高一数学教案：反函数3.docx

《高一数学教案：反函数3.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、课题：2.4.3反函数（三）教学目的：1．在掌握反函数概念的基础上，初步会求非单调函数在各不同单调区间上的反函数，会利用反函数解决相关综合问题2．培养培养观察分析、抽象概括能力、归纳总结能力、逻辑推理能力、化归转化能力；3．培养坚忍不拔的意志，培养发现问题和提出问题的意识、善于独立思考的习惯，体会事物之间普遍联系的辩证观点教学重点：较复杂的函数的反函数的求法及其应用教学难点：较复杂的函数的反函数的求法及其应用.授课类型：练习课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1．反函数的定义；求反函数的

2、一般步骤分：一解、二换、三注明互为反函数的两个函数有什么关系：函数yf(x)与yf1(x)的图象关于直线yx对称.反函数的定义域由原函数的值域得到，而不能由反函数的解析式得到2．函数yf(x)、yf1(x)、xf(y)、xf1(y)间的关系：yf(x)与yfyf(x)与xf二、讲解例题：11(x)、xf(y)与xf(y)、xf(y)与yf11(y)互为反函数；(x)为同一函数例1求函数y=1x(x≥0，x≠1)的反函数.1x解：⑴由原函数变形为y-yx=1+x，即x=(y-1)/(y+1)--①,∵x≥0，∴

3、(y-1)/(y+1)≥0，解得y<-1或y≥1,⑵由①两边平方得x=[(y-1)/(y+1)]2,第1页共4页⑶∴原函数的反函数是f1(x)=[(x-1)/(x+1)]2（x<-1或x≥1）；说明：原函数的值域是借助于变形中的①式：x≥0而得到的，对于一个比较复杂的函数，求它的值域时要注意题目中的现有条件.例2设函数y=f(x)=x(x0)，求它的反函数.x2(x0)分析：这里给出了分段函数，即在不同的x范围内有不同的表达式，因此，也应在不同的x范围内求其反函数.解：⑴当x<0时，y=x,其反函数仍是y=x(x<0

4、);⑵当x≥0时，y=x2，由y=x2(x≥0)得x=y,又y=x2(x≥0)的值域为y≥0，∴y=x2(x≥0)的反函数是y=x(x≥0).⑶由⑴⑵可得f1(x)=x(x0).x(x0)例3已知函数yaxb3x1x的反函数是yx(x∈R,x≠2)，求a,b,cc2的值.解：⑴由y3x1(x≠2)解出x=2y1，x2y3∵原函数的值域是y≠3,∴y3x1(x≠2)的反函数是y2x1(x≠3,x∈R).x2x3⑵由互为反函数的函数关系知，y2x1axbx与y是同一函数，3xc∴a=2,b=1,c=-3.例4若点A(1,

5、2)既在函数f(x)=axb的图象上，又在f(x)的反函数的图象上，求a,b的值.分析：求a,b，就要有两个关于a,b的方程，如何寻求？①A(1,2)在f(x)图象上，这是很容易看出来的.②如何用它也在f(x)的反函数的图象上呢？第2页共4页其一，真求反函数，再把A(1,2)代入.能不能不求反函数？其二，A(1,2)在反函数图象上，则A'(2,1)就应在原函数的图象上，即(a,b)满足y=f(x)，则(b,a)应满足y=f1(x)，反之亦然.解：由A(1,2)在f(x)=axb上，则有ab2--①；由A(1,2)在其

6、反函数图象上，可知A'(2,1)也在函数f(x)=axb图象上，∴又有2ab1--②，解联立①②的方程组得a=-3,b=7.例5．若f(x1)x2x(x0)，试求反函数yf1(x)．分析：当已知函数是一个复合函数时，要求它的反函数，首先要求原来函数解析表达式．解：令x1t，则xt1，x(t1)2，代入所给表达式，得f(t)(t1)2+2(t1)2=t21，x0，∴x1t1，即原来函数是f(x)x21(x1)．易求函数f(x)x21(x1)的反函数是yf1(x)x1(x0)．注：在利用换元解题时，一定要注意新元（中间变

7、量）的取值范围．三、练习：x21(x0)的反函数.1．求函数y=1(x0)x解：当x≥0时，y≥1，由y=x2+1得x=y1(y≥1)；当x<0时，y<1，由y=x+1得x=y-1(y<1).将x,y对换得y=f1(x)=x1(x1).x1(x1)说明：求分段函数的反函数，应分别求出各段的反函数，再合成.的值域而得反函数的定义域，这一点绝不能混淆.2．已知函数f(x)=1+2x3有反函数，且点(a,b)在函数f(x)的图象上，第3页共4页又在其反函数的图象上，求a,b的值.解：∵点(a,b)在函数f(x)的图象上，∴

8、b=1+2a3---①,又点(a,b)在其反函数的图象上，∴点(b,a)在原函数f(x)的图象上，∴有a=1+2b3---②，联立①②解得a=b=2.四、小结本节课学习了以下内容：分段函数的反函数的求法及含有字母的函数的问题五、课后作业：1．课本P64习题2.4：3，4.答案：3.⑴y=f1(x)=x/2，它的定义域为[0,+∞);⑵y2x(x