高数幂级数详解和习题.ppt

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1、第三节幂级数一、函数项级数的一般概念二、幂级数及其收敛性三、幂级数的运算四、小结练习题8/4/20211一、函数项级数的一般概念1.定义:8/4/202122.收敛点与收敛域:8/4/20213函数项级数的部分和余项(x在收敛域上)注意函数项级数在某点x的收敛问题,实质上是数项级数的收敛问题.3.和函数:(定义域是?)8/4/20214二、幂级数及其收敛性1.定义:2.收敛性:8/4/20215几何说明收敛区域发散区域发散区域8/4/20216推论8/4/20217定义:正数R称为幂级数的收敛半径.规定问题如何求幂级数的收敛半径?幂级数的收敛域为以下

2、几个区间之一：8/4/20218证明8/4/20219由比值审敛法,8/4/202110定理证毕.8/4/202111例2求下列幂级数的收敛域:解该级数收敛该级数发散8/4/2021128/4/202113发散收敛故收敛域为(0,1].8/4/202114解缺少偶次幂的项级数收敛,8/4/202115级数发散,级数发散,级数发散,原级数的收敛域为8/4/202116三、幂级数的运算1.代数运算性质:(1)加减法(其中8/4/202117(2)乘法(其中8/4/202118(3)除法(相除后的收敛区间比原来两级数的收敛区间小得多)2.和函数的分析运算性

3、质:8/4/202119(收敛半径不变)8/4/202120(收敛半径不变)8/4/202121解两边积分得8/4/2021228/4/202123解8/4/2021248/4/202125解收敛区间(-1,1),8/4/202126常用已知和函数的幂级数8/4/202127四、小结2.幂级数的收敛性:收敛半径R3.幂级数的运算:分析运算性质1.函数项级数的概念:8/4/202128思考题幂级数逐项求导后，收敛半径不变，那么它的收敛域是否也不变？8/4/202129思考题解答不一定.例它们的收敛半径都是1,但它们的收敛域各是8/4/202130练习题

4、8/4/2021318/4/202132练习题答案8/4/202133