解析函数展成幂级数的方法分析论

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1、┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊装┊┊┊┊┊订┊┊┊┊┊线┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊伊犁师范学院数学与统计学院2014届本科毕业论文解析函数展开成幂级数的方法分析樊庆仓（伊犁师范学院数学与统计学院新疆伊宁835000）摘要：将解析函数展开成幂级数的方法不一，且比较复杂。本文将从直接法和间接法这两大方法对解析函数进行幂级数的展开并加以分析。关键词：解析函数；幂级数；直接展开；间接展开。中图分类号：O175.8一、一、引言解析函数的幂级数展开是作为一个强有力的教学工具，在整个分析学中占有举足轻重的地位。将一个函数展开为幂

2、级数是级数部分最重要的运算之一。展开的方法可分为两种，一是直接展开法，即先求各阶导数，再按泰勒级数或麦克劳林级数写出，最后验证在级数收敛区间内（x）=0。二是间接展开法，即利用某些已知的初等函数的幂级数展开式和幂级数的代数运算及分析运算的性质，推出相应的展开式。用直接展开法具有一定的缺点，即工作量大，的规律难以寻求，还要讨论余项的性质不易使用。为了避免余项的讨论经常使用间接展开法。本文通过举例讲解将函数展开成幂级数的各种方法，比较它们优缺点，使学生在充分认识函数的幂级数展开的重要性的基础上，掌握如何针对不同的函

3、数选择最简单快捷的方法来展开幂级数，提高学生的计算和运算能力。二、预备知识(一）、幂级数的解析性定理：幂级数n的和函数，f(z)是收敛圆内的一个解析函数，且其各阶导数为：……，其中，p为自然数，…（二）、解析函数的泰勒展开泰勒（Taylor)展开定理：设f(z)在区域:内解析，则在内f(z)可展为泰勒级数：，，其中，第9页共8页┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊装┊┊┊┊┊订┊┊┊┊┊线┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊伊犁师范学院数学与统计学院2014届本科毕业论文…）。且展式是唯一的。特别的，当时，级数称为麦克劳林级数。（

4、三）、解析函数的洛朗展开一个函数除了可在解析点作泰勒展开外，有时还需要将它在奇点附近展开成幂级数，这是就得用洛朗展开。洛朗定理：设f(z)在以b为圆心的环形区域上单值解析，但对于环域内的任何z点，f(z)可以用幂级数展开为,,其中，C是环域内绕内圆一周的任意一条闭合曲线。洛朗的展开条件也可以放宽为f(z)在区域内单值解析。三、幂级数展开的方法（一)、直接展开法：直接法就是按照泰勒定理和洛朗定理中所给的幂级数展开的公式，直接将函数展开.例1.求在点处的泰勒展开式.解：用公式求出……；；；………得例2.在0<

5、z

6、

7、<+∞内，求的洛朗展式．解：在复平面上除点在z0=0外，发现处处解析，所以f(z)在圆环域0<

8、z

9、<+第9页共8页┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊装┊┊┊┊┊订┊┊┊┊┊线┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊伊犁师范学院数学与统计学院2014届本科毕业论文∞内解析．取c为圆周，则（n=0，±1，±2，…）而当时，在上解析，；当时，由高阶导数公式，有即于是，得（二）、间接展开法：间接展开法又分为好几种情况，下面我们来一一列举（1）利用已知展开法通过利用已知的一些初等函数的泰勒展开式来展开，在展开函数为幂级数时，仍然以泰勒级数为

10、基础。例3：将函数展成幂级数.解：已知在区间（-1,1）中，有，根据幂级数的乘法定理，是，其中于是，第9页共8页┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊装┊┊┊┊┊订┊┊┊┊┊线┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊伊犁师范学院数学与统计学院2014届本科毕业论文…，。注：下面是一些经常碰到的初等函数的幂级数展开式，必须熟练的掌握：，，..（2）利用幂级数的除法运算来展开例4：函数在内解析，求在这圆内的泰勒展开式。解：由于在内解析，故能展成幂级数。则，除法运算过程如下：第9页共8页┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊装┊┊┊┊┊订┊┊┊┊┊线┊┊

11、┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊伊犁师范学院数学与统计学院2014届本科毕业论文……………（3）利用幂级数的乘法运算来展开例5：求exsinx的幂级数展开。解：因为…sinx…exsinx=(+…)(…)=x++…，由于与的收敛半径都是，所以上述幂级数展开对一切x∈(-∞,+∞)都成立。（4）利用逐项求导法对函数进行展开例6：求在的幂级数展开。解：由于，利用逐项求导，即可得到（5）利用变上限的定积分法展成幂级数例7：将函数在处展开成幂级数。第9页共8页┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊装┊┊┊┊┊订┊┊┊┊┊线┊┊┊┊┊┊┊┊┊

12、┊┊┊┊伊犁师范学院数学与统计学院2014届本科毕业论文解：令，显然有，又因为.故，从而得到.（6）利用代入法展开成幂级数例8：求在的幂级数展开.解：令则，……又因为……所以由代入的…即可得到……（7）利用待定系数法展成幂级数例9：在内，将函数在处展开成幂级数解：设，则，即有………+…比较等式两边的同次幂的系数可得即有第9页共8页┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊装┊┊┊┊┊订┊┊┊┊┊线┊┊