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《分块周期三对角矩阵逆矩阵的新算法_车毅》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第24卷第1期纺织高校基础科学学报Vo.l24,No.12011年3月BASICSCIENCESJOURNALOFTEXTILEUNIVERSITIESMarch,2011文章编号:10068341(2011)01001506分块周期三对角矩阵逆矩阵的新算法车毅,徐仲,雷小娜(西北工业大学应用数学系,陕西西安710072)摘要:研究了分块周期三对角矩阵的逆问题.利用递归方法,将高阶分块周期三对角矩阵的求逆转化为低阶分块周期三对角矩阵的求逆,给出了求分块周期三对角矩阵的逆矩阵的一种新算法.2通过算法的计算量的比较,新算法比直接求逆算法的计算量小.新算法的算
2、法复杂度为4n+2O(n)次,而直接求逆的算法复杂度是55n+O(n)次.算例表明新算法的计算时间短且计算精度高.关键词:分块周期三对角矩阵;逆矩阵;矩阵中图分类号:O2416文献标识码:A0引言在科学技术和工程应用中需要进行大量的矩阵计算,而这些矩阵自身往往具备一些特殊的结构及特殊的性质.由于特殊矩阵在数值分析、优化理论、自动控制、数字信号处理、系统辨识、工程计算等领域中有着重要而广泛的应用,所以对特殊矩阵的研究一直是被关注的热点.比如以分块周期三对角矩阵为系数矩[18]阵的线性方程组和分块周期三对角矩阵的求逆等.文献[13]给出了求解上述问题的一些快
3、速算法.分块周期三对角矩阵H形如A1B1FnC1H=,(1)Bn-1GnCn-1An其中Ai,Bi,Ci均为m阶方阵,且Gn,Fn亦为m阶方阵.特别地,当m=1时,H就是周期三对角矩阵.2采用通常的方法求解分块周期三对角矩阵的逆矩阵时,需要进行55n+O(n)次m阶矩阵的运算.本文结合分块周期三对角矩阵的特点,给出了求解分块周期三对角矩阵的逆矩阵的一种新算法.通过算例表明了算法的有效性.1算法推导本文用到的范数为,为方便起见,简记为.假设分块周期三对角矩阵H是按行分块强对角占优的,即收稿日期:20101022基金项目:国家自然科学基金
4、资助项目(10802068)通讯作者:徐仲(1957),男,上海市人,西北工业大学教授,硕士生导师.Emai:lzhongxu@nwpu.edu.cn16纺织高校基础科学学报第24卷-1A1(B1+Fn)<1,-1Ai(Ci-1+Bi)<1,i=2,,n-1,-1An(Gn+Cn-1)<1.[4]nn引理1设AC,且A<1,则矩阵I-A非奇异,且有-1(I-A)1/(1-A).本文假定Ai均可逆,若无特殊说明,文中矩阵I为m阶单位矩阵.(n)(n)记H=H
5、.将H分块为A1B1Fn(n-1)C1HWn-1(n)H==,(2)TBn-1Rn-1AnGnCn-1An其中FnA1B1O(n-1)C1TH=,Wn-1=,Rn-1=(Gn,O,,O,Cn-1).Bn-2OCn-2An-2Bn-1(n)再将H分解为(n-1)(n)HWn-1En-1OH=,-1TOAnAnRn-1I其中En-1=Im(n-1)m(n-1),则有-1-1A1-FnAnGnB1-FnAnCn-1C1A2(n-1)(n-1)-1TH=H-Wn-1AnRn-1=,(3)An-2Bn-2-1-1-Bn-1AnGnCn-2A
6、n-1-Bn-1AnCn-1(n-1)可见H仍为分块周期三对角矩阵.(n-1)定理1式(3)的分块周期三对角矩阵H(n>3)仍是按行分块强对角占优矩阵.-1-1证明先证A1-FnAnGn和An-1-Bn-1AnCn-1均可逆.-1-1-1由于A1-FnAnGn=A1(I-A1FnAnGn),而-1-1-1-1A1FnAnGnA1FnAnGn-1-1A1(B1+Fn)An(Gn+Cn-1)<11=1.-1-1-1-1由引理1知I-A1FnAnGn可逆,故A1-FnAnGn可逆.同理An-1-Bn-1AnCn-
7、1可逆.利用引理1和H按行分块强对角占优,有-1-1-1-1-1-1(A1-FnAnGn)(I-A1FnAnGn)A1-1-1A1A1-1-1-1-1=1-A1FnAnGn1-A1FnAnGn1-1-1-1<A1-FnAnGn1-1=B1+Fn-FnAnGn1-1B1+Fn(1-AnGn)第1期分块周期三对角矩阵逆矩阵的新算法171-1B1+FnAnCn
