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《高中必修一幂指数反函数数学教案》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、反函数一、复习引入：1．反函数的定义；2．互为反函数的两个函数与间的关系：----定义域、值域相反，对应法则互逆；3．反函数的求法：一解、二换、三注明4.在平面直角坐标系中，①点A(x,y)关于x轴的对称点(x,-y);②点A(x,y)关于y轴的对称点(-x,y);③点A(x,y)关于原点的对称点(-x,-y);④点A(x,y)关于y=x轴的对称点(?,？);5.我们已经知道两个互为反函数的函数间有着必然的联系（在定义域、值域和对应法则方面）.函数图象是从“形”的方面反映这个函数的自变量x与因变量y之间的关系.因此，互为反函数的函数图象间也必然有一定
2、的关系，今天通过观察如下图像研究—互为反函数的函数图象间的关系.①的反函数是②的反函数是二、讲解新课：1．探究互为反函数的函数的图像关系观察讨论函数、反函数的图像，归纳结论：函数的图象和它的反函数的图象关于直线对称.2．证明结论（不要求掌握，根据实际情况处理）证明：设M(a,b)是的图象上的任意一点，则当x=a时，有唯一的值.∵有反函数，∴当x=b时，有唯一的值，即点(b,a)在反函数的图象上.若a=b，则M，是直线y=x上的同一个点，它们关于直线y=x对称.若ab，在直线y=x上任意取一点P(c,c)，连结PM，P，M由两点间的距离公式得：-8-P
3、M=,P=，∴PM=P.∴直线y=x是线段M的垂直平分线，∴点M,关于直线y=x对称.∵点M是y=f(x)的图象上的任意一点，∴图象上任意一点关于直线y=x的对称点都在它的反函数的图象上，由与互为反函数可知，函数图象上任意一点关于直线y=x的对称点也都在它的反函数的图象上，∴函数与的图象关于直线y=x对称.逆命题成立：若两个函数的图象关于直线y=x对称，则这两个函数一定是互为反函数.3．应用：⑴利用对称性作反函数的图像若的图象已作出或比较好作，那么它的反函数的图象可以由的图象关于直线y=x对称而得到；⑵求反函数的定义域求原函数的值域；⑶反函数的单调性
4、与原函数的单调性相同。三、讲解例题：例1．求函数的反函数,并利用对称关系作出其反函数的图象.解：∵原函数的定义域是x<0，值域是y>0,∴由y=解出,∴函数的反函数是,作y=(x(-∞,0))的图象，再作该函数关于直线y=x的对称曲线，即为函数的图象（如图）.例2．求函数的值域．分析：灵活运用互为反函数的两个函数定义域和值域之间的关系.解：∵∴∴y≠∴函数的值域为{y
5、y≠}例3已知=(x<-1)，求；解法1：⑴令=y=，∴=--①，∵x<-1，∴x=-;⑵∵x<-1，由①式知≥1,∴y<0;-8-⑶∴=-(x<0)；⑷=-2.分析：由y=与y=互为
6、反函数的关系可知：当y=中的x=a时y=b，则在y=中,当x=b时y=a，本题要求，设其为u，说明在函数=y=(x<-1)中，当y=时，x=u，问题转化为知原来函数中的y=而求x.解法2：令=，变形得=1+3=4，又∵x<-1，∴x=-2.说明：解法2显然比解法1简捷得多，正确灵活地运用所学的有关概念，往往可以收到事半功倍的效果.补充：设函数y=的反函数为y=，求y=的反函数.解：在函数y=中，x为自变量，y为函数，且由题意知-x=,∴x=-，∴y=的反函数为y=-，又∵=,∴y=的反函数为y=-.幂函数一.知识要点形如y＝xa的函数称为幂函数，其中
7、x是自变量，a为常数.1.幂函数y=xn随着n的不同，定义域、值域都会发生变化，可以采取按性质和图像分类记忆的方法.熟练掌握y=xn，当n=±2，±1，±，，3时的图像和性质，列表如下：2.幂函数性质归纳.-8-（1）所有的幂函数在（0，+∞）上都有意义，并且图像都过点（1，1）；（2）时，图像都通过两点（0，0）、（1，1）；并且在区间上是增函数.需特别注意的是，当时，幂函数的图像下凸；当时，幂函数的图像上凸；（3）当时，图像都通过一点（1，1）；图像在区间上是减函数.在第一象限内，当从右边趋向原点时，图像在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图像
8、在轴上方无限地逼近轴正半轴.【典型例题】例1、比较下列各组数的大小：（1）分析：底数相异，指数相同的数比较大小，可以转化成比较同一幂函数，不同函数值的大小的问题，根据函数的单调性，只要比较自变量的大小就可以了.（3）分析：为了应用幂函数的单调性，要将指数统一，底数化为正数.即评述：此例充分显示了化归转化思想在比较幂函数大小中的运用.例2、已知，求的值.解：∵，∴，-8-∴，∴，∴，∴，又∵，∴.例3、已知是定义在R上的奇函数.（1）求f（x）及f－1（x）的表达式；（2）若当x∈（－1，1）时，不等式f－1（x）≥恒成立，试求m的取值范围.解：（1）
9、f（x）在R上为奇函数（2）故所求m的取值范围是.例4、已知函数的定义域为，且.⑴当时，求函数的解析式及值域
