03幂级数展开

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1、第三章幂级数展开§3.1复数项级数§3.2幂级数§3.3泰勒级数展开§3.4*解析延拓§3.5洛朗级数展开§3.6孤立奇点的分类数学物理方法级数是研究解值析函数的一个重要工具。将解析函数表示为级数不仅有理论上的意义，而且也有使用意义，比如可利用级数计算函数的近似值（截取幂级数的前面有限项可作为函数的近似表达式，项数取决于要达到的近似程度）或解微分方程。数学物理方法§3.1复数项级数复数项级数w1w2wnwnn1wnunivnn1n1n1n若wn的前n项和Snwj有极限，则

2、称该级数n1j1收敛，且称此极限值为该无穷级数的和；否则称为发散。级数wn收敛的充分必要条件是un和vnn1n1n1都收敛，其中un和vn皆为实数。数学物理方法柯西收敛判据级数wn收敛的充分必要条件是，对于任一给定n1的小正数ε，必有N存在，使得n>N时，npwnkn1式中p为任意正整数。数学物理方法绝对收敛与条件收敛如果

3、wn

4、是收敛的,称级数wn是绝对收敛的n1n1如果

5、wn

6、是发散的，而wn是收敛的n1n1称级数wn是条件收敛的，n1数学物理方法举例ni考察

7、级数的敛散性2n1nni考察级数的敛散性n1n数学物理方法函数项级数设wzkk()(1,2,3,...)是区域B中的复变函数,如下表达式wz()wz()wz()...wz()...123kn称为复变函数项级数,记为wzk(),称Sznn()wz()k1k1为级数的前n项部分和.数学物理方法级数收敛和发散的定义若级数wzk()在区域B中所有点收敛，则称级数在k1区域B中收敛。对应于区域D中不同的点，级数wzk()一般收敛于k1不同的值。假设对应于点z∈D，级数收敛于f(z)，即f

8、z()wzk()k1那么f(z)称为级数的和函数。数学物理方法级数收敛的充分必要条件在区域B（或l）上各点z，对于任一给定的小正数ε，必有N(z)存在，使得n>N(z)时，npwzk()式中p为任意正整数。kn1若N与z无关，则称级数在B（或l）上一致收敛。数学物理方法一致收敛的性质级数wn(z)在B内一致收敛，且wn(z)n1连续性连续，则该级数在B内连续级数wn(z)在l上一致收敛，且wn(z)在n1可积性l上连续，则wzdznn()wzdz()llnn11级数w(z)在B内一致收

9、敛f(z)，且nn1解析性wn(z)在B内解析，则f(z)在B内解析，且(k)(k)f(z)wn(z)数学物理方法n1§3.2幂级数幂级数的定义k形如ak(zz0)的级数称为以z0为中心的幂级数。k0补充：阿贝尔定理k若ak(zz0)在某点z1处收敛，则该幂级数在满足k0zz0z1z0的圆域内将处处绝对收敛；k若ak(zz0)在某点z1处发散，则该幂级数在满足k1zz0z1z0的圆域外处处发散。数学物理方法收敛半径与收敛圆k根据阿贝尔定理，对于任意幂级数ak(zz0)k

10、1总是存在一个圆周zz0R(0R)，使得幂级数在此圆域内处处收敛，在此圆域外则处处发散。圆域zzR称为幂级数的收敛圆，0R称为幂级数的收敛半径。数学物理方法k收敛半径的求法ak(zz0)k1akD'Alembert公式Rlimkak11Cauchy公式Rlimkkak数学物理方法2k求幂级数1tt...t...的收敛圆，例1t为复变数。ak解：Rlim1kak12k11tt...t...(t1)1t246例2求幂级数1zzz...的收敛圆，z为复变数。2a

11、k解：设ztRlim1RR1kak124611zzz...(z1)21z数学物理方法k幂级数在收敛圆内的性质f(z)ak(zz0)k0（ⅰ）解析性（ⅱ）可导性，求导后收敛半径不变k1f(z)akk(zz0)k0（ⅲ）可积性，积分后收敛半径不变kf(z)dzak(zz0)dzlk0l数学物理方法zk课堂练习k1分别求出幂级数kz和在收敛圆内的和函数。k1k1k12kk解：1zz...z...z(收敛圆域为z1)1zk0

12、1k1k1()12z...kz...z(z1)1zk1k11f1(z)kz2(z1)k1(1z)kz1zzz2zkzdz1dzzdzzdz...zdz.