03_幂级数展开

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1、21.52nxxxx1e=+++++1""1!2!n!0.5-2-112xe∼132xex∼1+12-2-112xxxe∼1++-11!2!54xxx233ex∼1+++21!2!3!1-2-112#6547356254143-2-11232211-2-112-2-112-1第三章幂级数展开§3.1复数项级数复数列的极限复数列{}αnnnn,α=abn+=i,(1,2,),⋅⋅⋅另有α=ab+i,如果任意ε>0，存在正数N(ε)使得

2、α-α

3、<ε在n>N时成立，n那么α称为复数列{α}当n→∞时的极限，记作nlimα=α.n此时也称复数列{αn}收敛于α.n→∞1+inn

4、→∞0i+例：αn=(1+ni)/(1-ni),收敛ααnn=⎯⎯⎯⎯→=−1,lim=−110i−n→∞−inαn=ncosin=nchn，发散定理复数列{}α(1n=,2,)⋅⋅⋅收敛于α的充要条件是nlimaa==,limbb.nnnn→∞→∞()⇒∀>∃ε0,,whilNne>N,

5、(i)(ia+b−+ab)

6、<ε.nn

7、∴−≤−+−

8、

9、()i()

10、ε.nnn∴=limaa;...nn→∞εε()⇐∀>∃ε0,,whilNne>N,

11、

12、a−

13、

14、−

15、

16、ααε

17、()aabbaabbi()

18、

19、

20、

21、

22、.nnnnn∴

23、=limαα.nn→∞n1n例：α=(-1)+i/(n+1)Re()1ααnn=()−→−1or1,Im()=→×0,nn+1nnππ例：α=e-nπi/2Re()cαα=os,Im()s=−in,×nnn22级数的概念复数列{}β，其中β=abn+i,(1,2,)=⋅⋅⋅，则nnnn∞∑βββ=++⋅⋅⋅+β+⋅⋅⋅nn12称为复数项无穷级数.n=1前n项和Snn=++β12ββ⋅⋅⋅+称为级数的部分和.若部分和复数列{}Sn存在有限极限，则称无穷级数∞∑β收敛，而这极限值称为该级数的和,即limSSn=nn→∞n=1∞记作S=∑βn∞n=1{S}∑β若部分和复数列n无

24、有限的极限，则n级数发散。n=1对于复数项级数，存在类似于实数项级数收敛的充要条件.柯西收敛准则∞级数∑βββ=++⋅⋅⋅++β⋅⋅⋅收敛的充要条件：nn12n=1对于任意给定的ε>0，存在自然数N使得，当n>N时，np+定理4.1.1柯西收敛准则对于复数项级数，存在类似于实数项级数收敛的充分必要条件.级数(4.1.1)收敛的充分必要条件是对于任意给定的ε>

25、

26、0,∑βk<ε，其中p为任意正整数.∞kn存在自然数=+1N使得当∑β定理设β=abn+i(1=,2,)⋅⋅⋅,Sab=+i,则级数nnN>nnnn=1时，∞∞np+收敛于S的充要条件是级数的实部∑an和虚部∑bn

27、都收敛

28、

29、∑βk<ε∞∞n=1n=1kn=+1lim(4.1.4)∑∑aa==,limbb.其中nnnn→∞→∞pnn==11为任意正整数.∞∞定理如∑

30、

31、αn收敛，那么∑αn也收敛，且不等式∞∞n=1n=1∞

32、

33、

34、

35、成立。相应地，称原级数α绝对收敛;∑∑α≤α∑nnnnn==11n=1否则称为条件收敛。例：∞∞∞11∞∞1i⎛⎞1)∑⎜⎟1+,∑∑abnn=(),×=∑∑2→0n=1nn⎝⎠nn==11nnnn==11∞⎡⎤(1)−n1∞∞n(1)−12)∑⎢⎥+ni,∑∑→→0,n0n=1⎣⎦n2nn==11n2∞∞若已知两绝对收敛级数∑∑αβnn==SL,,则两级n

36、n==11数的柯西乘积绝对收敛∞∞∞∞n()∑∑∑αβαnn()(=12βnn+αβ−+1+⋅⋅⋅+αnβ1)=∑∑αkβ(n1)−k=SLnn==11n=1n=1k=1{()},(fzn=0,1,2,...)是定义在区域D上的复变函数序列，n∞则称表达式∑fzfzfzfznn()=012()+()+()+⋅⋅⋅+fz()+⋅⋅⋅,n=0为复变函数项级数（简称复函数项级数）.∞如果对于D内某点z，数项级数∑fzn()0收敛，则称该点为0n=0∞∑fzn()0的一个收敛点，若级数在区域D内的每一点都收n=0∞敛，则称该级数在区域D内收敛;收敛点的集合称为∑fzn()0n=0

37、的收敛域.∞若级数∑fzn()0发散，则称点z为级数的发散点，发散点0n=0∞的集合称为∑fzn()0的发散域.n=0∞如果级数∑fzn()0在D内处处收敛，则其和一定是z的函数，n=0∞记为S(z)，称为∑fzn()0在D内的和函数.n=0∞复数项级数∑fzn()收敛的充要条件是区域D内的各n=0点z对于任意给定的ε>0，存在N(z)存在，使得对任意正整np+数p，当n>N(z)时，

38、(∑fzk)

39、<ε.kn=+1如果对于任意给定的ε>0，存在一个与z无关的自然数N，使得对于区域D内(或曲线L上)的一切z均有，当n>N(z)