资源描述：
《函数的幂级数展开》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、§2函数的幂级数展开由泰勒公式知道,可以将满足一定条件的函数表示为一个多项式与一个余项的和.如果能将一个满足适当条件的函数在某个区间上表示成一个幂级数,就为函数的研究提供了一种新的方法.返回二、初等函数的幂级数展开式一、泰勒级数一、泰勒级数在第六章§3的泰勒定理中曾指出,若函数f在点x0的某邻域内存在直至n+1阶的连续导数,则这里为拉格朗日型余项由于余项是关于的高阶无穷小,因此在点附近f可用(1)式右边的多项式来近似代替,这是泰勒公式带来的重要结论.再进一步,设函数f在处存在任意阶导数,就可以由函数f得到一个幂级数其中在x与x0之间,称(1)式为f在点的泰勒公式.通常称(3)式为f
2、在处的泰勒级数.对于级数(3)是否能在点附近确切地表达f,或者说级数(3)在点附近的和函数是否就是f本身,这就是本节所要着重讨论的问题.请先看一个例子.例1由于函数在处的任意阶导数都等于0(见第六章§4第二段末尾),即因此f在的泰勒级数为显然它在上收敛,且其和函数.由此看到,对一切都有.上例说明,具有任意阶导数的函数,其泰勒级数并不都能收敛于该函数本身,哪怕在很小的一个邻域内.那么怎样的函数,其泰勒级数才能收敛于它本身呢?定理14.11设f在点具有任意阶导数,那么f在区间上等于它的泰勒级数的和函数的充分条件是:对一切满足不等式的,有这里是f在点泰勒公式的余项.本定理的证明可以直接从
3、第六章§3泰勒定理推出.如果f能在点的某邻域上等于其泰勒级数的和函数,则称函数f在点的这一邻域内可以展开成泰勒级数,并称等式的右边为f在处的泰勒展开式,或幂级数展开式.由级数的逐项求导性质可得:若f为幂级数在收敛区间上的和函数,则就是f在上的泰勒展开式,即幂级数展开式是惟一的.在实际应用上,主要讨论函数在处的展开式,这时(3)式就变成称为麦克劳林级数.从定理14.11知道,余项对确定函数能否展开为幂级数是极为重要的,下面我们重新写出当时的积分型余项、拉格朗日型余项和柯西型余项,以便于后面的讨论.它们分别是二、初等函数的幂级数展开式例2求k次多项式函数的幂级数展开式.解由于即多项式函
4、数的幂级数展开式就是它本身.例3求函数f(x)=ex的幂级数展开式.解显见对任何实数x,都有例4所以在上可以展开为麦克劳林级数:同样可证(或用逐项求导),在上有例5所以的麦克劳林级数是用比式判别法容易求得级数(5)的收敛半径,且当时收敛,时发散,故级数(5)的收敛域是.下面讨论在上它的余项的极限.当时,对拉格朗日型余项,有当时,因拉格朗日型余项不易估计,故改用柯西型余项.此时有这就证得在上的幂级数展开式就是(5).将(5)式中x换成,就得到函数处的泰勒展开式:其收敛域为例6讨论二项式函数的展开式.解当为正整数时,由二项式定理直接展开,就得到f的展开式,这已在前面例2中讨论过.下面讨
5、论不等于正整数时的情形,这时于是的麦克劳林级数是运用比式法,可得(6)的收敛半径.在内考察它的柯西型余项由比式判别法,于1所以在论如下:对于收敛区间端点的情形,与的取值有关,其结一般来说,只有比较简单的函数,其幂级数展开式能直接从定义出发,并根据定理14.11求得.更多的情况是从已知的展开式出发,通过变量代换、四则运算或逐项求导、逐项求积等方法,间接地求得函数的幂级数展开式.注求一个函数的幂级数展开式就是确定该幂级数各项的系数,根据展开式的惟一性,不管用什么方法得到的系数都是一样的.这就是间接展开的根据.例7以与分别代入(8)与(9)式,可得对于(10)、(11)分别逐项求积可得函
6、数与的展开式:-11-2-112由此可见,熟练掌握某些初等函数的展开式,对求其他一些函数的幂级数展开式是非常方便和有用的,特别是例3～例7的结果,对于今后用间接方法求幂级数展开十分方便.解利用,得处连续,在处无定义,例8求函数在处的幂级数展开式.而级数的收敛域为,所以注严格地说,上式中的幂级数在上有和函数,而只是它在上的和函数.又因为,所以用类似方法可得.(13)大家一定非常熟悉三角函数表和对数表,但这些表是怎样制作出来的呢?例9计算的近似值,精确到解可以在展开式中令,得.这是一个交错级数,故有.为了误差小于0.0001,就必须计算级数前10000项的和,收敛得太慢.为此在(13)
7、式中令,,代入(13)式,有估计余项:取,就有因此最后举例说明怎样用幂级数形式表示某些非初等函数,这是幂级数特有的功能.例10用间接方法求非初等函数的幂级数展开式.解以代替ex的展开式中的x,得再逐项求积,就得到在上的展开式:F(x)用上述级数的部分和逐项逼近的过程,示于下图:-2-112O-1-0.50.51复习思考题1.设幂级数在的和函数为,问在处的幂级数展开式是什么?2.设函数在上的幂级数展开式为若上式右边的幂级数在(或)收敛,能否得出上式在(或)成立?(结合例
