将函数展成幂级数课件.ppt

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1、第6、7节两类问题:在收敛域内和函数求和展开本次内容:一、泰勒(Taylor)级数二、函数展开成幂级数将函数展开成幂级数机动目录上页下页返回结束特点:一、泰勒公式的建立以直代曲在微分应用中已知近似公式:需要解决的问题如何提高精度?如何估计误差?x的一次多项式机动目录上页下页返回结束1.求n次近似多项式要求:故机动目录上页下页返回结束令则公式①称为的n阶泰勒公式.公式②称为n阶泰勒公式的拉格朗日余项.2.泰勒中值定理:阶的导数,时,有①其中②则当泰勒目录上页下页返回结束公式③称为n阶泰勒公式的佩亚诺(Peano)余项.在不需要余项的精确表达式时,泰勒

2、公式可写为注意到③④*可以证明:④式成立机动目录上页下页返回结束特例:(1)当n=0时,泰勒公式变为(2)当n=1时,泰勒公式变为给出拉格朗日中值定理可见误差机动目录上页下页返回结束称为麦克劳林（Maclaurin）公式.则有在泰勒公式中若取则有误差估计式若在公式成立的区间上麦克劳林目录上页下页返回结束由此得近似公式二、泰勒(Taylor)级数其中(在x与x0之间)称为拉格朗日余项.则在若函数的某邻域内具有n+1阶导数,此式称为f(x)的n阶泰勒公式,该邻域内有:机动目录上页下页返回结束为f(x)的泰勒级数.则称当x0=0时,泰勒级数又称为麦克劳

3、林级数.1)对此级数,它的收敛域是什么？2)在收敛域上,和函数是否为f(x)?待解决的问题:若函数的某邻域内具有任意阶导数,机动目录上页下页返回结束定理1.各阶导数,则f(x)在该邻域内能展开成泰勒级数的充要条件是f(x)的泰勒公式中的余项满足:设函数f(x)在点x0的某一邻域内具有定理2.若f(x)能展成x的幂级数,则这种展开式是唯一的,且与它的麦克劳林级数相同.三、将函数展开成x的幂级数1.直接展开法由泰勒级数理论可知,第一步求函数及其各阶导数在x=0处的值;第二步写出麦克劳林级数,并求出其收敛半径R;第三步判别在收敛区间(－R,R)内是否为骤

4、如下:展开方法直接展开法—利用泰勒公式间接展开法—利用已知其级数展开式0.的函数展开机动目录上页下页返回结束例1.将函数展开成x的幂级数.解:其收敛半径为对任何有限数x,其余项满足故(在0与x之间)故得级数机动目录上页下页返回结束例2.将展开成x的幂级数.解:得级数:其收敛半径为对任何有限数x,其余项满足机动目录上页下页返回结束类似可推出:(P304例6)机动目录上页下页返回结束例3.将函数展开成x的幂级数,其中m为任意常数.解:易求出于是得级数由于级数在开区间(－1,1)内收敛.因此对任意常数m,机动目录上页下页返回结束称为二项展开式.说明：(

5、1)在x＝±1处的收敛性与m有关.(2)当m为正整数时,级数为x的m次多项式,上式就是代数学中的二项式定理.机动目录上页下页返回结束由此得对应的二项展开式分别为机动目录上页下页返回结束2.间接展开法利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质,例4.将函数展开成x的幂级数.解:把x换成,得将所给函数展开成幂级数.（逐项微分、积分法；变量代换法）变量代换法例5.将函数展开成x的幂级数.解:从0到x积分,得定义且连续,区间为利用此题可得上式右端的幂级数在x＝1收敛,所以展开式对x＝1也是成立的,于是收敛机动目录上页下页返回结束例6.将展成解:的幂级数.机

6、动目录上页下页返回结束两边逐项积分得：x=1或-1时：级数为收敛的交错级数故原级数的收敛域为[-1，1]例7.将展成x的幂级数.机动目录上页下页返回结束例8.将展成x的幂级数.例9.将展成x的幂级数.利用变量代换，将x-a换成t，再利用之前的间接展开法完成展开四、将函数展开成x-a的幂级数例12.将展成x-1的幂级数.例11.将展成x-2的幂级数.内容小结1.函数的幂级数展开法(1)直接展开法—利用泰勒公式;(2)间接展开法—利用幂级数的性质及已知展开2.常用函数的幂级数展开式式的函数.机动目录上页下页返回结束当m=–1时机动目录上页下页返回结束思

7、考与练习1.函数处“有泰勒级数”与“能展成泰勒级数”有何不同?提示:后者必需证明前者无此要求.2.如何求的幂级数?提示:机动目录上页下页返回结束2.将在x=0处展为幂级数.解:因此机动目录上页下页返回结束