专题46 直线与圆、圆与圆的位置关系【教师版】

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1、第八篇平面解析几何专题46直线与圆、圆与圆的位置关系【热点聚焦与扩展】高考对圆的方程的考查，一般是以小题的形式出现，也有与向量、圆锥曲线等相结合的问题．纵观近几年的高考试题，主要考查以下几个方面：一是考查圆的方程，要求利用待定系数法求出圆的方程，并结合圆的几何性质解决相关问题；二是考查直线与圆的位置关系，高考要求能熟练地解决圆的切线问题，弦长问题是高考热点，其中利用由圆心距、半径与半弦长构成的直角三角形，是求弦长问题的关键．三是判断圆与圆的位置关系，确定公共弦所在的直线方程.近几年多与圆锥曲线问题综合考查.本专题通过例题说明关于直线与圆、圆与圆的位置关系问题

2、的解法与技巧.1、定义：在平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆2、圆的标准方程：设圆心的坐标，半径为，则圆的标准方程为：3、圆的一般方程：圆方程为（1）的系数相同（2）方程中无项（3）对于的取值要求：4、直线与圆位置关系的判定：相切，相交，相离，位置关系的判定有两种方式：（1）几何性质：通过判断圆心到直线距离与半径的大小得到直线与圆位置关系，设圆的半径为，圆心到直线的距离为，则：①当时，直线与圆相交②当时，直线与圆相切③当时，直线与圆相离（2）代数性质：可通过判断直线与圆的交点个数得到直线与圆位置关系，即联立直线与圆的方程，再判断解的个数.设直线：，圆：

3、，则：消去可得关于的一元二次方程，考虑其判别式的符号①，方程组有两组解，所以直线与圆相交②，方程组有一组解，所以直线与圆相切③，方程组无解，所以直线与圆相离5、直线与圆相交：弦长计算公式：6、直线与圆相切：（1）如何求得切线方程：主要依据两条性质：一是切点与圆心的连线与切线垂直；二是圆心到切线的距离等于半径（2）圆上点的切线结论：①圆上点处的切线方程为②圆上点处的切线方程为（3）过圆外一点的切线方程（两条切线）：可采取上例方法二的做法，先设出直线方程，再利用圆心到切线距离等于半径求得斜率，从而得到方程.（要注意判断斜率不存在的直线是否为切线）7、与圆相关的最

4、值问题（1）已知圆及圆外一定点，设圆的半径为则圆上点到点距离的最小值为，最大值为（即连结并延长，为与圆的交点，为延长线与圆的交点.（2）已知圆及圆内一定点，则过点的所有弦中最长的为直径，最短的为与该直径垂直的弦.（3）已知圆和圆外的一条直线，则圆上点到直线距离的最小值为，距离的最大值为（过圆心作的垂线，垂足为，与圆交于，其反向延长线交圆于（4）已知圆和圆外的一条直线，则过直线上的点作圆的切线，切线长的最小值为.8、圆与圆的位置关系：外离，外切，相交，内切，内含（1）可通过圆心距离与半径的关系判定：设圆的半径为，①外离②外切③相交④内切⑤内含（2）可通过联立圆

5、的方程组，从而由方程组解的个数判定两圆位置关系.但只能判断交点的个数.例如方程组的解只有一组时，只能说明两圆有一个公共点，但是外切还是内切无法直接判定【经典例题】例1.（福建高考真题（理））直线与圆相交于两点，则是“的面积为”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件【答案】A【解析】由时,圆心到直线的距离.所以弦长为.所以.所以充分性成立,由图形的对成性当时,的面积为.所以不要性不成立.故选A.例2.（2018·全国高考真题（文））直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是（）A．B．C．D．【答案

6、】A【解析】直线分别与轴，轴交于，两点,则点P在圆上圆心为（2，0），则圆心到直线距离故点P到直线的距离的范围为则故答案选A.例3.（2018·北京高考真题（理））在平面直角坐标系中，记为点到直线的距离，当、变化时，的最大值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】为单位圆上一点，而直线过点，所以的最大值为，选C.例4.（2016高考山东）已知圆M：截直线所得线段的长度是，则圆M与圆N：的位置关系是（）（A）内切（B）相交（C）外切（D）相离【答案】B【解析】由（）得（），所以圆的圆心为，半径为，因为圆截直线所得线段的长度是，所以，解得，圆的圆心为，半径为，所

7、以，，，因为，所以圆与圆相交，故选B．例5.（2018届湖北省华师一附中调研）已知圆C：（）及直线：，当直线被C截得的弦长为时，则=（）A.B.C.D.【答案】C【解析】由题意，得，解得，又因为，所以；故选C.例6.（2018届黑龙江省海林市朝鲜中学高考综合卷（一））已知两点，（），若曲线上存在点，使得，则正实数的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】把圆的方程化为，以为直径的圆的方程为，若曲线上存在点，使得，则两圆有交点，所以，解得，选B.例7.已知直线上总存在点，使得过点作的圆：的两条切线互相垂直，则实数的取值范围是（）A.或B.C.D.或【答

8、案】C【解析】如图，设切点分别为A，B．连接AC，B