函数展成幂级数方法探讨

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1、第#卷第)期R?K$#:;?(@A;56"%789:/!!*;*/)<=/)*,,"/%9%>?*.7%/

2、!/;@A!8$)39%)BC@D?A8@E?F6GHI:J;K69;FIK6EG@:EI;I6DJ?7JKAL6E;M6NF6G@?LE;7LG6J@7:OA6E?ML6P6K?IF67GMD?F;MA7JG:?7G?I?N6DE6D:6E$:+;6’3-$BMA7JG:?7-I?N6DE6D:6E-L6P6K?IF67G01引言&%解：已知*&%!（-13&301）级数是进行函数研究和近似计算的重要工具，%’(%2因#&’*&!%#，只要将*&展开式中的&替换成它在数学和工程技术中有着极广泛的应用。将一个01函数展开为幂级数是

3、级数部分最重要的运算之一。（&!%#）%&!%#&!%#展开式*&!%#"·#&，即得*%!&所以&%展开的方法一般有两种，一是直接展开法，即先求%’(%20101各阶导数，再按泰勒级数或麦克劳林级数写出，最"&!%#"（&!%#）%（!%#）%%’"&*%&!%!·&（-13&301）后在级数收敛区间内要证明%!!"#1$%（&）’(。二是间接%’(%2%’(%2展开法，即利用某些已知的初等函数的幂级数展开!"%例"在几何级数%!’4’4’⋯’4’⋯式和幂级数的代数运算及分析运算的性质，推出相!(4（-!343!）中分别令4’-

4、&+-&"&&"便可得出下列函数应的展开式。用直接展开法将函数展开成幂级数，工作量大，且)（%）（&）的规律难以寻求，还要验证余项的展开式的极限是否趋向于零，有时这样做是比较复杂的，!%!(&’&"(&#’⋯’（(!）%&%’⋯（-!3&3!）甚至是比较困难的，为了避免对余项的讨论，经常!0&使用间接展开法，巧妙地利用已知函数的展开式和!%!(&"’&)(&*’%"%⋯’（(!）&’⋯（-!3&3!）幂级数的性质，常能化难为易，简化计算，收到事半!0&"功倍的效果。本文就间接展开法举几例，探讨其解!%!’&"’&)’&*’"%题方

5、法与技巧，期望对教学有所帮助。"⋯’&’⋯（-!3&3!）!-&!通过变量代换，直接套用*&+,"%&+例#在二项展开式!###（#(!）"!%&++./,&+（!0&）这些函数的幂级（!’&）%!’#&’&’⋯!-&"+#（#(!）⋯（#(%’!）%数展开式，把所给函数展成幂级数。’&0⋯（-!3&3!）%+例!将&"·#&展开为&的幂级数$!!中，令#’&#’(&#’("&#’(#,#为任意实""收稿日期："22#(!2("Q吴凤香金华职业技术学院信息工程学院副教授，#"!2!/金华市方晓华金华职业技术学院信息工程学院副教授第

6、.期吴凤香等：函数展成幂级数方法探讨.!!!!!"!数）便可得到!!"!###这些例%将函数#（!）&展开成!的幂级数-（!"!）$（!"!）%（!)!）%!!"!函数的展开式，不过在区间的端点!&’!处，展开式解法&3利用待定系数法可求得!!"!)!$是否成立，要看(的数值而定。如"&#!&’!处展#（!）&%&$"%$（!)!）（!)!）（!)!）!)!)!开式都成立。而当"&)时，!&!时展开式成立，而分析3"’!&":$（!)!）$!)!在!&)!处，则展开式不成立。应注意，写出函数展$!"’!&":（!)!）%（!)!）

7、$开式时，一定要给出展开区间。否则，解题欠完整。!首先展开导函数，然后用逐项积分")!’!&!$（!)!）":!)!的方法求出原函数的幂级数展开式!!$"’!&":例"求函数#（!）&!*（!"!!"!）的幂级数展（!)!）$!)!开式。!’$7+$（!)!）%8解：注意到!*（+"!!"!$）,&!可知!%!&)!"$$$%!!"!$’!（!)!）（!)!）而由（!"!）"的展开式可求得&#（!）!$!%!$!&!)!（!$）"!-%（!$）$)!-%-/（!$）%"⋯已知+$（!)!）&)（!%"%⋯%%⋯）!!"!$$$-.

8、$-.-0$%$（)!!!,!）"$（$$)!）11（!$）$（)!）"⋯（$$）！！!&!"!"!$"!%"⋯"!$"⋯（)!,!,!）!)!将上式两端从2到!逐项积分，即可得到!对上式两端求导两次得$’!!$（!%!!"!）&"%(2!"!$)