高数-幂级数展开

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1、第四节函数展开成幂级数一、泰勒级数二、函数展开成幂级数预备知识：1.泰勒公式：若函数在某邻域内有直到阶的导数，则——拉格朗日余项2.级数收敛的必要条件3.幂级数及其和函数的性质1一、泰勒级数泰勒公式：若函数在某邻域内有直到阶的导数，则——拉格朗日余项(1)其误差为:(2)问题：给定函数是否能找到一个幂级数，它在某个区间内收敛，且其和恰好是给定的函数若能找到这样的幂级数，则说函数f(x)在该区间内能展开成幂级数.2若在某邻域内有任意阶导数，称(3)为的泰勒级数。问题:（2）若级数(3)收敛,是否收敛于时,级数(3)是否收敛?（1）定理:成泰勒级数(3)的充分必要条件是则在该邻域内能展在某邻域内

2、有任意阶导数，设当时，级数(3)收敛于显然:?3证必要性设在该邻域内能展成泰勒级数(3)记由(1)式知,所以,充分性设所以证毕.即4内若在的某邻域能展成的幂级数,则得证即在(3)中,特别地(4)称为函数的麦克劳林级数。若能展成的幂级数，则展开式唯一,就是它的麦克劳林级数。5二、函数展开成幂级数1.直接展开法，(1).求出的各阶导数:(2).求函数及各阶导数在处的函数值:(3).写出幂级数:并求出收敛半径R.按以下步骤进行：（展成关于x的幂级数）若则(4).考察当时,在0与x之间）是否为零?否则幂级数不收敛于6例1.将函数展开成的幂级数.解考察级数级数收敛,所以①②的麦克劳林级数为:③④7例2

3、.将函数展成的幂级数.解的麦克劳林级数为:①②③④82.间接展开法常用的已知函数展开式有:利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算法则逐项求导、逐项求积）,将所给函数展成幂级数。（四则法则,9例3.将函数展开成的幂级数.解由知例4.将函数展开成的幂级数。解由两边求导得10若内的已得到展式：（1）级数处仍收敛；（2）处有定义且连续,则展式处也成立.说明例5.将函数展开成的幂级数。解即由知11当时,收敛,当时,收敛,所以注意：经过求导或求积后得到的展式,必须考虑在端点的情况.例6.将函数展开成的幂级数。解两边积分得因所以在处有定义且连续，12例7.将函数展开成的幂级数。解两边积分得当时,当时,发散

4、,收敛.在处有定义且连续，13例8将函数展开成x的幂级数.解因为14于是得级数下面证明因此,对于任意常数m这级数在开区间(-1,1)内收敛,函数为设其和令?15??要证只须证16即上面的展开公式叫做二项展开式。当m为正整数时二项式定理.特别地:在区间的端点,展开式是否成立要看m的数值而定.当时，当时，当时，注:17当时,当时,18例9.将函数展开成的幂级数.解由得例10将函数展开成的幂级数.解19例11.将函数展开成的幂级数。解由得20例12.将函数展开成的幂级数.解由且得21小结：求出收敛半径R.考察当时,是否为零?22当时，当时，当时，23