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1、课题：2.4.2反函数（二）教学目的：⒈使学生了解互为反函数的函数图象间的关系的定理及其证明.⒉会利用互为反函数的函数图象间的关系解决有关问题.教学重点：互为反函数的函数图象间的关系定理及其证明，定理的应用；教学难点：定理的证明（但教材不作要求）.授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1．反函数的定义；12．互为反函数的两个函数yf(x)与yf(x)间的关系：----定义域、值域相反，对应法则互逆；3．反函数的求法：一解、二换、三注明4.在平面直角坐标系中，①点A(x,y)关于x轴的
2、对称点A'(x,-y);②点A(x,y)关于y轴的对称点A'(-x,y);③点A(x,y)关于原点的对称点A'(-x,-y);④点A(x,y)关于y=x轴的对称点A'(?,？);5.我们已经知道两个互为反函数的函数间有着必然的联系（在定义域、值域和对应法则方面）.函数图象是从“形”的方面反映这个函数的自变量x与因变量y之间的关系.因此，互为反函数的函数图象间也必然有一定的关系，今天通过观察如下图像研究—互为反函数的函数图象间的关系.x2①y3x2(xR)的反函数是y(xR)333②yx(xR)的反函数是yx(xR)3yx(x
3、R)x2y(xR)y3x(xR)3y3x2(xR)二、讲解新课：1．探究互为反函数的函数的图像关系观察讨论函数、反函数的图像，归纳结论：函数yf(x)的图象和它第1页共4页1的反函数yf(x)的图象关于直线yx对称.2．证明结论（不要求掌握，根据实际情况处理）证明：设M(a,b)是yf(x)的图象上的任意一点，Myf(x)M'则当x=a时，f(x)有唯一的值f(a)b.P11yf(x)∵yf(x)有反函数yf(x)，11∴当x=b时，f(x)有唯一的值f(b)a，1即点M'(b,a)在反函数yf(x)的图象上.若a=b，则M
4、，M'是直线y=x上的同一个点，它们关于直线y=x对称.若ab，在直线y=x上任意取一点P(c,c)，连结PM，PM'，MM'由两点间的距离公式得：2222PM=(ac)(bc),PM'=(bc)(ac)，∴PM=PM'.∴直线y=x是线段MM'的垂直平分线，∴点M,M'关于直线y=x对称.∵点M是y=f(x)的图象上的任意一点，∴yf(x)图象上任意一点关于直线y=x的对称点都在它的反函数11yf(x)的图象上，由yf(x)与yf(x)互为反函数可知，函1数yf(x)图象上任意一点关于直线y=x的对称点也都在它的反函数yf
5、(x)的图象上，1∴函数yf(x)与yf(x)的图象关于直线y=x对称.逆命题成立：若两个函数的图象关于直线y=x对称，则这两个函数一定是互为反函数.3．应用：⑴利用对称性作反函数的图像1若yf(x)的图象已作出或比较好作，那么它的反函数yf(x)的图象可以由yf(x)的图象关于直线y=x对称而得到；第2页共4页⑵求反函数的定义域求原函数的值域；⑶反函数的单调性与原函数的单调性相同三、讲解例题：22例1．求函数yx(x0)的反函数,并利用对称yx(x0)关系作出其反函数的图象.解：∵原函数的定义域是x<0，值域是y>0,yx
6、(x0)2∴由y=x解出xy,2∴函数yx(x0)的反函数是yx(x0),2作y=x(x(-∞,0))的图象，再作该函数关于直线y=x的对称曲线，即为函数yx(x0)的图象（如图）.5x8例2．求函数y的值域．3x2分析：灵活运用互为反函数的两个函数定义域和值域之间的关系.5x82y85解：∵y∴x∴y≠3x23y535∴函数的值域为{y
7、y≠}3111例3已知f(x)=(x<-1)，求f()；21x312y1y1解法1：⑴令f(x)=y=，∴x=--①，∵x<-1，∴x=-;21xyyy1⑵∵x<-1，由①式知≥1,∴y<
8、0;y1x111⑶∴f(x)=-(x<0)；⑷f()=-2.x31分析：由y=f(x)与y=f(x)互为反函数的关系可知：当y=f(x)中111的x=a时y=b，则在y=f(x)中,当x=b时y=a，本题要求f()，设其3第3页共4页11为u，说明在函数f(x)=y=(x<-1)中，当y=时，x=u，问题转化21x31为知原来函数中的y=而求x.3112解法2：令=，变形得x=1+3=4，又∵x<-1，∴x=-2.21x3说明：解法2显然比解法1简捷得多，正确灵活地运用所学的有关概念，往往可以收到事半功倍的效果.四、练习：课
9、本P63－64练习：5，6，7补充：设函数y=f(x)的反函数为y=g(x)，求y=f(x)的反函数.1解：在函数y=f(x)中，x为自变量，y为函数，且由题意知-x=f(y),11∴x=-f(y)，∴y=f(x)的反函数为y=-f(x)，1又∵g(x)=f(x),∴y=f(x)的反函数为
