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《高数8-4函数幂级数展开》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、++、幂级数的解析性质二、函数展开为幂级数++、函数展开为幂级数应用(P300，自阅)§8-4函数展开为幂级数一、泰勒级数1幂级数的和函数在其收敛区间内是连续的在收敛区间端点处是指和函数的左、右连续性.++、幂级数的解析性质幂级数的解析性质2幂级数在其收敛区间内具有逐项可积性在幂级数的收敛区间内,其和函数连续,故幂级数的和函数在收敛区间内可积,当然,幂级数也在其收敛区间内可积.逐项积分得到的新幂级数与原幂级数具有相同的收敛半径,但端点处的敛散性可能改变.幂级数的解析性质3幂级数在其收敛区间内具有逐项可导性逐项求导得到的新幂级数与原幂级数具有相同的收敛半径,但要注意：由于常数的导数为零,
2、故有些幂级数在求导后要改变下标的起始值.首项为x,公比为x.例1解符合积分要求了分析例2等比级数例2解例3解由幂级数在其收敛区间内的逐项可导性,得例3分析在收敛区间内对幂级数逐项求导、逐项积分后,得到一个新的幂级数,且它与原幂级数具有相同的收敛半径.如有必要,可对它连续进行逐项求导和逐项积分.就是说：在收敛区间内幂级数的和函数具有任意阶的导数及任意次的可积性！Q1.如何求幂级数的和函数？Q2.利用幂级数求常数项级数的和？如何将函数表示为幂级数?怎么做？一个幂级数在其收敛区间内代表一个函数,即它的和函数:任意一个函数能否在某一个区间内表示为某一个幂级数的形式呢?即是否有工程需要泰勒公式问
3、题一、泰勒级数定义定理证由定理的条件可知,且其和函数于是有：由数学归纳法,得：该定理说明,幂级数的和函数,则该幂级数一定是下列形式:定理和定义告诉我们：处有任意阶导数,则它就有一个相应的泰勒级数存在.但此泰勒级数不一定收敛,即算收敛,其和函数也不一定等于即,函数与它的泰勒级数间划等号是有条件的！内可表示为幂级数的形式,则该幂级数一定是函数f(x)的泰勒级数.问题回忆泰勒中值定理的拉格朗日余项由级数的部分和及收敛性质看出一点什么没有?定理证余下的工作请你完成！推论证（分析）马克劳林级数就可写出它的泰勒级数.但它的泰勒级数不一定收敛,只有当拉格朗日余项时,泰勒级数才收敛于一个函数如果能够展
4、开为幂级数形式,则该幂级数一定是它的泰勒级数,且这种展开是唯一的.即使收敛,其和函数二、函数展开为幂级数函数展开为幂级数直接展开法间接展开法该方法是先求出函数写出它的泰勒级数,然后,判断泰勒公式中的拉格朗日余项是否满足确定级数的收敛区间.直接展开法例4解例5解从一些已知函数的泰勒展开式出发,利用幂级数的四则运算和解析运算性质,以及进行适当的变量代换来求出另外一些函数的泰勒公式的方法,称为间接展开法.间接展开法例6解利用变量代换例7解等比级数的和例8解作业：P303，习题8-4，1（2）（3），2（1）（2）仔细阅读：P297例4，P298例6，例7内容小结1.函数的幂级数展开法(1)直
5、接展开法—利用泰勒公式；(2)间接展开法—利用幂级数的性质及已知展开2.常用函数的幂级数展开式式的函数。当m=–1时思考与练习1.函数处“有泰勒级数”与“能展成泰勒级数”有何不同?提示:后者必需证明前者无此要求.2.如何求的幂级数?提示:备用题1.将下列函数展开成x的幂级数解:x＝±1时,此级数条件收敛,因此2.将在x=0处展为幂级数.解:因此
