专题18 恒成立问题——最值分析法【解析版】

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1、专题18恒成立问题——最值分析法【热点聚焦与扩展】不等式恒成立问题常见处理方法：①分离参数恒成立(可)或恒成立（即可）；②数形结合(图象在上方即可)；③最值法：讨论最值或恒成立；④讨论参数.最值法求解恒成立问题是三种方法中最为复杂的一种，但往往会用在解决导数综合题目中的恒成立问题.此方法考查学生对所给函数的性质的了解，以及对含参问题分类讨论的基本功.是函数与导数中的难点问题，下面通过典型例题总结此类问题的解法----最值分析法.1、最值法的特点：（1）构造函数时往往将参数与自变量放在不等号的一侧，整体视为

2、一个函数，其函数含参（2）参数往往会出现在导函数中，进而参数不同的取值会对原函数的单调性产生影响——可能经历分类讨论2、理论基础：设的定义域为（1）若，均有（其中为常数），则（2）若，均有（其中为常数），则3、技巧与方法：（1）最值法解决恒成立问题会导致所构造的函数中有参数，进而不易分析函数的单调区间，所以在使用最值法之前可先做好以下准备工作：①观察函数的零点是否便于猜出（注意边界点的值）②缩小参数与自变量的范围：通过代入一些特殊值能否缩小所求参数的讨论范围（便于单调性分析）观察在定义域中是否包含一个恒成

3、立的区间（即无论参数取何值，不等式均成立），缩小自变量的取值范围（2）首先要明确导函数对原函数的作用：即导函数的符号决定原函数的单调性.如果所构造的函数，其导数结构比较复杂不易分析出单调性，则可把需要判断符号的式子拿出来构造一个新函数，再想办法解决其符号.（3）在考虑函数最值时，除了依靠单调性，也可根据最值点的出处，即“只有边界点与极值点才是最值点的候选点”，所以有的讨论点就集中在“极值点”是否落在定义域内.【经典例题】例1．（2019·全国高考真题（文））已知函数f（x）=2sinx－xcosx－x，f

4、′（x）为f（x）的导数．（1）证明：f′（x）在区间（0，π）存在唯一零点；（2）若x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求a的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）.【解析】（1）令，则当时，令，解得：当时，；当时，在上单调递增；在上单调递减又，，即当时，，此时无零点，即无零点，使得又在上单调递减为，即在上的唯一零点综上所述：在区间存在唯一零点（2）若时，，即恒成立令则，由（1）可知，在上单调递增；在上单调递减且，，，①当时，，即在上恒成立在上单调递增，即，此时恒成立②当时，，，，使得在上单调递增，在上单

5、调递减又，在上恒成立，即恒成立③当时，，，使得在上单调递减，在上单调递增时，，可知不恒成立④当时，在上单调递减可知不恒成立综上所述：例2．（2019·湖北高三月考（文））已知函数f（x）=ex+1-alnax+a（a＞0）．（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若关于x的不等式f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．【答案】(1)（e2-1）x-y-2=0．(2)（0，e2）【解析】（1）当a=1时，函数f（x）=ex+1-alnax+a，转换为：f（x）=ex+1-

6、lnx+1，故：．故切线的斜率k=f′（1）=e2-1，故切线的方程为：y-f（1）=f′（1）（x-1），整理得：y-（e2-1）=（e2-1）（x-1），即（e2-1）x-y-2=0．（2）f（x）=ex+1-alnax+a，所以：=，显然：g（x）=xex+1-a在（0，+∞）上单调递增．由于g（0）=-a＜0，所以：g（a）=aea+1-a＞0，则：存在x0∈（0，a），使得g（x0）=0，即：，lna=lnx0+x0+1，又0＜x＜x0，f′（x）＜0，所以函数f（x）单调递减．x＞x0，f′（

7、x）＞0，函数f（x）单调递增．f（x）在x=x0处取得最小值．故：，=由f（x）＞0恒成立，得到：f（x0）＞0，即：，所以：，设h（x）=，则：＜0，所以：函数h（x）在（0，+∞）上单调递减．由于h（1）=0，则h（x）＞0，解得：0＜x＜1，所以：0＜x0＜1，，在x0∈（0，1）单调递增，所以：0＜a＜e2．因此a=，故：a的取值范围为（0，e2）．例3.（2019·湖北高考模拟（文））已知函数（1）若直线为的切线，求的值．（2）若，恒成立，求的取值范围．【答案】（1）0；（2）【解析】（1）设

8、切点为，，∴，令，则，当时，，在上为增函数；当时，，在上为减函数；所以，所以，又，所以．（2），恒成立，．令，，，,当时，，所以在上为增函数，，①若，则当时，故在上为增函数，故时，有即恒成立，满足题意.②若，因为为上的增函数且，，令，其中，，所以在为增函数，所以，故存在，使得且时，，在为减函数，故当时，，矛盾，舍去.综上可得：．例4.（2019·安徽高考模拟（理））已知函数（为自然对数的底数）（Ⅰ）试讨论函数的导函数的极值；（