直线的参数方程的标准式中t的几何意义，有如下常用结论：

11⑴直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为ti,t2，则弦长Itit2；⑵定点M0是弦M1M2的中点？1t20；⑶设弦皿側2中点为M，则点M对应的参数值tM由此可求皿側2及中点坐标)•23•圆与圆锥曲线的参数方程及应用解决与圆、圆锥曲线的参数方程相关的综合问题时，要注意普通方程与参数方程的互化公式,主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上动点相关的问题，如最值、范围等•如果问题中的方程都是参数方程，那就要至少把其中的一个化为直角坐标方程.4•化参数方程为普通方程的方法：化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：①代入消元法；②加减消元法；③乘除消元法；④恒等式(三角的或代数的)消元法•参数方程通过代入消元或加减消元消去参数化为普通方程，不要忘了参数的范围，这个点最易忽视.5.利用直线参数方程中参数的几何意义求解问题的方法经过点P0x°,yo，倾斜角为(t为参数).若代B为xx0tcos的直线I的参数方程为yyotsin直线I上两点，其对应的参数分别为ti,t2，线段AB的中点为M，点M所对应的参数为to,则以下结论在解题中经常用到：(1)鮎^2^；(2)刊丨时;(3)|AB|*2t」；(4)|PA|PB|忖他.【考点针对训练】2y21.【2019届吉林四平一中高三五模】过点P(——，0)作倾斜角为的直线与曲线X2——1212交于点M,N.(2)求|PM||PN|的最小值及相对应的值.

12(1)写出直线的一个参数方程;(2)求|PM||PN|的最小值及相对应的值.

13【解析】⑴巡的一个参数方程为“〒亠曲口"为参数〉v=tsinX.«■⑵将苣线的参数方程代入+十2亍“得〔1+血％才+(^0cosa)r^^=0,则□1|刃f|.|EV冃孙|==—又直线与曲銭相交，A=lOcas'a-4x-k(1+sin*a)>0,得2(2+sin^a)2而为Mt!空二三仅w叩，即伐=兰或盘=艺时』P\f•有最小值2226&522.【2019届云南昆明高三适合性检测三】已知曲线C的极坐标方程是sin8cos0,以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系xOy.在直角坐标系中，倾斜角为的直线I过点P2,0.(I)写出曲线C的直角坐标方程和直线I的参数方程；(n)设点Q和点G的极坐标分别为2—2，若直线I经过点Q，且与曲线C相交'2''于A,B两点，求GAB的面积.【解析】(I)曲线C化为：2sin28cos0，再化为直角坐标方程为y28x，直x线I的参数方程为y2tcos,（t为参数）.tsin,(n)由(I)将点q232的极坐标化为直角坐标得0,2,易知直线I的倾斜角所以直线I的参数方程为2貞2(t为参数)，将I的参数方程代入曲线C的直角坐标2t,2方程，得2t,整理得:2t282t320,8224322560,设t,,t2为方程t2^2t320的两个根，则t.t282出t232，所以|AB||tt225616.由

14极坐标与直角坐标互化公式得G点的直角坐标2,0，易求点G到直线I的距离为迈L11d|PGsin454一2可2，所以SGab—d|AB-162^216近.22|2【应试技巧点拨】1•极坐标与直角坐标的互化（1）极坐标与直角坐标互化的前提条件：①极点与原点重合；②极轴与x轴正向重合；③取相同的单位长度.（2）直角坐标方程化为极坐标方程比较容易，只要使用公式xcos及ysin直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程则相对困难一些，解此类问题常通过变形，构造形如cos,sin,2的形式，实行整体代换.2•求曲线的极坐标方程求曲线的极坐标方程的步骤：⑴建立适当的极坐标系，设P,是曲线上任意一点；（2）由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径和极角之间的关系式；（3）将列出的关系式实行整理、化简，得出曲线的极坐标方程.3•参数方程与普通方程的互化在求出曲线的参数方程后，通常利用消参法得出普通方程•一般地，消参数经常采用的是代入法和三角公式法，但将曲线的参数方程化为普通方程，不但仅把其中的参数消去，还要注意x,y的取值范围在消参前后应该是一致的，也就是说，要使得参数方程与普通方程等价,即它们二者要表示同一曲线.4•直线的参数方程及应用根据直线的参数方程的标准式中t的几何意义，有如下常用结论：⑴直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为H，则弦长Itj；⑵定点M0是弦M1M2的中点？1t20；⑶设弦M1M2中点为M，则点M对应的参数值tMt1t22（由此可求|m1m2及中点坐标）.5•圆与圆锥曲线的参数方程及应用解决与圆、圆锥曲线的参数方程相关的综合问题时，要注意普通方程与参数方程的互化公式,

15主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上动点相关的问题，如最值、范围等.1.【2019年湖北八校高三四次联考】以直角坐标系的原点O为极点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点P的直角坐标为(1,2)，点M的极坐标为(3,)，若直线I过点P，且倾斜2角为一，圆C以M为圆心，3为半径.6(I)求直线I的参数方程和圆C的极坐标方程；(H)设直线I与圆C相交于AB两点，求PAPB.【解析】因为直线过点P(1,2)，倾斜角为，所以直线l的参数方程为6tcos—,6即tSin6,3t,21t,2(t为参数)，(答案不唯一，可酌情给分)圆的极坐标方程为6cos(2)6sinX(U)把3t,代入12t,x2(y3)29，得t2(31)t70,t1t27,设点A,B对应的参数分别为*，则PAt1,PBt2,PAPB7.2.【2019年安徽安庆二模】在平面直角坐标系中，以原点为极点，X轴正半轴为极轴建立极坐标系,并在两坐标系中取相同的长度单位•已知曲线C的极坐标方程为2cos,直线l的参数x1tcos方程为(t为参数,为直线的倾斜角).ytsin(I)写出直线I的普通方程和曲线C的直角坐标方程；(II)若直线I与曲线C有唯一的公共点，求角的大小.【解析】(I)弐&=2时值线r的普逋方程対为时;崖划的普通方輕为―〔仙左心+D■*!由口=2遇P得口二=*心B厨以+即为曲线C的直角坐标方程一(n)JEx=—1-^rcosdr-;sincr彳弋入整$里彳寻r-4fcos^r+3=0”由2=16cos'a-12=0;得cos:c=-祈L：A,we厲二空■或com二一也，故直线『倾斜角疣为三或空

163.【2019年江西高三九校联考】已知直线（为参数）•（1）设与Ci相交于A,B两点，求|ABI；i1t,23t.2（t为参数）,曲线C1:xcos,ysin,（2）若把曲线C1上各点的横坐标压缩为原来的1倍,纵坐标压缩为原来的3倍，得到曲线C2,22设点P是曲线C2上的一个动点，求它到直线的距离的最小值【解析】（1）的普通方程为y3（x1）,C1的普通方程为x2y21.联立方程组于1）,解得与g的交点为y1,13A(1,0),B(2,2),则|AB|1.(2)C2的参数方程为1x-cos23.y——sin21J3（为参数）.故点P的坐标是（一cos,——sin）,从而点22P到直线的距离是d|3cos2sin3|23[2sin()2],由此当44Sin(4)1时,d取得最小值，且最小值为-—（、241).x1cos4.[2019年安徽淮北一中高三模考】在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（ysin为参数）.以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（2）直线l的极坐标方程是2sin（1）求圆C的极坐标方程；^'3，射线OM:—与圆C的交点为0、P,33与直线I的交点为Q，求线段PQ的长.cos,ysin，所以圆C的【解析】（1）圆C的普通方程为x12y21，又x极坐标方程为2cos

17(2)设1为点P的极坐标，则有极坐标,2sin2—3，解得所以线段PQ的长为2.5.【2019年山西榆林高三二次模考】2cos，解得3，因为1，设2，所以PQ已知极坐标的极点与直角坐标系的原点重合,半轴重合，且长度单位相同，直线的极坐标方程为sin2为点Q的极轴与x正P2cos,2sin2,(参数0,2).(1)求点P轨迹的直角坐标方程;(2)求点P到直线I距离的最大值【解析】(1)设点Px,y，则2cos2sin0,2，消去参数得点P的轨迹方程:(2)sin得:3sin5，即sin3cos10，所以直线的直角坐标方程为y3x10因为P的轨迹为圆，圆心到直线距离为d——⑷32104，由数形结合得点P到直线距离的最大值为426.X二J+fCOSCZ1(ty=rsin£f6.【2019年江西南昌高三一模】己知曲线C的极坐标方程是p=cosB以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线I的参数方程是』是参数).(I)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程;(II)若直线，与曲线c相交于A、B两点，且|AB|=14，求直线的倾斜角a的值.

187.【解析】(门由p=4co^W：(.x-2):+j2=4：+[8迴代入圆的方程得（mo匹-1）:十&ski■=4化^He1-2rcosa-3=0,设WIj-fstr.a&+/■,=2亡OECt花=-37.7._一-_一xJ2cost【2019年江西师大附中高三测试】已知曲线C的参数方程为(t为参数),C在点1,1yv2sint处的切线为I，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系(1)求I的极坐标方程；(2)过点M(1,3)任作一直线交曲线C于A,B两点，求|AB|的最小值.44【解析】(1)sin2；曲线C的普通方程为x2y22,其在点1,1处的切线I的方程为xy2,对应的极坐标方程为cossin2，即sin—J24'(2)曲线C的方程x2y22可知曲线C为圆心在原点半径为2的圆•设圆心0,0到直线AB的距离为d，则可得ABd2AB22d2•由分析可知1dOM|孑|AB|mimin7.8.【2019年河南八市高三三模】在极坐标系中，已知曲线C:cos(4)1，过极点。作射线与曲线C交于点Q，在射线OQ上取一点P，使|OP|?|OQ|<2.(1)求点P的轨迹G的极坐标方程;(2)以极点O为直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立直角坐标系xOy，若直线

19x12t22(t为2t2—1,「I.i：y<3x与（1）中的曲线G相交于点E（异于点0）,与曲线C2:y参数）相交于点F,求EF的值.xx亡“召眉沼打所宋L.的扱里秩方穆.（II）C：擁坐际方程为处M加）斗把0寺代人5得角半斗把"-彳代入©得©—£十学「一M=a+处」冶十1.【2019届湖南省湘西自治州高三第二次质量】在极坐标系中，已知三点O0,0,A2,—,B22,—•24xx(1)求经过0,A,B的圆G的极坐标方程;(2)以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆C2的参数方程为xx若圆G与圆C2外切，求实数a的值.1acos（是参数），1asinxx【解析】（1）O0,0,A2,2,B22,对应的直角坐标分别为4O0,0,A0,2,B2,2，则过O,代B的圆的普通方程为x22x2y0,又因为xcosysin，代入可求得经过O,代B的圆C1的极坐标方程为22cosxx（是参数）对应的普通方程为a2，因为「x1acos(2)圆C2:y1asinxx圆G与圆C2外切，所以2a22，解得a2.xx10.【2019届河北沧州市高三4月调研】在直角坐标系中，直线tcosa,tsina（t为参

204cos数，0a)，在以0为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C:(I)求曲线C的直角坐标方程；uuuuuu(n)已知点P(2,1)，若直线I与曲线C交于A,B两点，且AP2PB，求tana.【解析】(I)C:4cos，得到2C:4cos，因为cos,小则曲线C的直角sin,坐标方程为x24x0.(n)将I:tcosa,代入x2tsina.y24x0，得到t22tsina0.t1t2©2si门乳又因为AP2PB，则t13,2t2，所以t1©t12sin3,2t2,a,解得:sina6,cosa10或cosa4410，则4tana155或tana15511.【2019届黑龙江省大庆实验中学高三上学期开学考试】已知在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程是x2t22t422(t是参数)，以原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程2cos().4(I)判断直线l与曲线C的位置关系；(n)设M为曲线C上任意一点，求xy的取值范围.

21【解析】C1）直绑的普通方程为宣-丄右迈"，曲线◎的克角坐标系下的方程为2.一阳务鈿宜”+心。的距勖心字⑹所以直資曲线C的位置关系対相离.(11)i§Af(^^+cos,JJ]x+j=cos^+sin^=5/2sin(^+—)E\_忑、血]・*■C的极坐标方程是12.【2019届东北三省哈尔滨师大附中等三校高三第一次模拟】已知曲线P=2cos,0以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直x—tm线L的参数方程是2（t为参数）.y1t（1）求曲线C的直角坐标方程和直线L的普通方程;（2）设点P(m,0），若直线L与曲线C交于A,B两点，且|PA|?|PB|=1，求实数m的值.【解析】（1）曲线C的极坐标方程是2cos，化为22cos，可得直角坐标方程:2y2x.直线L的参数方程是x3tm2yA（t为参数），消去参数t可得x3y(2)x3t把2y:t（t为参数），代入方程:x2y22x化为:t2(3m3)tm22m0,由A〉。，解得1m3.…t1t222m2m.t|PA||PB|1址2,•m2m1，解得m12.又满足△>0.•••实数m12.13.【2019届云南师范大学附属中学高考适合性】在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C:

22J—X3cos(为参数)，以平面直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴,ysin取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l：(cossin)=6.(1)在曲线C上求一点P,使点P到直线I的距离最大，并求出此最大值;(2)过点M(1,0)且与直线I平行的直线Il交C于A,B两点,求点M到A,B两点的距离之积.【解析】(1)直线I:(cossin)6化成普通方程为xy60.设点P的坐标为(3cos,sin)，则点P到直线l的距离为：d3cossinTT2sin—3?2n当sin31时，点P，此时dmax226(2)曲线C化成普通方程为1，即x23y23,li的参数方程为12t,_2(t2t,2为参数)代入x23y23化简得2t22t20，得t1t21，所以MAMB1讥|1.14.【2019届吉林省长春市普通高中高三质量监测】已知曲线C的参数方程为3cos(sin3)3)为参数)，直线I的极坐标方程为sin(—)4(1)写出曲线C的普通方程和直线I的直角坐标方程；(2)设点P为曲线C上的动点，求点P到直线I距离的最大值.2x2【解析】(1)曲线C的普通方程为一y1，直线I的直角坐标方程为x3(2)设点P坐标为(3cos,sin),点P到直线I的距离dJ®os』—42占巨sin(寸2所以点P到直线l距离的最大值为32.3)

23xy中,15.【2019届江西高安中学高三命题中心模拟三】在平面直角坐标系3)

24A点的直角坐标为(3+2cos,12sin)(为参数)•在以原点为极点，x轴正半m.(m为实数).轴为极轴的极坐标中，直线I的极坐标方程为2cos(—6(1)试求出动点A的轨迹方程(用普通方程表示)(2)设A点对应的轨迹为曲线C,若曲线C上存有四个点到直线I的距离为1,求实数m的取值范围.士鳥“s细消*得；(m)J故动点A的普通方程为(x-®+(y-D：=4j⑴由⑴机动点A的轨迹斥以〔矗1〕为园X汕半径的凰宙“3年+手)三朋|1幵得’0WsM—p血&-心0…7的普方趕为：屆—…"，喪使圆上有四个点1岸的距禽为「则坯须満足二^宀【一年原创真预测】<1>解谒me（0,4）-1.在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C:21薦，直线'：2sin(3)3.(I)判断曲线C与直线I的位置关系，写出直线I的参数方程;(n)设直线I与曲线C的两个交点分别为AB,求|AB|的值•22【解析】(I)曲线C的直角坐标方程为——1，直线I的直角坐标方程为\；3xyy3,515与y轴的交点为P(0,3)，将P(0,3)代入椭圆方程左边得0151，故点P(0,3)在椭圆的内部•所以直线I与曲线C相交•直线I的参数方程为（t为参数）.3,—t2x(n)直线I的参数方程为-（t为参数）3t22,曲线C的直角坐标方程为—52工1,15将直线I的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，有

253(1t)2(悩3—t)215,t22t80,设两根为,t2ti2,t2ti&22(t2ti)24t2b(2)24(8)6.【入选理由】本题考查参数方程与极坐标方程问题，利用直线的参数方程的特征实现直线的xcos参数方程与普通方程的互化，由实现曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化;ysin求弦长通过联立直线的参数方程与曲线的方程即可求解，意在考查学生转化和化归思想的应用水平和基本运算水平•本题考查知识基础，有一定的综合性，故选此题2•已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与X轴的非负半轴重合.若曲线C的极坐标方程为x6cos2sin，直线l的参数方程为y2(t为参数).2t(1)求曲线C的直角坐标方程与直线I的普通方程;(2)设点Q(1,2)，直线I与曲线C交于A,B两点,|QA|gQB|的值.【解析】(1)由6cos2sin，得26cossin,所以x22y6x2y,即曲线C的直角坐标方程为X26x2y0•由12t,消去参数t,得直线I的22t普通方程为xy30.(2)由(1)知直线I的参数方程转化为厂2t22t2，代入曲线C的直角坐标方程X2y26x2y0得t232t50.由韦达定理，得t1t25，则|QA|gQB||览|5.【入选理由】本题主要考查直线的参数方程与圆的极坐标方程、直线与圆的位置关系等知识,意在考查等价转化水平、逻辑思维水平、运算求解水平.本题常规题，有一定的综合性，难度适中，故选此题.x33cos3•在直角坐标系xOy中，直线I的方程是x2y10,圆C的参数方程是

26y3sin(为参数)，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.(I)求直线I和圆C的极坐标方程；(n)已知射线OM:(其中0n)与圆C交于O,P两点，射线OQ:n22与直线I交于Q点，若OPOQ6，求的值.【解析】(1)将兀二以6夕小二pEn列弋入直细的直角坐标方程.得直细的根坐标方程为EG+g—im即"忑歸•趾的普通方程是所沁的极坐标(II)宙题蕙得OP?见12cosa-sina―型竺一=6j解得tan^=b又因为故a=-2cosa-sina2-4【入选理由】本题主要考查直线的直角坐标方程和极坐标方程的转化、圆的参数方程和极坐标方程的转化等基础知识，意在考查转化与化归水平、逻辑思维水平、基本运算水平•本题常规题，考查知识基础，难度适中，故选此题.4•以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为4Sin(6).(I)求圆C的直角坐标方程;(n)O为极点，A,B为圆C上的两点，且AOB—,求OAOB的最大值.【解析】(I)：圆C的极坐标方程为4sin(—),624sin(6)4(*3.—sin21-cos2ysin,22•••xy2J3y2x,•••圆(n)不妨设A的极角为,B的极角为|oa|OB4sin64sin6、「222)，又•••xy,xcos,—22C的直角坐标方程为xy2x23y0.，则343sin，…当2时，OA|OB取得最

27大值43.【入选理由】本题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，涉及极坐标方程与平面直角坐标方程的互化、参数方程与普通方程的互化等基础知识，意在考查转化与化归水平、基本运算水平，方程思想与数形结合思想•本题考查知识基础，有一定的新意，故选此题.5•在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C:2sin4cos=0,直线l过点M(o,4)且斜率为-2.(I)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，写出直线I的标准参数方程；(n)若直线I与曲线C交于A、B两点，求|AB|的值•【解析】(I)由sin2sin,xcos,24cos=0得，（sin）4cos,vy•••曲线C的直角坐标方程为y24x，设直线I的倾斜角为，则tan为钝角,由平方关系可解得，cos5.一,sin525，•直线I的标准参数方程为鶯5丄x——t5（t为参数）5+y4t55t(n)由(I)知直线I的标准参数方程为4x整理得525（t为参数），代入y/25+4+15t255t200,设A,B点对应的参数分别为ti,t2，则tit255,电20，则|AB|=|tit2|=魚t2）24tt=（55）2420=35.【入选理由】本题主要考查参数方程与普通方程的互化、极坐标方程与直角坐标方程的互化、直线参数方程的应用等基础知识，意在考查转化与化归水平、基本运算水平，方程思想与数形结合思想•本题考查知识基础，是一个常规题，也是高考常考题型，故选此题.6•已知直线I的极坐标方程为2cos(—)4xt1，曲线C的参数方程是2(t为参数

28yt

292)，直线l与曲1)，以极点为原点，极轴为x轴正方向建立直角坐标系，点M(_2线C交于A,B两点.(I)求直线l与曲线C的普通方程;2(n)求|MA||MBI2的值.【解析】(I)vcos(—)41,•cossin1•••直线l的普通方程为t2消去t得yt2x2，曲线C的普通方程为x2.(n)显然直线y10，联立得0，消去y得x210,•1X125,x22号，不妨设A(2V532‘225)，B(1/A，M(12<512'2•|MA|21,|MB|2|MA|2|MB|21125.【入选理由】本题主要考查极坐标方程、参数方程与普通方程的转化、直线与抛物线的位置关系等基础知识，意在考查转化与化归水平、基本运算水平，方程思想与数形结合思想.本题考查知识基础，是一个常规题，也是高考常考题型，故选此题.7•在平面直角坐标系xOy和及坐标系中，极点与原点重合，极轴与x轴非负半轴重合，直线l的参数方程为x1t(t为参数)，曲线C:24sin20.y23t(I)将直线l的方程化为普通方程，将曲线C的方程化为直角坐标方程;(n)若直线l与曲线交于代B，求|AB|.

30(II)直却的勢数方程化为标准型」【解析】(1)直细的普通方程対J5—2+曲=0』曲线E的直角坐标方?1^^±1--41+2=05r为舉数片代入曲线C的直角坐标方程得r+^-l=O；设A,B对应的参数分别为.L,则•:[7昭7所臥|肋|=|窃一©|=少•【入选理由】本题考查参数方程与普通方程互化、极坐标方程与直角坐标方程互化、直线参数方程应用等基础知识，意在考查学生转化和化归思想的应用水平和基本运算水平•本题给出直线的参数方程与圆的极坐标方程，要求考生据此求直线弦长，此类型能够说是高考的必考点，故选此题.8•在直角坐标系中，以原点为极点，X轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系.已知直线1的极坐标方程为cossin2，曲线C的极坐标方程为sin22pcos(p0)•(1)设t为参数，右X22——t,求直线1的参数方程；2(2)已知直线I与曲线C交于P,Q，设M(2,4)，且|PQ|2|MP||MQ|，求实数p的值.【解析】(1)将xcos,ysin，代入直线I的极坐标方程得直角坐标方程xy20•再将x222—t,代入直线I的直角坐标方程，得y4—t，所以直22o2X线1的参数方程为2t2(t为参数).2y4——t2°、由psi)=lpcos&(p>0)^(psin=2j3pcoi^(ip>0)f由龙二£仁"乱少二Qsin0代入#得y=2^>0)・将直结I的畫数方程与C的直角坐标方程联立,得r-2>/2(4+Jp)f-F8(4+Jp)=0l<*)A=SA4-F^)>0.设点出2分別对应睾数『沁恰为上述方程的根，则|砂|=如理卜如观冃电-勺|.由題设禅即笛+拶-4往十汀由⑴得片吗"71(4+初|V：|=8(4+p)>0,则W(4+Pr-5(4^>=0T得p=l或^=-4,因为p>0,所以尹=1.【入选理由】本题主要考查抛物线极坐标方程、直线的极坐标方程与参数方程的互化、直线参数方程的几何意义的应用，意在考查逻辑思维水平、等价转化的水平、运算求解水平，以及方程思想、转化思想的应用．本题考查知识基础，综合性强，是高考出题方向，故选此题