2.3直线与圆、圆与圆的位置关系

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1、基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.(2016·全国Ⅱ卷)圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a＝(　　)A.－B.－C.D.2解析　由圆的方程x2＋y2－2x－8y＋13＝0得圆心坐标为(1，4)，由点到直线的距离公式得d＝＝1，解之得a＝－.答案　A2.(2017·长春模拟)过点(3，1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为(　　)A.2x＋y－5＝0B.2x＋y－7＝0C.x－2y－5＝0D.x－2y－7＝0解析　∵过点(3，1)作圆(x

2、－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，∴点(3，1)在圆(x－1)2＋y2＝r2上，∵圆心与切点连线的斜率k＝＝，∴切线的斜率为－2，则圆的切线方程为y－1＝－2(x－3)，即2x＋y－7＝0.故选B.答案　B3.已知圆x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直线x＋y＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a的值是(　　)A.－2B.－4C.－6D.－8解析　将圆的方程化为标准方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝2－a，所以圆心为(－1，1)，半径r＝，圆心到直线x＋y＋2＝0的距离d＝＝，故r2－d2＝4，即2－a－2＝4，所以a＝－

3、4，故选B.答案　B4.圆x2＋2x＋y2＋4y－3＝0上到直线x＋y＋1＝0的距离为的点共有(　　)A.1个B.2个C.3个D.4个解析　圆的方程化为(x＋1)2＋(y＋2)2＝8，圆心(－1，－2)到直线距离d＝＝，半径是2，结合图形可知有3个符合条件的点.答案　C5.(2017·福州模拟)过点P(1，－2)作圆C：(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则AB所在直线的方程为(　　)A.y＝－B.y＝－C.y＝－D.y＝－解析　圆(x－1)2＋y2＝1的圆心为(1，0)，半径为1，以

4、PC

5、＝＝2为直径的

6、圆的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝1，将两圆的方程相减得AB所在直线的方程为2y＋1＝0，即y＝－.故选B.答案　B二、填空题6.(2016·全国Ⅲ卷)已知直线l：x－y＋6＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，则

7、CD

8、＝________.解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得y2－3y＋6＝0，解得y1＝，y2＝2，∴A(－3，)，B(0，2).过A，B作l的垂线方程分别为y－＝－(x＋3)，y－2＝－x，令y＝0，得xC＝－2，xD＝2，∴

9、CD

10、＝2－(－

11、2)＝4.答案　47.(2017·兰州月考)点P在圆C1：x2＋y2－8x－4y＋11＝0上，点Q在圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0上，则

12、PQ

13、的最小值是________.解析　把圆C1、圆C2的方程都化成标准形式，得(x－4)2＋(y－2)2＝9，(x＋2)2＋(y＋1)2＝4.圆C1的圆心坐标是(4，2)，半径长是3；圆C2的圆心坐标是(－2，－1)，半径是2.圆心距d＝＝3.所以，

14、PQ

15、的最小值是3－5.答案　3－58.(2017·贵阳一模)由直线y＝x＋1上的一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则切线长

16、的最小值为________.解析　设直线上一点为P，切点为Q，圆心为M，则

17、PQ

18、即切线长，MQ为圆M的半径，长度为1，

19、PQ

20、＝＝.要使

21、PQ

22、最小，即求

23、PM

24、的最小值，此题转化为求直线y＝x＋1上的点到圆心M的最小距离.设圆心到直线y＝x＋1的距离为d，则d＝＝2.所以

25、PM

26、的最小值为2.所以

27、PQ

28、＝≥＝.答案　三、解答题9.(2015·全国Ⅰ卷)已知过点A(0，1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点.(1)求k的取值范围；(2)若·＝12，其中O为坐标原点，求

29、MN

30、.解　(

31、1)易知圆心坐标为(2，3)，半径r＝1，由题设，可知直线l的方程为y＝kx＋1，因为l与C交于两点，所以<1.解得

32、MN

33、＝2.10.已知直线l：y＝kx＋1，圆C：(

34、x－1)2＋(y＋1)2＝12.(1)试证明：不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点；(2)求直线l被圆C截得的最短弦长.法一　(1)证明　由消去y得(k2＋1)x2－(2－4k)x－7＝0，因为Δ＝(2－4k)2＋28(k2＋1)>0，所以不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点.(2)解　设直线与