函数的幂级数展开.ppt

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1、第五节函数的幂级数展开一.泰勒级数二.函数的幂级数展开1教学目标1.了解泰勒级数的定义,掌握将函数展成泰勒级数的充要条件.2.理解函数的幂级数直接展开法．3.掌握幂级数的幂级数间接展开法．2通过上节的学习知道:任何一个幂级数在其收敛区间内均可表示成一个函数(即和函数).但在实际中为了便于研究和计算,常常需将一个函数在某点附近表示成一个幂级数.这正好和原来“求一个幂级数的和函数”问题相反.本节将介绍如何将一个函数表示为一个幂级数.下面将解决这样一些问题:(1)对于给定的函数ƒ(x),在什么条件下才能展开成幂级数?(2)如

2、果可以展开,怎样求这个幂级数的系数3(3)展开后的幂级数是否唯一?一.泰勒级数的幂级数展开;称此幂级数为该函数的幂级数展开式.由上册第四章泰勒Taylor中值定理知,若函数ƒ(x)在x0的某邻域内具有直到(n+1)阶导数,则对于有若一个函数ƒ(x)能表示成一个幂级数称为此函数4我们称此等式为函数ƒ(x)在x=x0处的n阶泰勒Taylor公式或泰勒Taylor展开式.其中显然一个函数的n阶泰勒公式与幂级数有一定的相似之处.故为了讨论函数的幂级数展开,先来讨论泰勒级数.由泰勒中值定理知,当ƒ(x)在x0的某邻域内具有直到n

3、+1从而当ƒ(x)在该邻域内具有任意阶导数时,有阶导数,那么在该邻域内必有5的泰勒级数或泰勒展开式.定义7称为函数ƒ(x)在x0处特别地,在时,上式即为称为函数ƒ(x)在处的麦克劳林级数或麦克劳林展开式.6满足定理10若函数在点x0的某一邻域内有任意阶导数,可展成泰勒级数的充分必要条件是的泰勒余项则定理11若函数在点x0的某一邻域内能展成幂级数,则这个幂级数一定是泰勒级数,也就是说则7二.函数的幂级数展开其幂级数展开式必为麦克劳林级数.数展开式必为泰勒级数;以上定理说明，若在x=x0处能展成幂级数,则其幂级若在x=0处

4、能展成幂级数,则将初等函数展成幂级数的方法因为级数可相互转化,故下面主要讨论如何将展开成x的幂级数,即麦克劳林级数.81.直接展开法数的方法,称为直接展开法.(3)证明在收敛区间内余项直接展开法的计算步骤为:利用式直接将展开成一个幂级(1)求出在x=0处的各阶导数值:(2)写出的麦克劳林级数,并给出收敛区间;并写出收敛区间.(4)写出的展开式:9且其收敛区间为于是解的一般项,则对恒有例1将函数展开成x的幂级数.10解例2将函数展开成x的幂级数.11且其收敛区间为于是对恒有12利用间接展开法,可以将幂函数展开成x的幂级数

5、.13称这个公式为二项展开式.下面略去证明过程,有注1此级数在端点处的敛散性完全由α的具体取值而定.142.间接展开法何级数、指数函数ex和正弦函数sinx),进行逐项积分或很大;下面利用幂级数的性质与已知幂级数的展开式(如几逐项微分或变量替换等方法,求出一些函数的幂级数展开式——间接展开法.常用的函数展开式即收敛区间如下：的难度有时直接展开法麻烦不说,要证明151617例3函数展开成x的幂级数.解所以而于是18例4函数展开成x的幂级数.解而所以19例5函数展开成x的幂级数.解于是而20解例6将展成的幂级数.2122解

6、例7将展为的幂级数.因为于是,当即时,23当即时,所以当时,24证因为例8证明欧拉公式所以25合并同类项得2627机动目录上页下页返回结束作业：P1301(单数),2,327内容小结1.函数的幂级数展开法(1)直接展开法—利用泰勒公式;(2)间接展开法—利用幂级数的性质及已知展开式的函数.2.常用函数的幂级数展开式2829有何不同?提示后者必需证明前者无此要求.提示思考练习2.如何求的幂级数?1.函数处“有泰勒级数”与“能展成泰勒级数”30解x1时,此级数条件收敛,因此3.将下列函数展开成x的幂级数31