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《高数重修1习题详解》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第1章函数与极限1.用区间表达函数的自然定义域.解：应，得，得.3.已知,求的表达式.解法1：因为，所以.解法2：令，则，代入式，得，即得.5.的充分必要条件是.6.1,―1,在处的极限情况为不存在.解：在极限中，，此时，所以，在极限中，，此时，所以，因为的充分必要条件是，所以，在处的极限不存在.1.若存在,则B.A.有界;B.在内有界;C.在任一内有界;D.以上结论都不对.解：A选项不正确：因为函数极限存在时具有局部有界性，即保证函数在取极限的附近有界，在定点的情形，则是保证函数在的去心邻域内有界；B选项正确：即函数极限的局部有界性；C选项不正确：应该是在某一去心邻域内有界.2.设,当
2、时,观察的变化趋势,可得C.A.0;B.;C.;D..解：，当时，，从而，，故.1.以下判断正确的是D.A.是无穷大量;B.是无穷小量;C.若当时,是无穷小量,则是无穷大量;D.若,则当时,是无穷小量.解：A、B选项都不正确：因为无穷大量及无穷小量都是针对自变量的一个变化过程而言的，但是A、B选项都没有给出自变量的变化过程.对于A选项，例如，，因而是当时的无穷大量；又有，因而当时不是无穷大量.对于B选项，例如，，因而是当时的无穷小量；又有，因而当时不是无穷小量，而是无穷大量.C选项不正确：这是因为，如果，那么对于自变量的任何变化过程而言都是无穷小量(当时亦然)，但是式无意义.D选项正确：
3、根据无穷小与函数极限的关系定理：在自变量的同一变化过程()中,函数具有极限的充分必要条件是,其中是无穷小.2.试说明函数在上无界,并说明不是时的无穷大量.9解：先说明函数在上无界：因为对,在上总能找到这样的,使得.例如,当充分大时,就有.再说明函数不是时的无穷大量：因为对,找不到这样的时刻,使得对于一切大于的,都有.例如,对于任意大的,当充分大时,总有,但.1.的理由是有界函数与无穷小的乘积是无穷小.2..解：因为，所以所求极限.3..解：所求极限是有理分式函数当时的极限，并且分子、分母多项式的次数(的最高次)相同(均为50次)，则知极限值应为分子、分母的最高次的系数之比.因分子的最高次
4、的系数是,分母的最高次的系数是,所以所求极限值是.4.已知,则―7,6.解：因为当时,分母的极限为0,而分子是多项式,故当时,分子的极限必存在,又已知是有限值,所以分子的极限应为0,即,得.此时,得,.1.若、均发散,则下列判断正确的是D.A.一定发散;B.一定发散;C.一定发散;D.以上结论都不对.解：A、B、C选项都不正确，则D选项正确：举例如，及均发散，但收敛.又例如，及均发散，但、及均收敛.2.若收敛,发散,则下列判断正确的是A.A.一定发散;B.一定发散;C.一定发散;D.以上结论都不对.解：A选项正确(则D选项不正确)，证明如下：设，则，用反证法，如果收敛，则根据两函数和差的
5、极限运算法则，有，即收敛，此与发散矛盾，故一定发散.证毕.B、C选项都不正确：举例如收敛，发散，成立收敛.5.;解：.6.;解：9.7.;解：.8..解：.1..解：.2.1.解：3..解：.4..解：.或.5.若,则―6.解：，得.6.要使函数是无穷大,则要求趋于值.解：函数的定义域为.因为对任意点，根据两函数商的极限运算法则，必有是有限值，所以，使函数是无穷大的点只可能是不属于其定义域的点，即.将这样的点分为3类，来求函数在该点处的极限：，求得，所以；而；9；所以为所求.2.C.A.0;B.1;C.不存在;D..解：因为，，左、右极限存在但不相等，所以该极限不存在，C选项正确.1.;
6、解：.2.;解：.3.;解：.4.;解：.四利用极限存在准则证明：1..证明因为,又,而,,由夹逼准则,得.证毕.1.当时,与等价的无穷小有.解：根据等价无穷小的定义，只需逐一验证，，，，，，，.2.设,则,.解：根据等价无穷小的定义，只需验证，，：9成立.成立(用到因式分解公式).(其中极限用到了习题1-6中题4(4)的结果及第五节中定理3的推论2)3.当时,与相比,哪一个是高阶无穷小?.解：根据高阶无穷小的定义，因为，所以，分子是比分母高阶的无穷小.4.当时,无穷小和是否同阶?同阶,是否等价?不等价.解：因为，所以无穷小和是同阶无穷小，但不是等价无穷小.1.当时,下列哪一个无穷小是关
7、于的三阶无穷小B.A.;B.(为正常数);C.;D..解：根据阶无穷小的定义，A选项不正确：因为.B选项正确：因为.C选项不正确：因为.C选项不正确：因为.三利用等价无穷小的性质求下列极限：1.(为正整数);解：(为正整数).2.;解：.3.;解：.4..解：(利用2题结果或方法).91.设则是的A.A.可去间断点;B.跳跃间断点;C.无穷间断点;D.振荡间断点.解：根据间断点的分类，考察：，，由于即左右极限存在且相等，所以极限存在
