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《高一数学教案：反函数2.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、课题：2.4.2反函数（二）教学目的：⒈使学生了解互为反函数的函数图象间的关系的定理及其证明.⒉会利用互为反函数的函数图象间的关系解决有关问题.教学重点：互为反函数的函数图象间的关系定理及其证明，定理的应用；教学难点：定理的证明（但教材不作要求）.授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1．反函数的定义；2．互为反函数的两个函数yf(x)与yf1(x)间的关系：----定义域、值域相反，对应法则互逆；3．反函数的求法：一解、二换、三注明4.在平面直角坐标系中，①点A(x,y)关于x轴的对称点A'(x,-y);②点A
2、(x,y)关于y轴的对称点A'(-x,y);③点A(x,y)关于原点的对称点A'(-x,-y);④点A(x,y)关于y=x轴的对称点A'(?,？);5.我们已经知道两个互为反函数的函数间有着必然的联系（在定义域、值域和对应法则方面）.函数图象是从“形”的方面反映这个函数的自变量x与因变量y之间的关系.因此，互为反函数的函数图象间也必然有一定的关系，今天通过观察如下图像研究—互为反函数的函数图象间的关系.①y3x2(xR)的反函数是x2(xR)y3②yx3(xR)的反函数是y3x(xR)yx3(xR)x2(xR)y3y3x(xR)y3x2(xR)二、讲解新
3、课：1．探究互为反函数的函数的图像关系观察讨论函数、反函数的图像，归纳结论：函数yf(x)的图象和它第1页共4页的反函数yf1(x)的图象关于直线yx对称.2．证明结论（不要求掌握，根据实际情况处理）证明：设M(a,b)是yf(x)的图象上的任意一点，M则当x=a时，f(x)有唯一的值f(a)b.yf(x)M'P∵yf(x)有反函数yf1(x)，yf1(x)∴当x=b时，f1(x)有唯一的值f1(b)a，即点M'(b,a)在反函数yf1(x)的图象上.若a=b，则M，M'是直线y=x上的同一个点，它们关于直线y=x对称.若ab，在直线y=x上任意取一点P
4、(c,c)，连结PM，PM'，MM'由两点间的距离公式得：PM=(ac)2(bc)2,PM'=(bc)2(ac)2，∴PM=PM'.∴直线y=x是线段MM'的垂直平分线，∴点M,M'关于直线y=x对称.∵点M是y=f(x)的图象上的任意一点，∴yf(x)图象上任意一点关于直线y=x的对称点都在它的反函数yf1(x)的图象上，由yf(x)与yf1(x)互为反函数可知，函数yf1(x)图象上任意一点关于直线y=x的对称点也都在它的反函数yf(x)的图象上，∴函数yf(x)与yf1(x)的图象关于直线y=x对称.逆命题成立：若两个函数的图象关于直线y=x对称，
5、则这两个函数一定是互为反函数.3．应用：⑴利用对称性作反函数的图像若yf(x)的图象已作出或比较好作，那么它的反函数yf1(x)的图象可以由yf(x)的图象关于直线y=x对称而得到；第2页共4页⑵求反函数的定义域求原函数的值域；⑶反函数的单调性与原函数的单调性相同三、讲解例题：例1．求函数yx2(x0)的反函数,并利用对称yx2(x0)关系作出其反函数的图象.解：∵原函数的定义域是x<0，值域是y>0,yx(x0)∴由y=x2解出xy,∴函数yx2(x0)的反函数是yx(x0),作y=x2(x(-∞,0))的图象，再作该函数关于直线y=x的对称曲线，即为
6、函数yx(x0)的图象（如图）.例2．求函数y5x83x的值域．2分析：灵活运用互为反函数的两个函数定义域和值域之间的关系.5x8∴x2y85解：∵y23y5∴y≠3x3∴函数的值域为{y
7、y≠5}131)；例3已知f(x)=1(x<-1)，求f1(x23解法1：⑴令f(x)=y=1，∴x2=y1--①，∵x<-1，∴x=-y1;1x2yy⑵∵x<-1，由①式知y1≥1,∴y<0;y⑶∴f1(x)=-xx1(x<0)；⑷f1(1)=-2.3分析：由y=f(x)与y=f1(x)互为反函数的关系可知：当y=f(x)中的x=a时y=b，则在y=f1(x)中,当
8、x=b时y=a，本题要求f1(1)，设其3第3页共4页为u，说明在函数f(x)=y=112(x<-1)中，当y=1时，x=u，问题转化1x3为知原来函数中的y=而求x.311解法2：令=，变形得x2=1+3=4，又∵x<-1，∴x=-2.1x23说明：解法2显然比解法1简捷得多，正确灵活地运用所学的有关概念，往往可以收到事半功倍的效果.四、练习：课本P63－64练习：5，6，7补充：设函数y=f(x)的反函数为y=g(x)，求y=f(x)的反函数.解：在函数y=f(x)中，x为自变量，y为函数，且由题意知-x=f1(y),∴x=-f1(y)，∴y=f(x
9、)的反函数为y=-f1()，x又∵g(x)=f1(x)∴的反函数为y=-g(x)
