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1、第八章多元函数微分法及其应用第一节多元函数的基本概念一元函数的定义域可用数轴上的点来表示，而二元函数的定义域需用平面上的点来表示.这里r,h是两个可以独立取值的变量，当r,h取定一对值时,就有确定的V与之对应.例如，圆柱体的体积邻域(Neighborhood)设P0(x0,y0)是xOy平面上的一个点,几何表示：Oxy.P0令有时简记为称为将邻域去掉中心,注称为去心邻域.记为一、区域(1)内点显然,E的内点属于E.(2)外点如果存在点P的某个邻域则称P为E的外点.(3)边界点如点P的任一邻域内既有属于E的点,也有不属于E的点,称P为E的边界点.任意
2、一点与任意一点集之间必有以下三种关系中的一种:设E为一平面点集,若存在称P为E的内点.E的边界点的全体称为E的边界,记作使U(P)∩E=,聚点如果对于任意给定的点P的去心邻域内总有E中的点则称P是E的聚点.例如,设点集(P本身可属于E,也可不属于E),则P为E的内点;则P为E的边界点,也是E的聚点.E的边界为集合设D是开集.连通的开集称区域连通的.如对D内任何两点,都可用折线连且该折线上的点都属于D,称开集D是或开区域.如都是区域.开集若E的任意一点都是内点,例称E为开集.E1为开集.结起来,开区域连同其边界,称为闭区域.有界区域否则称为都是闭区
3、域.如总可以被包围在一个以原点为中心、半径适当大的圆内的区域,称为有界区域.(可伸展到无限远处的区域).无界区域n元有序数组的全体n维空间中的每一个元素称为空间中称为该点的第k个坐标.n维空间中两点的距离定义为n维空间中点记作及的邻域为n维空间n维空间.称为即的一个点,按着这个关系有确定的点集D称为该函数称为该函数的值域.则称z是x,y的定义1若变量z与D中的变量x,y之间有一个依赖关系,设D是xOy平面上的点集,使得在D内每取定一个点P(x,y)时,z值与之对应,记为称x,y为自变量,的定义域,数集二元(点)函数.称z为因变量,二、多元函数的概
4、念二元及二元以上的函数统称为多元函数.多元函数定义域定义域为符合实际意义的自变量取值的全体.记为或类似,可定义n元函数.实际问题中的函数:自变量取值的全体.纯数学问题的函数:定义域为使运算有意义的函数在点处的函数值例1求的定义域．解所求定义域为二元函数的图形这个点集称为二元函数的图形.当x、y取遍D上一切点时，得一个空间点集，设函数的定义域为D，对于任意对应的函数值为取定的这样，以x为横坐标、y为纵坐标、z为竖坐标在空间就确定一点二元函数的图形通常是一张曲面例如,图形如右图.例如,图形是球面.单值分支:讨论二元函数怎样描述呢?Oxy(1)P(x,y
5、)趋向于P0(x0,y0)的路径又是多种多样的.注方向有任意多个,Oxy三、多元函数的极限(2)动点P(x,y)总可以用来表示极限过程:与定点P0(x0,y0)之间的距离记为不论的过程多复杂,记作定义2设二元函数有成立.的极限.P0(x0,y0)是D的聚点.的定义义域为D,如果存在常数A,也记作说明(2)二元函数的极限也叫二重极限;(doublelimit)(1)定义中的方式是任意的；(3)二元函数的极限运算法则与一元函数类似;称为二次极限.(4)极限与例2设函数讨论极限是否存在.解取其值随k的不同而变化，故极限不存在.设二元函数则称函数定义3P0
6、(x0,y0)为D的聚点,且P0∈D.如果连续.如果函数f(x,y)在开区域(闭区域)D内的每一点连续,则称函数在D内连续,或称函数是D内的连续函数.的定义域为D,四、多元函数的连续性例3讨论函数在点(0,0)处的连续性．解由例2知，故函数在(0,0)处不连续．极限不存在，的不连续点,若函数在点P0(x0,y0)不连续,称P0为函数间断点.若在D内某些孤立点,没有定义,或沿D内某些曲线,但在D内其余部分,都有定义,则在这些孤立点或这些曲线上,即间断点.函数都是函数则在单位圆处处是间断点.函数定义4设n元函数的定义域为点集D,是其聚点且如果则称n元函
7、数在点处连续.设是函数的定义域的聚点，如果在点处不连续，则称是函数的间断点.五、闭区域上连续函数的性质在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上至少取得它的最大值和最小值各一次．在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次．性质1.最大值和最小值定理性质2.介值定理多元初等函数：由常数及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数.一切多元初等函数在其定义区域内是连续的．定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域．例5解例4解函数定义区域为
