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时间：2019-07-13
《函数展成幂级数(I)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、7.3函数展开成幂级数前面研究的是幂级数的收敛域及和函数,现在反过来,某个函数是否可以在某个区间内用幂级数表示7.3.1泰勒(Taylor)级数第4章研究过泰勒公式:其中f(x)在的某邻域内具有n+1阶导数.余项此时,f(x)可以用前n+1项近似表示,误差为由此引入泰勒级数:1.定义若f(x)在的某邻域内具有各阶导数,则f(x)在的泰勒级数泰勒系数麦克劳林级数2.泰勒定理:若f(x)在的某邻域内具有各阶导数,(由泰勒公式很容易得出结论,证明略)注:(1)则f(x)在的泰勒级数在该邻域内收敛于f(x)若f(x)在的泰勒级数收敛于f(x),即泰勒
2、展开式(2)如果函数可以展开成幂级数,则展开式唯一.则称f(x)在可以展开成泰勒级数7.3.2函数展开成幂级数主要研究函数如何展开成x的幂级数.麦克劳林级数1.直接展开法(1)求出如果某阶导数不存在,说明不能展开(2)求出(3)求出收敛半径R(4)在(-R,R)内,如果则f(x)例7.3.1、7.3.2将函数展开成x的幂级数收敛半径有限趋于零,因为收敛所以(循环)收敛半径所以0牛顿二项式级数注:α>－1时,展式在x=1成立;α>0时,展式在x=－1成立.2.间接展开法利用已知的基本展开式和幂级数的性质(1).逐项积分,逐项求导法(2)变量替换
3、法(3)四则运算法几个常用展开式：1.2.3.4.例将函数展开成x的幂级数作变量替换例将分别展开成x的及x－1的幂级数①②例将展开成x－1的幂级数例7.3.7将展开成x的幂级数.解因为所以所以所以即练习（略）
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