4【答案】311212【解析］由图易知a0=1,q=3,a2=4，贝ya〔=Cn3,a2=Cn(_)=4，即aan(n-1—解得a=3.【2019年高考命题预测】,重点是二项式定理的通项公式、纵观近几年各地高考，我们能够发现对二项式定理的考查项式系数及项的系数；以考查基本概念、基础知识为主，如系数和、求某项的系数、求常数项、求有理项、求所含参数的值或范围等；难度不大，属于中档题和容易题，题型为选择题或填空题•二项式定理是高考数学相对独立的内容，二项式定理的知识在高考中经常以客观题的形式出现，多为课本例题、习题迁移的改编题，难度不大，个别题有一定的难度，重点考查使用二项式定理去解决问题的水平和逻辑划分，化归转化等思想方法.为此，只要我们把握住二项式定理及其系数性质，会把实际问题化归为数学模型问题或方程问题去解决，就可顺利获解•预测2019年高考仍可能以二项式的通项，二项式系数，展开式系数为主，可单独考查本节知识，也可出现与其他章节知识结合的小综合.如可能与定积分结合出题，试题难度中等.复习建议：⑴使用二项式定理一定要牢记通项「.1二C：an_rbr,注意abn与ban虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不相同的，我们一定要注意顺序问题•另外二项展开式的二项式系数与该项的（字母）系数是两个不同的概念，前者只指cn，而后者是字母外的部分.⑵对于二项式系数问题，应注意以下几点：①求二项式所有项的系数和，可采用“特殊值取代法”，通常令字母变量的值为1；②关于组合恒等式的证明，常采用“构造法”一一构造函数或构造同一问题的两种算法；③证明不等式时，应注意使用放缩法.⑶求二项展开式中指定的项，通常是先根据已知条件求r，再求Tr1，有时还需先求n,再求r,才能求出Tr⑷有些三项展开式问题能够变形为二项式问题加以解决；有时也能够通过组合解决，但要注
5意分类清楚，不重不漏•⑸对于二项式系数问题，首先要熟记二项式系数的性质，其次要掌握赋值法，赋值法是解决二项式系数问题的一个重要手段.⑹近似计算要首先观察精确度，然后选择展开式中若干项•⑺用二项式定理证明整除问题，一般将被除式变为相关除式的二项式的形式再展开，常采用“配凑法”“消去法”配合整除的相关知识来解决.【20佃年高考考点定位】本节内容高考的重点就是利用二项式定理的通项公式、二项式系数及项的系数；以考查基本概念、基础知识为主，如系数和、求某项的系数、求常数项、求有理项、求所含参数的值或范围等，题型既有选择题也有填空题，难度中等偏下，而小题目综合化是这部分内容的考查一种趋势.【考点】二项式定理【备考知识梳理】1.二项式定理(a+b$=C：anHfcnanJb++C：an_rbr+|忖C：bn(n^N*)，这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做(a+b)的二项展开式，其中的系数cn(^0,1,2,31,n)叫做二项式系数•式中的Cnran」br叫做二项展开式的通项，用Trd表示，即展开式的第r1项；Trd二C；an_rbr.2•二项展开式形式上的特点：(1)项数为n1.(2)各项的次数都等于二项式的幕指数n,即a与b的指数的和为n.(3)字母a按降幕排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幕排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.(4)二项式的系数从c0,C：，一直到V,C：.3.二项式系数的性质：(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即nco,Cn-C；；4，-,cm增减性与最大值：二项式系数c；，当门1n+1时，二项式系数是递增的；由对称性知：当r：•——时，二项式系数是递减的.当n是偶数2nn1n时，中间的一项C］取得最大值•当n是奇数时，中间两项Cn2和Cn2相等，且同时取得最大值.(3)各二项式系数的和：(a+b)的展开式的各个二项式系数的和等于2n，即CniIorcnnio^2n,二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即=cn+c"c"IH2n」,
64.注意：（1）.分清cnan-rbr是第r1项，而不是第r项.（2）•在通项公式中，含有Trd、C：、a、b、n、r这六个参数，只有a、b、n、r是独立的，在未知n、r的情况下，用通项公式解题，一般都需要首先将通式转化为方程（组）求出n、r,然后代入通项公式求解.（3）•求二项展开式中的一些特殊项，如系数最大项，常数项等，通常都是先利用通项公式由题意列方程，求出r，再求所需的某项；有时则需先求n,计算时要注意n和r的取值范围以及它们之间的大小关系.（4）在Trd=c；,an-cbr中，c就是该项的二项式系数，它与a,b的值无关；而Tr,项的系数是指化简后字母外的数.5•二项式的应用：（1）求某些多项式系数的和；（2）证明一些简单的组合恒等式；（3）证明整除性，①求数的末位；②数的整除性及求系数；③简单多项式的整除问题；（4）近似计算.当x|充分小时，我们常用下列公式估计近似值：①（1+x）n；t：1+nx；—nn（n—1）2②1x：1nxx；（5）证明不等式.2【规律方法技巧】1.在应用通项公式时，要注意以下几点：①它表示二项展开式的任意项，只要n与r确定，该项就随之确定；②Tr1是展开式中的第r-1项，而不是第r项；③公式中，a,b的指数和为n且a,b不能随便颠倒位置；④对二项式（a-b）n展开式的通项公式要特别注意符号问题•⑤在二项式定理的应用中，“赋值思想”是一种重要方法，是处理组合数问题、系数问题的经典方法.1.二项定理问题的处理方法和技巧：⑴使用二项式定理一定要牢记通项T「二cnan_rbr，注意（a+b『与（b+a$虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不同的，一定要注意顺序问题，另外二项展开式的二项式系数与该项的（字母）系数是两个不同的概念，前者只指c：,而后者是字母外的部分•前者只与n和r相关，恒为正，后者还与a,b相关，可正可负.⑵对于二项式系数问题，应注意以下几点：①求二项式所有项的系数和，可采用“特殊值取代法”，通常令字母变量的值为1；②关于组合恒等式的证明，常采用“构造法”一一构造函
7数或构造同一问题的两种算法；③证明不等式时，应注意使用放缩法.⑶求二项展开式中指定的项，通常是先根据已知条件求r，再求Tr1，有时还需先求n，再求r，才能求出Tr仁⑷有些三项展开式问题能够变形为二项式问题加以解决；有时也能够通过组合解决，但要注意分类清楚，不重不漏•⑸对于二项式系数问题，首先要熟记二项式系数的性质，其次要掌握赋值法，赋值法是解决二项式系数问题的一个重要手段.⑹近似计算要首先观察精确度，然后选择展开式中若干项•⑺用二项式定理证明整除问题，一般将被除式变为相关除式的二项式的形式再展开，常采用“配凑法”“消去法”配合整除的相关知识来解决.多项式乘法的进位规则：在求系数过程中，尽量先化简，降底数的运算级别，尽量化成加减运算，在运算过程能够适当注意令值法的使用，例如求常数项，可令x=0.在二项式的展开式中，要注意项的系数和二项式系数的区别•1.排列组合在二项展开式中的应用：ab“展开式能够由次数、项数和系数来确定.(1)次数的确定：从n个相同的ab中各取一个(a或b)乘起来，能够构成展开式中的一项，展开式中项的形式是mapbq，其中p,qN,p，q=n.(2)项数的确定：满足条件p,qN,pq二n的p,q共n1组.即将a-bn展开共2n项，合并同类项后共n•1项.(3)系数的确定：展开式中含apbq(p+q=n)项的系数为(即p个a,q个b的排列数)所以(a+b)n展开式中的通项(r=0,1,2,31,n),abi；rC^af卜|cnan'b••C；an_cbr•汁心『nN*这种方法比数学归纳法推导二项式定理更具一般性和创造性，不但可二项展开，也可三项展开，四项展开等.2.求几个二项式积的展开式中某项的系数或特定项时，一般要根据这几个二项式的结构特征实行分类搭配，分类时一般以一个二项式逐项分类，分析其他二项式应满足的条件，然后再求解结果..n2n3.“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如axb、ax2bxc(a,b,c•R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x二1即可；对形如naxby(a,b•R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x=y=1即可.“赋值法”是求二项展开式系数问题常用的方法，注意取值要有利于问题的解决，能够取一个值或几个
8值，也能够取几组值，解题易出现漏项等情况，应引起注意•例：若
9和为a。乜2备怦=f°)+f卜1),偶数项系数之和为ai+a3屮=f⑴—f(一1),令22x=0,可得a0=f0.6.求展开式系数最大项：如求(ax+b)n(a,b壬R)的展开式系数最大的项，一般是采用待A_Ak1定系数法，设展开式各项系数分别为A'A^AJ，代4，且第k项系数最大，应用IAk亠Ak1从而解出k来，即得.7.(1)利用二项式定理解决整除问题时，关键是实行合理地变形构造二项式，应注意：要证明一个式子能被另一个式子整除，只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可.(2)求余数问题时，应明确被除式fx与除式gx(gx-0)，商式qx与余式的关系及余式的范围.(3)展开式中常数项、有理项的特征是通项中未知数的指数分别为零和整数.解决这类问题时，先要合并通项中同一字母的指数，再根据上述特征实行分析.(4)相关求二项展开式中的项、系数、参数值或取值范围等，一般要利用通项公式，使用方程思想实行求值，通过解不等式(组)求取值范围.【考点针对训练】1.已知(x4)n的展开式的前三项的系数成等差数列；2对x(1)求(J7+—^)n展开式中所有的有理项；2#x2(2)求(•,X-2)n展开式中系数的绝对值最大的项。X17【答案】n=8o(1)T1=x4,T4=35x,飞二1x「(2)T6--1792^_2,T7=1792x_11,8256【解析】6,7项..试题分析：根据已知条件展开式的前三项的系数成等差数列能够求出n的值，⑴求展开式中所有的项，将有理项选出；⑵通过判断系数绝对值最大的两项分别为第
10题解析nn—1七—若为等差数列，则有nn-12T2-T,T3,则有n=1•8子(7X+—)展开，则有理项有2如1256⑵展开式中系数的绝对值最大的项为5_171792x12同理11T7=1792X，则其系数的绝对值的最大项为T6和T7.Z1、n2.求的展开式中的常数项，其中n是7777—10除以19的余数.<2x5丿【答案】1685【解析】试题分析：由兒是77"'-10除以19的余数求了出科二10,再由二项展幵式的通项求常数项即可.试题解析：77*'-10=(76+1)"-10=-6^-9除次19的余數是10,所次打=10.设兀就是展开式中的常数项,4/=4所CAT-=—'-—!168=所以屣幵式中的常数项为—.【两年模拟详解析】二项展开式中，第4项的二项式系数与第3项的二项式系数的比为
11【答案】(1)n=10；(2)180;(3)1.【解析】试题分析：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，求展开式的系数和，属于基础题•第一问，直C3O接利用条件可得，求得n的值；第二问，在二项展开式的通项公式中，令x的幕指数C：3等于3，求出r的值，即可求得展开式中x3项的系数.第三问，在(、、x_2)10二项展开式中，令x=1，可得式子CO-2C10-4C：-8G3。•-1024C^10)的值.试题解析1)由第4项的二项式系数与第3项的二项式系数的比/呂：3,可得4=-^氏3n-2S化简可得—求得旳=10・13⑵宙于(石-fr二项展幵式的通项公式为匚［=(-2)9】女"，令5-尸=3,求得—2,可得展幵式中T项的系数为(-2)叱$二180■?10⑶由二项式左理可得(長—(一2)；所以令x=l得常-2Cj>+4g-8C^+-+1024CJJ={1-2尸=1”2•已知(t2-4)10二a0-a1ta2t2a3t3Ha20t20•(1)求a2的值(2)求a1a3a^'弘的值(3)求a0a2/Ji'a20的值•【答案】(1)-4910(2)0(3)310【解析】求(2)(3)中奇数项和偶数项系数和时分别令t=1,t=-1，将得到的两式整理即可求得
12试题分析：(1)求a2时利用二项式定理的展开式通项公式，取x的次数为2时求对应的系数；求(2)(3)中奇数项和偶数项系数和时分别令t=1,t=-1，将得到的两式整理即可求得
13试题解析：(1)a?=C：o彳—4$=—49如0(2)令t=1得:a0■a-\■#2]]'a?0=310,令t--1得:a0-q■'a2^310a!asa^a19=0(3)由(2)得a。a2■a^M'a20=33•若(6x16—广展开式中第二、\'x三、四项的二项式系数成等差数列.(1)求n的值及展开式中二项式系数最大的项.(2)此展开式中是否有常数项，为什么？13【答案】(1)n=7,3x荷,35x兀(2)无常数项【解析】试题分析：首先求得二项式定理的展开式通项，得到第二、三、四项的二项式系数，列出等式关系求得n值，二项式系数最大的项为中间的一项或两项，常数项即通项中x的次数为零的项试题解析：(1)解：由展开式中第二、三、四项的二项式系数成等差数列，得2c：=cn+c；解之得n=7所以展开式中二项式系数最大的项为中间两项，它们分别是1=35x亦3=35x^⑵由Tr1=C76x6-7-2r二C；x〒7-2r;令；2r=0得r=；,(舍去)62所以无常数项—24•已知(、*2)n的展开式中，只有第六项的二项式系数最大.x(I)求该展开式中所有有理项的项数；
14(n)求该展开式中系数最大的项._25_25【答案】(1)6;(2)?8=Ci7°27x丁=15360x~【解析】试题分析：(1)先由只有第六项的二项式系数最大求出n=10，再利用通项实行求解；(2)设第Tri项的系数最大，利用r^rrA^rAC102-C102实行求解.0；2「2「2山试题解析：(I)由题意可知:10丄•Tr^CwX^2rx^rn+1=6二n=102'10_5r=G02rxF,(0乞r乞10,且rN)要求该展开式中的有理项，只需令10一5「.z,2.r=0,2,4,6,8,10，所有有理项的项数为6项.(I【)设第為项的系数最大,JO-r尸+11922解得：-15(2)本题考察的是求展开式中的系数最大项，设第k1项系数最大，只需建立两个不等式
16Tk1_Tk，求出k的取值范围，再根据kN就能够求出k的值，最后根据二项式定理展Tk1_Tk2开式的公式即可写出相对应的系数最大的项。试砸解析：由题竜,2a+Sxl)41-2"=99Z=5；^==3rC；x^~,13::22⑴展开式中二〕页式系数最犬的项是忑=3叱:门=90』：7\=3'C^x^-270x^；⑵由*3^a37（3*'—'于左去严解得％k=4-=3叱;点=42戸为所求的系数最大的爲考点：（1）二项式定理（2）二项式系数的性质6.解下列方程：C：5.Cx；3■A【答案】14n!n!的应用，根据公式就能够把所给方程【解析】试题分析：本题主要考察组合数公式Cnm二m!（n—m）!化简成简单方程，就能够解出答案。本题易错点在记错公式，从而导致化简出错，本题中的上下标较多，化简时要多加注意。试题解析:(x5)(x4)(x4)x35!一得x=145!47•在（、.Xn的展开式中，前三项的系数成等差数列。（I）求展开式中含有x的项的系数;（n）求展开式中的有理项。【答案】（D38；（n）T1d;「5曽；T「256x2【解析】n的式子,试题分析：（I）首先将前三项的系数写出，然后因为是等差数列，所以列出关于求解n,按通项公式列「1项，判定当r为何值是，会出现含x的项；（n）同样写31r43「1二rC8rx4，有理项指4-r为整数，O^r乞8.24
17101112C0；C1；Cn，由题意24n2—9n■8=0=（舍去）8_r（I）设展开式中含有x的项为Tr彳.=C；r1.-41r'—rxrC8x223则4-4「,4，含有x的项为第5叽它的系数为24C835（n）设展开式中第r-1项为有理项，则Tr,8_r二c；••!"2r当r=0、4、时对应的项为有理项，有理项分别为:壬=x4；T5=3fx；T98256x2&设数列｛an｝是等比数列,a「C黑心，公比q是x4x24的展开式中的第二项（按_1试题解析：解:Gx2，x）n的展开式中前三项的系数分别为1111x的降幕排列）.(1)用n、x表示通项an与前n项和S;1111(2)若【答案】An+i=C1S1+c]S+…+CnnSn+C；/S+1，用n、x表示A+i."n,(x=1)f(n+1)2n⑴an=xnJL,Sn=〔_xn；(2)An1=2n1_(〔•X)n1[—匚;一【解析】试题分析：（1）根据组合数的性质可求得m的值,根据二项展开式的通项可求得q的值,从而可求得an，Sn.（2）用倒序相加法及组合数的性质可求得A1.试题解析：解：（1）•••a^C23m3见‘,2m3_3m，即m-2-1〕m兰3m_31111又由ix-14x2x，1
18pW)n丄••an=X,Sn-1—Xn[EXE(2)当x=1时，Sn1=n・1,代十ocn\+^/2。2卅+3cnu++ncn\+(n+1阳①又.An1=n1Cn1nCn1n_1C^dMCn10Cn1，②由*，①+②，得2人卅=(n+1XC：*+C：申+c[』4卜•-An1=n12n.1-xn11-X当X=1时,An十戶乩+丁賂+工陆忖1-X1-X1-X軒出g1十+賂+cn\++c：：)-(xct+x2cn\+x3cnv+xtc：<)]=亠歹卅—1—(1+xcn卑+x2cmB+xn4c：：—1)]1-X-n-1n12—(1+x)11-x〔(n+1)2n二An+=<2n41—(1+x)nH1-.1—X9.已知二项式(n•N*)展开式中，前三项的二项式系数和是56，求：(I)求n的值;(n)展开式中的常数项.【答案】(I)n=10；(n)—256【解析】试题分析：(I)前三项二项式系数分别为c0,C；,C：,由题意根据组合数的运算可求得n•(n)由(I)知n=10,根据二项式的展开式Tr1,令x的系数为0可求得r的值，从而可求得其常数项.
19试题解析：解析：(I)C0•C；•C：=56二1+n+n(n-°=56nn2+n—110=02=n=10,n--11(舍去).(n)(x21010展开式的第r1项是G；(x2)10」rr1r20謬r=C；0(2)rx2,20——=0nr=8，21故展开式中的常数项是c80(')82_45_25610.(1)若(1x)n的展开式中,x3的系数是x的系数的7倍，求n；(2)已知(ax的展开式中，x3的系数是x2的系数与x4的系数的等差中项(3)已知(2xxlgx)8的展开式中，二项式系数最大的项的值等于1120,求x.【答案】(1)n=8；(2)a=1-也0或a=1+W°.(3)x"或x=—5510【解析】，列试题分析：不必将所有式子实行展开，本题只需要通过对二项式定理的理解求出各项的系数，根据各小题所给条件(其中包括融入了相关等差数列的应用，级数展开最大项的选择等)出相对应的方程，并解出方程解即本题答案，在解方程时要注意多解的适用性，舍掉不必要的解。试题解析：(1)x3的二项式系数是c；,x的二项式系数是cn.依题意有c；=7cn,即⑴-恥-2)=7n.3!整理，得2n-3n-40=0,解得n=8.(舍去n--5.)(2)依题意，得523443C7aC7a'2C7a,即21a235a4=70a3,
20a=0,25a-10a3=0.解得a=1-』或a=1•』.55(3)依题意得C；(2x)4(xlgx)4=1120,即x4(1lgx)=1,即lg2xIgx=0,解得lgx=0，或lgx=-1,1所以x=1或x=—.11.已知10•的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列（1）证明展开式中没有常数项;（2）求展开式中的所有有理项;【答案】（1）详见解析；（2）「=x4,T5=35x,T91x，8256【解析】试題分析:（1）根据二项展幵式的通项求得兩三项系数'根据題菖，由等差中项可求得关于幷的方程，从而可求得M的值•因为此展开式至少有3项故M>2.再根据二顶展开式的通项求第F+1项，令X的显指数为0求心当0兰尸壬8且尸亡"时说明此展幵式有常数项，否则说明此展开式无常数项.（2）由（1）可知L1£%^=（-1/号•厂厂，当且仅当号尹为整数时心楠理陽又因为0"空且“仏所以可得r的值，从而可得其有理项■试题解析：解：依题意，前三项系数的绝对值分别是1厂，C则2C：丄=1+C；12n2-9n8=0,n=8n=1舍去r8」rr16-3rC8X亍XJ一1rC：若Ty为常数项，当且仅当16才竺=0,即3r=16.-rN,这不可能，故展开式中没有常数项。（2）Tr+为有理项，当且仅当161竺为整数，4常0乞r乞8,r•N,.r=0,4,8，即展开式中有理项共有三项，它们是
213351T1一X,T5X,T9X8256n2n*12•已知：2x-1a0-a1xa2x亠亠anx（n•N,n为常数）.（1）求|a°|+|aj+匾|+...+血|；（2）我们知道二项式（1+x）n的展开式（1+x）n=C：+C：x+C；x2+…+C：xn.若该等式两边对x求导得：n（1+x）n_L=C：+2C：x+3C3x2…+nC：xn_L,令x=1,可得Cn'2Cn3Cn-nC；=n-2nJt.利用此方法解答以下问题：①求泊2a2+3a3...nan；②求12a122a232a3-...n2an.【答案】（1）（-3）；（2）①2n:②4n2-2n【解析】试题分析：（1）利用赋值法，令x=「1即可；（2）①由题目给出的条件可知，需要对已知的式子实行两边求导，再利用赋值法令x=1即可；②因为本题中出现了平方，所以需要两边先同时乘以x,再求导赋值即可.试题解析：（1）|a0|+|aj+|a3|+...+|an|即为（2x-1）n的各项系数的绝对值之和且绝对值之和为正数，令x=-1,则|a0|+|q|+|旬+...+|an|=卜3j；
22(2)对等式两边求导得：2n(2x—I)*5-1=at++...+.令x=l得1兔+2&]一3碣+..”+阳1,二2“.(3)将2疏2卞一1产1=葩+2a2x+.„+两边同乘x得2n(2龙一1)*~匕=曲工+2空『+3门£+…+$叫工笃两边再对家求导:2珂2(两—1)(2工一91兀+(2兀一1)"~1]—珂+2亠迈£+3"口圧+…+并‘心产1令x=l得1廿+2亠口*+3’氐+___+□"%=4/—2n13.设F(n)=ai-a?Cn■a3C；—a4CJ++(—1)nan屆：(n^2,n^N*).(1)若数列订僉的各项均为1,求证：F(n)=0；(2)若对任意大于等于2的正整数n,都有F(n)=0恒成立，试证明数列1a「是等差数列.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解析】试题分析：(1)由二项式定理得(1x)^C°CnxC2x2CnX^-Cnnxn，令x=-1,即可得0=C：-cn+C：-d3H+(-1)nC：，所以F(n)=0得证；(2)使用数学归纳法即可证明.试题解析：(1)因数列｛务｝满足各项为1,即巩莎二Cj-U+G—U十…由(1+x)n=+C：尤+C：h+C^+■■■+，令兀二一13贝胆YY即巩祷=0.(2)当n=2时，F(2)-a2C；a3C；=0,即卩2a2-a1a3，所以数列GJ的前3项成等差数列.假设当n=k时，由F(k)=a“-azC：+a3C：-aqCkH+(—1)^+2；=0,可得数列23两式相减得,
24-a2(Ck+1—Ck)*a3(Ck+1—Cf»1■(-1)ak+i(Ck+i—'Ck)■(-1)ak+2Ck+1=0，因cm,vm,所以~a2Cka3Ck—a4CkH■(-1)ak+1Ck■(-1)ak2Ck-0，即a2Ck-aC：+a4CkH+(-疔屯+心二+(-1)^/：=0,由假设可知a2,a3|a4l,ak+1,ak2也成等差数列，从而数列祐丿的前k2项成等差数列.综上所述，若F(n)=0对任意n_3恒成立，则数列:a/f是等差数列.14.已知(x2)n=a0a1(x-1)a2(x-1)2+an(x—1)n(nN*).n⑴求a。及Snq;i4⑵试比较Sn与(n-2)3n2n2的大小，并说明理由.n【答案】(1)a°=3naj=4n-3n；(2)当n=1时，Sn,n-2)3n+2n2;当n=2或3时,i壬Sn(n-2)3n+2n2；当n>4时，Sn(n-2)3n+2n2.【解析】试题分析：(1)本题是二项式定理的应用，求二项展开式中的系数，一般用赋值法，本题中令x=1可得冼，令x=2可得a0a^H-an;(2)由(1)知题意就是要比较4n与(n-1)3n+2n2的大小，它们都是增函数，但从增速上看，当n较大时，4n增速较大，取特殊值观察结论，分别取n=1,2,3,4,5，猜想当n_4时有4n•(n，1)・3n，2n2，可试用数学归纳法证明•试题解折：⑴令归，则兔=3笃令22,则匕产4笃所以匕严半—班；■0L*1⑵要比较工与(旳-2)3"+2/的大小，只要比较$与5-1妙+緒的大小.当n-lR也4a>(n-l)3*+2n3,当曲或列寸』斗刊C(M—1)于+2才'当或5时』鄆A®—1)护+2才猜想：当n>4时，4n•(n-1)3n+2n2.下面用数学归纳法证明:
25①由上述过程可知，当n=4时，结论成立.②假设当n二k(k>4,k・N*)时结论成立，即4k.(k-1)3k+2k2,两边同乘以4，得4k+1.4(k-1)3k+2k2=k3k+1+2(k+1)2+[(k_4)3k+6k2_4k_2],k2k2而(k-4)3+6k—4k—2=(k—4)3+6(k—k—2)+2k+10=(k-4)3k+6(k-2)(k+1)+2k+100，所以4k+1[(k+1)-1]3k+1+2(k+1)2，即n=k+1时结论也成立.由①②可知，当n>4时，4n•(n-1)3n+2n2成立.综上所述，当n=1时，Sn,n-2)3n+2n2；当n=2或3时，Sn,n-2)3n+2n2；当n>4时，Sn(n-2)3n+2n2.15•设a,b,nN,且a=b,对于二项式(_ai“；b)n.(1)当n=3,4时，分别将该二项式表示为•.，p-、.、q(p,q・N)的形式；(2)求证：存有p,q•N,使得等式(、、a---b)n=q与(a-b)n=p-q同时成立.【答案】(1)(.a-.b)3=a(a3b)2-b(b3a)2(a—b)4=.(a2—6ab—b2)2-.16ab(a—b)2；(2)见解析.【解析】试题分祈：由二项式定理展开整理艮阿，(羽分和为奇偶数讨论，用待定系数法求之.试题解析：(1〉当nN时』(由-盪尸=他+刃)@-(方亠衍)曲」=&厅-少(b+3d)：*2幷.当n=4时#(血-逓$-a*-Aasjab+站占-4b^jab-ir-6ab+f=^(a1+6ab+b1-6ab(a-bf.n
26(2)证明：由二项式定理得(：a-、b)n(T)kC：(•a)n"('b)k,k=6
27若n为奇数，则(•-a一..b)n=[C0(、..a)nC2(.a)2(.b)^6心(2)3(小)心C：%a)(.b)n」]4C；(.a)n1(b)C3(..a)2(..b)3"cy.a)2(.b严Cnn(b)n],分析各项指数的奇偶性易知，可将上式表示为(•.、a-b)n=52-w.一b的形式，其中Ui,w•N，也即(..a_、b)n=.u；a「Jvjb二..p_q，其中p=u2a，q=v；b，p,qN*，若n为偶数，则C.a-、.b)n珂CCa)"C2(、a)n'(.b)2C：".、a)2C.b)n，C：(.b)n]■[cn(掐严(阳+扩(掐)心(拓屮+C；-S''a)3b/b)n-+Cnn\;a^b)n-]类似地，可将上式表示为c、a一•、.b)n=u2-v2・.ab的形式，其中u2,v2・N*，也即(■■.a-•.b)=..U2-jab=、p-....q，其中p=u2，q=v?ab，p,qN.所以存有p,qN*，使得等式C.a-』b)n=_P-二9.同理可得(・、a•b)n可表示为(•-a■b)nq,从而有p-q=(,p..q)C.p-q)=(、、a、b)n(、a-、b)n=(a-b)n,综上可知结论成立.16.已知X-12)n(n・N*)展开式中各项的二项式系数和比各项的系数和大256;x(I)求展开式中的所有无理项.的系数和；(n)求展开式中系数最大的项.【答案】(I)-128(n)70x°【解析】试题分析：首先由已知得到n=8,写出二项展开式的通项公式(I)由通项公式易知当r=1,3,5,7时，为无理项，故无理项的系数和为—(C8+C3+C5+C7)=T28(n)考虑展开式的奇数，可知当r=4时，系数最大
28试题解析：由题意展幵式中各项的二项式系数和为2J令x=l可得到旨项的系数和为0,则由条件得2"-0=256,贝iJb=8,贝皿-与的第十+1项为x口二C；(&)1/二4(Ty广IF二①12••」(1)由通项公式易知当“1657时，為为无理项故无理项的系数和为-(G+盂+Q©=-128(2)T当r=1,3,5,7时，系数为—c；；当r=0,2,4,6,8时，系数为C当r=4时，系数最大，故系数最大的项为T5二住(-1)・"=70x^n17.在数学上，常用符号来表示算式，如记7aj=兔•a•a2•*3|*'an,其中iN,n•N'.iz0n("若a。,ai,还，…，an成等差数列，且a。=0，求证：》(aCn)=an，2n」;02nnn(2)若7(1x)k=a0aixazXMIa2nX2n,bn八a?i，记dn=1…二［(-1)匕曲，且不等式77i二t(dn-1)—g恒成立，求实数t的取值范围•5【答案】(1)详见解析(2)［-1,3］3【解析】kk1试题分析：(1)利用kCn=nCnd，将和项转化为符合二项式展开定理条件，本题也可利用倒nnn序相加法求和(2)本题关键在于求和bna2i及dn=1中瓦［(-1)bcn］，对于bna2i，可i^07i二0n利用赋值法求偶数项的系数和得到；对于dn=1+瓦［(-1)^4］，则需构造符合二项式展开定1理条件，实行求和，最后根据恒成立，利用变量分离法，求最值得参数取值范围
29试題解析：＜1)设等差数列的通项公式为％叨，其中加为公差则］=%+0)C；+ir;C*斗…+纵C：=兔0+G十…+c：x”(c：十2C：+-«C；)i・D因为kC：=nC/：｝所以cj农+…泌：1】+C]“+…+C；；)所以.Z@C)=a.-r+nd2叫巴2小.注：第(。问也可汰用倒序相加法证明*22n2(1—4n)=24n_2-12n(2)令x=1，则vai=22223H2n令x=_1，则、［(-1)应=0,i-0n1所以bna2i(24n-2)=：4n-1i02(42根据已知条件可知，dn二C；-(4-1)Cn1_1)C：_(43—1)d；H(_1)n(4n-1)C；nn01234l.n^nCn(—4)］-［Cn-CnCn-CnCn川’型1()lOn］1012233二［Cnd(V)Cn(4)Cn(4)=(1_4)n一(1_1)n1=(_3)n1,所以dn-(-3)n1将bn=4"-1、dn=(-3)n1代入不等式t(dn-1)一R得，t(-3)"乞4“-14141c5当n为偶数时,t一(一)-㈠n，所以t一(一)-(一)333334n1n4〔1〔当n为奇数，t亠｛(J-(3)］，所以t亠｛(J-(3)］=-1；33335综上所述，所以实数t的取值范围是［-1,］.318•已知数列注［通项公式为a^AtnJBn，1，其中代B,t为常数，且t1,n・N”•等.210-x2*20式(x2+2x+2)=b+b(x+1)+b2(x+1)++b20(x+1)，其中b(i=0,1,2,,20)为实常数.10(1)若A=0,B=1，求aanb2n的值；nd10
30(2)若A=1,B=0，且2an-2nb2n-211-2，求实数t的值.ng【答案】(1)6143;(2)2;【解析】试题分析：(1)由二项式定理求出b2n的通项，再利用分组求和法、二项式系数的性质、倒序相加法求和；(2)对所给等式的左边先分组，而后利用二项式定理求和而将方程实行化简，再利用方程所对应的函数的单调性以及估算求解方程；试题解析：(1)102102420x22x21亠〔X1C00C；0x1i亠G：x1i亠C；0x-1220=b0b|x1dx1i亠亠b20x1比较可知b2nn=1,2,,10)；而A=0,B=1时an二AtnABn1二n1,10101010所以anb2n八，n-1C1；=-nC1；C：。，n妊n=1nTn=110设T八，门％=0€101G；2G：•…10C；0，n4T也能够写成T二10G1•2C2010^00C10，相加得2T=10210即T=5210，101010所以vanb2n=»nCw■、C10-5-210-210-1=6143-n±n二n*(2)当A=1,B=0时，an=Atn，•Bn^tnJ1，结合(1)中结论可知1010101010(2an-2n)b2n=2、anb2n-、2nb2nQ(严“C；。」2*②n吐n经n经n经n经=2[；((1t)10-1)210-1]-[(12)10—1]=j(1t)1°—j211—2—31°1=211—2，即2(1t)10-2-3101=0③，因为②为关于t的递增的式子，所以关于t的方程最多只有一解，而观察③可知，有一解t=2,综上可知：t=2.
3119•已知数列：a「通项公式为an二Atn「Bn，1，其中代B,t为常数，且t1,n，N”.等
32、2IO220式x2x2i；=0Dx1[亠b2x1i亠亠b20x1，其中bi=0,1,2,,20为实常数.10(1)若A=0,B=1，求vanb2n的值；n410(2)若A=1,B=0，且v2an-2nb2n=2仆-2，求实数t的值.【答案】(1)6143;(2)t=2【解析】试趣分析：⑴由二项式定哩易知口+2丫+2匸=|l+(x-ir)1'=C^Cll0(x+l)；+C^(x-Hl)4-…+4帝("1)血=瓦+吐工十1)+鸟(工+1)、…+抵(时1)”比较可知瓦=邙心=口-「10)而临寸10务=/尸+恥+1=川+1所臥£%瓦=£(川+1心：=2>*+£久设丁=£?煜=0-皤肚I»3-1Al414l105>久丸空+1•G；+2•饥4■…+10•佬，利用倒序相加法可得1=52l33ngngnJnJ1010设T门％=0■C1001G；2G：九…伯0C；0,T也能够写成Tng二01C；。2C20--n4n4ng-0G0,1C；02G^o■■■--10C；0，相加得2T=10210即T=5210，所以n4101010'、•oAn=二nC10■、、C；0=5210-210一1=6143.nn=1n弓(2)当A=1,^=0时，an=AtnABn•1=tn‘1，结合(2)中结论可知1010101010、'2an—2nb2n=2^anb2n八2^0=27tn_1g八2nC；②n生n4n^ngnJ=2l((1+tj0-1)+210-J-[(1+2「-1】=彳(1+tj0-彳+211-2-310+1=2"-2，即2(1+tj。_2—310+1=0③，tt因为②为关于t的递增的式子，所以关于t的方程最多只有一解，而观察③可知，有一解t=2，综上可知：t=2.20.已知(x1)n=a0a(x-1)a2(x-1)2a3(x-1)3an(x-1)n,(其中nN*)nas=为a(1)求a°及i1;(2)试比较Sn与(n-2)2n2n2的大小，并说明理由.【答案】(1)a°=2n,Sn=3n-2n(2)当n=1时，3n(n-1)2n2n2；当n=2,3时，3n：：：(n_1)2n2n2；当n_4,nN时，3n(n-1)2n2n2---7分【解析】试题分析：(1)赋值法求二项展开式的项的系数：令x=1，则a0=2n，令x=2,n贝ya=3n,•••Sn=3n-2n；(2)要比较Sn与(n-2)2n2n2的大小，即比较：3n与i=0(n-1)2n2n2的大小，这需先归纳：当n=1时，3n.(n-1)2n2n2；当n=2,3时，3n：：：(n-1)2n・2n2；当n=4,5时，3n(n-1)2n2n2；再猜想当n_4时，3n(n-1)2n2n2，最后用数学归纳法证明，关键将n二k
341时的式子与n二k(k_4)情形建立关系：3k13[(k-1)2k2k2]=k2k12(k1)2[(k—3)2k4k2—4k一2]试题解析：解：(I)令x=1，则a。=2n，令x=2,n则、a=3n,•••Sn=3n—2n；i卫(n)要比较Sn与(n-2)2n2n2的大小，即比较：3n与(n-1)2n2n2的大小，---1分当n=1时，3n(n—1)2n2n2；当n=2,3时，3n:::(n")/2n2；当n=4,5时，3n(n-1)2n2n2；猜想：当n_4时，3n・(n-1)2n2n2，下面用数学归纳法证明：由上述过程可知，n=4时结论成立，假设当n=k(k_4)时结论成立，即3k(k-1)2k-2k2,两边同乘以3得：3k13[(k-1)2k2k2]=k2k12(k1)2[(k-3)2k4k2-4k-2]而(k-3)2k4k2-4k-2=(k-3)2k4(k2-k-2)6=(k-2)2k4(k-2)(k1)60•3k1[(k1^1]2k12(k1)2即n=k1时结论也成立，•••当n一4时，3n(n-1)2n2n2成立.综上得，当n=1时，3n(n-1)2n-2n2；当n=2,3时，3n(n-1)2n2n2；当n_4,nN时，3n(n-1)2n2n2【一年原创真预测】h已知(x+—)n的展开式中前三项的系数成等差数列.
35(1)求n的值；(2)求展开式中系数最大的项.7【答案】(1)8;(2)T3=7x5,T4=7x2n；(2)【解析】试题分析：(1)利用二项展开式的通项公式求出展开式前三项的系数，列出方程求出设出系数最大的项，根据最大的系数大于等于它前一项的系数同时大于等于它后一项的系数,列出不等式组求出r，进而求出系数最大的项.试题解析：⑴丰躍题創得C^+Ac；=2xlxC^即朋-张+8=0,解得”8或”1(舍去X⑵设第尸+1项的系数最尢则,2r1解得—2或r=3.所以系数最大的项为£=7；八1\=7^.【入选理由】本题考查二项式定理等基础知识，意在考查基本运算水平，二项展开式的通项公式的使用是高考考查的重点内容，一般用以求展开式中的特定项，以选择题或填空题的形式出现，本题系数字母的值，立意新颖，考查全面，故押此题n2.已知数列｛an｝为aoG^,%…,an(n・N),ga表示a。•a「a?•*3“'an,j=0iN.n⑴若数列｛an｝为等比数列an=2n(nN)，求(bC)；i=an⑵若数列｛a.｝为等差数列a.=2n(n・N)，求(biQ).i=1【答案】(1)23n-2n,(2)(n2-3n)・2n「【解析】n试题分析：(1)注意到瓦(bicn^b1C°+b2cn+b3Cn^■■+bncn1,只需求出｛bj代入相对应i=0位置，整理即可得到其值，但要注意二项式定理及二项式系数和的应用；(2)此小题中nbn=n(n+1)，则送(bd)=「2c1+23&+34C；+…+n(n+1)C；，以下采用构造i=0
36关系式，应用导数法与赋值法求得其值试题解析：⑴bn=20■21-22……：-2n=2n1-1，所以n、(biCn^(21-1)0°(22一1应(2‘一1)C；(2n1—1)C：i4de0-1Cn22cn-1Cn-23c：-1u…2n1c：-1cnn=2(C°-21C：22c；…2nCnn)-(C0onC；…C：)=2(12)n-2n=23n-2n；⑵bn=024宀茫2n=n(n1)，n7(bCn^12Cn■23Cn34C；n(n1)C：，i=0因为(1+x)n=cn+C,x+C2x2+C；x3+…+cnixn，两边同乘以x，则有x(1+x)n=C0x+cnx2+c：x3+c；x4+…+Cnnxn*，两边求导，左边=(Vx)nnx(1•x)nJ，右边二CO-2C：x3C2x24c3x3…•(n1)C：xn，即(1x)nnx(1x)n4=Cr02C：x3c2x24C；x3(n1)Cnnxn(*)，对(*)式两边再求导，得2n(1+x)n_L+n(n—1)x(1+x)n^=21C：+32■c2^43C；x2+…+(n+1)nC：xn_1取x=1，则有(n2+3n)2n，=12cn+23C；+34Cn3+…+n(n+1)C；n所以V(ben)=(n23n)-2n^.i=1【入选理由】本题考查二项式定理，数列中的等差数列和导数等基础知识，意在考查分析问题、解决问题的水平、基本运算水平及推理水平，本题是由一道高考题演化而来，它与数列、函数交汇命题，立意新颖、考查全面，综合性较强，难度中等，符合高考的方向，故押此题
