幂级数函数的幂级数展开法.ppt

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1、第六章无穷级数§6.3幂级数本节内容一、函数项级数的概念二、幂级数及其收敛性三、Taylor级数及其应用§6.3幂级数一、函数项级数的概念设为定义在区间I上的函数项级数.对若常数项级数敛点,所有收敛点的全体称为其收敛域;若常数项级数为定义在区间I上的函数,称收敛,发散,所有为其收为其发散点,发散点的全体称为其发散域.§6.3幂级数为级数的和函数,并写成若用令余项则在收敛域上有表示函数项级数前n项的和,即在收敛域上,函数项级数的和是x的函数称它§6.3幂级数例如,等比级数它的收敛域是它的发散域是或写作有和函数§6.3幂级数二、幂级数及其收敛性形如的函数项级数称为幂级数,其中数列下面着

2、重讨论例如,幂级数为幂级数的系数.即是此种情形.的情形,即称§6.3幂级数发散发散收敛收敛发散定理1.(Abel定理)若幂级数则对满足不等式的一切x幂级数都绝对收敛.反之,若当的一切x,该幂级数也发散.时该幂级数发散,则对满足不等式证:设收敛,则必有于是存在常数M>0,使§6.3幂级数当时,收敛,故原幂级数绝对收敛.也收敛,反之,若当时该幂级数发散,下面用反证法证之.假设有一点满足不等式所以若当满足且使级数收敛,面的证明可知,级数在点故假设不真.的x,原幂级数也发散.时幂级数发散,则对一切则由前也应收敛,与所设矛盾,证毕§6.3幂级数幂级数在(－∞,+∞)收敛;由Abel定理可以看

3、出,中心的区间.用±R表示幂级数收敛与发散的分界点,的收敛域是以原点为则R=0时,幂级数仅在x=0收敛;R=时,幂级数在(－R,R)收敛;(－R,R)加上收敛的端点称为收敛域.R称为收敛半径，在[－R,R]可能收敛也可能发散.外发散;在(－R,R)称为收敛区间.发散发散收敛收敛发散§6.3幂级数定理2.若的系数满足证:1)若≠0,则根据比值审敛法可知:当原级数收敛;当原级数发散.即时,1)当≠0时,2)当＝0时,3)当＝∞时,即时,则§6.3幂级数2)若则根据比值审敛法可知,绝对收敛,3)若则对除x=0以外的一切x原级发散,对任意x原级数因此因此的收敛半径为说明:据此定理

4、因此级数的收敛半径§6.3幂级数对端点x=－1,的收敛半径及收敛域.解:对端点x=1,级数为交错级数收敛;级数为发散.故收敛域为例1.求幂级数§6.3幂级数例2.求下列幂级数的收敛域:解:(1)所以收敛域为(2)所以级数仅在x=0处收敛.规定:0!=1§6.3幂级数例3.的收敛半径.解:级数缺少奇次幂项,不能直接应用定理,比值审敛法求收敛半径.时级数收敛时级数发散故收敛半径为故直接由§6.3幂级数例4.的收敛域.解:令级数变为当t=2时,级数为此级数发散;§6.3幂级数当t=–2时,级数为此级数条件收敛;因此级数的收敛域为故原级数的收敛域为即§6.3幂级数幂级数及其和函数的基本性质

5、定理3.设幂级数及的收敛半径分别为令则有:§6.3幂级数定理4若幂级数的收敛半径则其和函在收敛域上连续,且在收敛区间内可逐项求导与逐项求积分,运算前后收敛半径相同:注:逐项积分时,运算前后端点处的敛散性不变.§6.3幂级数解:由例2可知级数的收敛半径R＝+∞.例5.则故有故得的和函数.因此得设§6.3幂级数例6.的和函数解:易求出幂级数的收敛半径为1,x＝±1时级数发散,§6.3幂级数例7.求级数的和函数解:易求出幂级数的收敛半径为1,及收敛,§6.3幂级数因此由和函数的连续性得:而及§6.3幂级数三、泰勒(Taylor)级数及其应用其中(在x与x0之间)称为拉格朗日余项.则在若

6、函数的某邻域内具有n+1阶导数,此式称为f(x)的n阶泰勒公式,该邻域内有:§6.3幂级数为f(x)的泰勒级数.则称当x0=0时,泰勒级数又称为麦克劳林级数.1)对此级数,它的收敛域是什么？2)在收敛域上,和函数是否为f(x)?待解决的问题:若函数的某邻域内具有任意阶导数,§6.3幂级数定理5.各阶导数,则f(x)在该邻域内能展开成泰勒级数的充要条件是f(x)的泰勒公式中的余项满足:设函数f(x)在点x0的某一邻域内具有定理6.若f(x)能展成x的幂级数,则这种展开式是唯一的,且与它的麦克劳林级数相同.§6.3幂级数函数展开成幂级数1.直接展开法由泰勒级数理论可知,第一步求函数及其

7、各阶导数在x=0处的值;第二步写出麦克劳林级数,并求出其收敛半径R;第三步判别在收敛区间(－R,R)内是否为0骤如下:展开方法直接展开法—利用泰勒公式间接展开法—利用已知其级数展开式的函数展开§6.3幂级数例8.将函数展开成x的幂级数.解:其收敛半径为对任何有限数x,其余项满足故故得级数§6.3幂级数例9.将展开成x的幂级数.解:得级数:其收敛半径为对任何有限数x,其余项满足§6.3幂级数类似可推出:§6.3幂级数例10.将函数展开成x的幂级数,其中m为任意常数.解: