资源描述：
《高中反函数初步研究》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、反函数张加豪批注［MSI］:值域？下同。批注[MS2]:同MSI反函数的概念一般地，设函数y=fMxeA的值域是C,根据这个函数中xy的关系，用示另得到兀=g(y)。若对于疮C中的任何一个值，通过x=g(y),x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x=g(y)就表示y是自变量，x是因变量，是y的函数，这样的函数x=g(y)xeC叫做函数y=/U)xeA的反函数，记作。反函数y=y(x)的定义域.值域分别是函数¥=/(%)的值域.定义域。二、什么样的函数有反函数L从映射角度：一个一一映射的函数(在给定的定义域内)才有反函数证明：由反函数概念得设一个非映射的函数V=f(x),点(州,刃和(兀2，y)
2、X］工兀2在其图像上与假设不符•・・一个一一映射的函数(在给定的定义域内)才有反函数双対(单射与閒射)甲射但三潇射满射但非甲射注：一一映射即双射2从图像角度：一个函数的反函数的图像与这个函数的图像关于直线y=x对称证明：由反函数定义可知原函数上点（X,）'）在反函数上对应为点（”X）点（x,y）和点（y,x）关于直线y=x对称•••一个函数的反函数的图像与这个函数的图像关于直线y=x对称批注[MS3]:同MSI3从单调性角度：一个单调函数（在给定的定义域内）一定有反函数证明：设原函数上点（“yj和（x2,y2）由反函数概念得：坷工吃，yHv2.•.込二工0X->2即20.••单调函数一定有反函
3、数4从奇偶性角度：批注[MS4]:H函数值域为{0}?1偶函数：大部分偶函数没有反函数当函数尸鶴，定义域是«且f0=C（其中C是常数），贝g函数f©是偶函数且有反函数，其反函数的定义域是口，值域为良2奇函数：大部分奇函数有反函数，与平行于y轴的直线有两个及以上交点的奇函数没有反函数。具体函数的反函数：①一次函数：1一次函数都有反函数gR）,其中y=x和y=-x+b,bwR是自反函数。2除上述自反函数，一次函数与其反函数的交点均在y=x±}y=x+b,beR与其反函数没有交点。3—次函数的反函数仍为一次函数。②二次函数：1二次函数都没有反函数（xeR）2二次函数=J不属于给定定义域且在数轴上定
4、义域不分布在x=J的两2a2a侧）的反函数为磊函数的复合函数①高次函数（最高次项次数大于等于2：L每一个未知数项的的次数都为偶数的高次函数均无反函数2每一个未知数项的的次数都为奇数的高次函数均有反函数3.高次函数的的反函数为帚函数的复合函数，解析式参见高次方程的求根公式(五次及以上高次方程没有通用求根公式，参加阿尔贝定理)①指数函数：L指数函数一定有反函数，其反函数为对数函数。E蜡原函数为y=则其反函数为y=log“x②对数函数：L对数函数一定有反函数，其反函数为指数函数。E猜原函数为y=log,,x则其反函数为y=a'对数函数指数函数交点参见附件——+-（cx+d^0）cx+dc6分式型函数
5、:尸竺乞（cx+"0）,若尸竺也"0）贝!jy=cx+dcr+d所以其中心为若点在上，则有反函数，且为自反函数CCCC1y二竺二(cr+dHO),用换元法或拼凑法整理后一般均可得到对钩型函数，分cx+d析图像可得入三角函数：尸arcsin0,定义域ftU,值域乂/2,兀山图象用深红色线条；尸atccos0,定义域ftI],值域Q幻，图象用深蓝色线条；尸aictan0,定义域(3,十6,值域(卞/2,兀刀，图象用浅绿色线条；三、原函数与反函数的关系L定义域、值域：一个函数定义域的是其反函数的值域，它的值域是其反函数的定义域证明：由反函数定义可知原函数上点(x,y)在反函数上对应为点(y,x)「•
6、一个函数定义域的是其反函数的值域，它的值域是其反函数的定义域2图像：一个函数的反函数的图像与这个函数的图像关于y二x对称证明：由反函数定义可知原函数上点(x,y)在反函数上对应为点(y,x)点(x,y)和点(y,x)关于直线y=兀对称•••一个函数的反函数的图像与这个函数的图像关于直线y=x对称A单调性：一个函数的反函数与它的单调性一致证明:设原函数.V=f(x)±点和(x2,y2)西>x2，则其反函数上对应点(％,西)和(儿，兀2)若原函数是增函数，则y=f^})>y=f(x2)即)1>)?2丫厂(比)=州>f~y2)=x2.••该函数的反函数也为增函数同理，若原函数是减函数，则该函数的反
7、函数也为减函数综上所述：一个函数的反函数与它的单调性一致4奇偶性：原函数与其反函数奇偶性相同证明：由反函数定义可知原函数上点(x,y)在反函数上对应为点(y,x)若为奇函数f(x)=ytf(-x)=-y•••/(y)=x,f(-y)=-x•••其反函数为奇函数同理偶函数的反函数也为偶函数综上所述：原函数与其反函数奇偶性相同渐近线：一个函数的渐近线与其反函数渐近线关于y=x对称6最值：一个函数的定义
